關鍵詞：Python、調包、線性規劃、指派問題、運輸問題、pulp、混合整數線性規劃（MILP）
注：此文章是線性規劃的調包實現，具體步驟原理請搜索具體解法。
??本文章的各個問題可能會采用多種調用方法，為什么？因為這些包各有特點，有些語法特別像matlab，只要稍稍改變即可達成代碼交換；而有些包利用了python本身的特性，在靈活度與代碼的可讀性上更高。我認為這些包各有優劣，各位各持所需吧。
??看了本文章能做到什么？你可以在本文章內學到線性規劃的幾個問題的求解方式，并學會如何用pulp包解決線性規劃問題。無論是整數規劃（Integer Program）、01規劃（Binary Program）還是混合整數線性規劃（MILP），你都可以得到很好的解題方法。
一、線性規劃
該問題引用自《數學建模算法與應用-司守奎》第一章線性規劃 3.線性規劃
包的具體使用可參考scipy官網
??求解最普通的線性規劃問題：
scipy調包代碼
import numpy as np
z = np.array([2, 3, 1])
a = np.array([[1, 4, 2], [3, 2, 0]])
b = np.array([8, 6])
x1_bound = x2_bound = x3_bound =(0, None)
from scipy import optimize
res = optimize.linprog(z, A_ub=-a, b_ub=-b,bounds=(x1_bound, x2_bound, x3_bound))
print(res)
#output:
# fun: 7.0
# message: 'Optimization terminated successfully.'
# nit: 2
# slack: array([0., 0.])
# status: 0
# success: True
# x: array([0.8, 1.8, 0. ])
??注意，此函數和matlab的linprog有很多相似之處。
??首先默認就是求解最小值，如果想要求最大值，需要對目標函數的各參數取反（既對z取反），并在得出的結果（func）前取反。
??并且所有約束條件都為≤，因此例子中傳入參數是前面都加了負號。
??bound為邊界的二元元組，None時為無邊界。
??如果存在類似這種情況，可以：
A_eq = [[1,2,4]]
b_eq = [101]
并在linprog中傳入。
??得出的結果為scipy.optimize.optimize.OptimizeResult（優化結果）類型，是類似字典的結構，例如想要優化結果代入目標函數的值，可以res.fun或res['fun']這樣取值。
pulp調包代碼
import pulp
#目標函數的系數
z = [2, 3, 1]
#約束
a = [[1, 4, 2], [3, 2, 0]]
b = [8, 6]
#確定最大化最小化問題，最大化只要把Min改成Max即可
m = pulp.LpProblem(sense=pulp.LpMinimize)
#定義三個變量放到列表中
x = [pulp.LpVariable(f'x{i}', lowBound=0) for i in [1,2,3]]
#定義目標函數，lpDot可以將兩個列表的對應位相乘再加和
#相當于z[0]*x[0]+z[1]*x[0]+z[2]*x[2]
m += pulp.lpDot(z, x)
#設置約束條件
for i in range(len(a)):
m += (pulp.lpDot(a[i], x) >= b[i])
#求解
m.solve()
#輸出結果
print(f'優化結果：{pulp.value(m.objective)}')
print(f'參數取值：{[pulp.value(var) for var in x]}')
#output:
#優化結果：7.0
#參數取值：[2.0, 0.0, 3.0]
??每一步的說明已經注釋在代碼中，可以看到輸出結果，兩者的變量取值并不一致，但代入目標函數的結果都是一樣的。
??同樣的，如果存在類似這種情況，可以：
A_eq = [1,2,4]
b_eq = 101
m += (pulp.lpDot(A_eq, x) == b_eq)
二、運輸問題
?? 某商品有個產地、
個銷地，各產地的產量分別為
，各銷地的 需求量分別為
。若該商品由
產地運到
銷地的單位運價為
，問應該如何調 運才能使總運費最省？
?? 引入變量，其取值為由
產地運往
銷地的該商品數量，數學模型為 :
例題：
pulp調包代碼
import pulp
import numpy as np
from pprint import pprint
def transportation_problem(costs, x_max, y_max):
row = len(costs)
col = len(costs[0])
prob = pulp.LpProblem('Transportation Problem', sense=pulp.LpMaximize)
var = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}', lowBound=0, cat=pulp.LpInteger) for j in range(col)] for i in range(row)]
flatten = lambda x: [y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
prob += pulp.lpDot(flatten(var), costs.flatten())
for i in range(row):
prob += (pulp.lpSum(var[i]) <= x_max[i])
for j in range(col):
