大師兄的應(yīng)用回歸分析學(xué)習(xí)筆記（二十五）：非線性回歸（一）
二、多項式回歸
- 多項式回歸模型是一種重要的曲線回歸模型，這種模型通常容易轉(zhuǎn)化成一般的多元線性回歸來處理，因此應(yīng)用也十分廣泛。
1. 幾種常見的多項式回歸模型
- 一元二階多項式模型：
,其中
- 為了反應(yīng)回歸系數(shù)所對應(yīng)的自變量次數(shù)，通常將