prob += (pulp.lpSum([var[i][j] for i in range(row)]) <= y_max[j])
prob.solve()
return {'objective':pulp.value(prob.objective), 'var': [[pulp.value(var[i][j]) for j in range(col)] for i in range(row)]}
然后構造參數傳遞進去：
if __name__ == '__main__':
costs = np.array([[500, 550, 630, 1000, 800, 700],
[800, 700, 600, 950, 900, 930],
[1000, 960, 840, 650, 600, 700],
[1200, 1040, 980, 860, 880, 780]])
max_plant = [76, 88, 96, 40]
max_cultivation = [42, 56, 44, 39, 60, 59]
res = transportation_problem(costs, max_plant, max_cultivation)
print(f'最大值為{res["objective"]}')
print('各變量的取值為：')
pprint(res['var'])
#output:
#最大值為284230.0
#各變量的取值為：
#[[0.0, 0.0, 6.0, 39.0, 31.0, 0.0],
# [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 29.0, 59.0],
# [2.0, 56.0, 38.0, 0.0, 0.0, 0.0],
# [40.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]]
三、指派問題
該問題引用自《數學建模算法與應用-司守奎》第一章線性規劃 3.指派問題
調包解決方法參考https://blog.csdn.net/your_answer/article/details/79160045
可參考官網https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.18.1/reference/generated/scipy.optimize.linear_sum_assignment.html
??擬分配n人去干項工作，沒人干且僅干一項工作，若分配第
人去干第
項工作，需花費
單位時間，問應如何分配工作才能使公認花費的總時間最少？
假設指派問題的系數矩陣為：??引入變量
，若分配
干
工作，則取
，否則取
，上述指派問題的數學模型為
??指派問題的可行解用矩陣表示，每行每列有且只有一個元素為1，其余元素均為0。
調用scipy解決
??原書使用匈牙利算法解決的，在這里我們用scipy的優化模塊解決
import numpy as np
from scipy.optimize import linear_sum_assignment
??引入包，linear_sum_assignment是專門用于解決指派問題的模塊。
efficiency_matrix = np.array([
[12,7,9,7,9],
[8,9,6,6,6],
[7,17,12,14,12],
[15,14,6,6,10],
[4,10,7,10,6]
])
row_index, col_index=linear_sum_assignment(efficiency_matrix)
print(row_index+1)
print(col_index+1)
print(efficiency_matrix[row_index,col_index])
#output：
#[1 2 3 4 5]
#[2 3 1 4 5]
#[7 6 7 6 6]
??定義了開銷矩陣（指派問題的系數矩陣）efficiency_matrix，傳入linear_sum_assignment，結果返回的是最優指派的行和列，例如第一行選擇第二列，意為：將第一個人派往第二個工作。而根據numpy.array的性質，傳入行和列就會返回行列所對應的值，即為輸出的第三列
print(efficiency_matrix[row_index, col_index].sum())
#output：
# 32
??對其求和，即可得到指派問題的最小時間。
調用pulp解決
??先定義通用解決方法，其中的flatten是遞歸展開列表用的。
def assignment_problem(efficiency_matrix):
row = len(efficiency_matrix)
col = len(efficiency_matrix[0])
flatten = lambda x: [y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
m = pulp.LpProblem('assignment', sense=pulp.LpMinimize)
var_x = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}', cat=pulp.LpBinary) for j in range(col)] for i in range(row)]
m += pulp.lpDot(efficiency_matrix.flatten(), flatten(var_x))
for i in range(row):
m += (pulp.lpDot(var_x[i], [1]*col) == 1)
for j in range(col):
m += (pulp.lpDot([var_x[i][j] for i in range(row)], [1]*row) == 1)
m.solve()
print(m)
return {'objective':pulp.value(m.objective), 'var': [[pulp.value(var_x[i][j]) for j in range(col)] for i in range(row)]}
??然后定義矩陣，輸入求解
efficiency_matrix = np.array([
[12, 7, 9, 7, 9],
[8, 9, 6, 6, 6],
[7, 17, 12, 14, 9],
[15, 14, 6, 6, 10],
[4, 10, 7, 10, 9]
])
res = assignment_problem(efficiency_matrix)
print(f'最小值{res["objective"]}')
print(res['var'])
#output
#最小值32.0
#[[0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0], [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0], [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0], [1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]]
四、pulp的使用方式
基本使用
??可以看出，pulp在線性規劃這一部分，有更多的通用性，編寫程序更自由。前面的例子已經足夠豐富了，但是如果讀到這里還不去清楚pulp的使用方式的話……可以去百度一下，我這里也簡單講一講。
??首先是定義一個問題，第一個參數為問題的名稱，不過并非必要的參數，而通過sense參數可決定優化的是最大值還是最小值
prob = pulp.LpProblem('problem name', sense=pulp.LpMinimize)
??然后是定義變量：
x0 = pulp.LpVariable('x0', lowBound=0, upBound=None, cat=pulp.LpInteger)
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=None, cat=pulp.LpInteger)
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=None, cat=pulp.LpInteger)
??這里定義了三個變量，第一個參數為變量名，lowBound 、upBound為上下限，cat為變量類型，默認為連續變量，還可以設為離散變量或二值變量，具體怎么設置？
如上述代碼所示，pulp.LpInteger為離散變量，pulp.LpBinary為二值變量，同時也可以傳入'Integer'字符串的方式指明變量類型。從上面幾個問題的代碼可以看出，我幾乎沒有單個定義變量，而是批量定義的。
??然后是添加目標函數：
prob += 2*x0-5*x1+4*x2
??只要讓問題（prob）直接加變量的表達式即可添加目標函數。
??再之后是添加約束：
prob += (x0+x1-6*x2 <= 120)
??只要讓問題（prob）直接加變量的判斷式即可添加約束
prob.solve()
??調用solve方法解出答案，如果省去這一步，后面的變量和結果值都會顯示None。
print(pulp.value(prob.objective))
print(pulp.value(x0))
打印優化結果，并顯示當優化達到結果時x0的取值。
思考程序本質
??problem對象是如何通過不斷加來獲得目標函數和約束的？熟悉python或者c++的朋友可能會想到一個詞：操作符重載。
??沒錯，就是這么實現的，上述的對象幾乎都實現了不同的重載。
??首先是Problem對象prob，全名pulp.pulp.LpProblem；當打印輸出（print）時，會打印出問題名，當不斷增加目標函數、約束時，也會隨著print輸出；而它的__add__一定是被定義過了，我們先說其他對象。
??當我們定義一個變量時，它的類型是pulp.pulp.LpVariable，當我們對這些變量和其他變量做加法、和其他常數做乘法時，它會返回一個新的對象，經檢測，這個新對象的類名叫pulp.pulp.LpAffineExpression，顧名思義，叫做關系表達式；如果print，會打印這個關系表達式。
??而如果對關系表達式做出：>=、<=、==時，會返回新的對象，類名叫做pulp.pulp.LpConstraint，即約束對象；如果print，會打印這個約束。
??將關系表達式（pulp.pulp.LpAffineExpression）與問題（pulp.pulp.LpProblem）相加時，會返回新的問題對象，并且新的問題對象會將這個關系表達式作為目標函數。
??將約束對象（pulp.pulp.LpConstraint）與問題（pulp.pulp.LpProblem）相加時，會返回新的問題對象，并且這個新的問題對象會多出約束對象所代表的約束條件。
??調用問題對象的solve方法，解出線性規劃的解。
??訪問問題對象的objective成員變量，會得到目標函數（關系表達式對象）。
??調用pulp的value方法，將獲得對變量代入值的結果，如果是關系表達式對象，將獲得優化結果；如果是變量對象，將獲得優化結果達到時的變量取值；如果是None，說明你忘調用solve了。
??這個包的使用，我是在google中查到的，如果有興趣，可以去原地址看看，擁有更多的應用以及其他包的調用https://qiita.com/SaitoTsutomu/items/bfbf4c185ed7004b5721
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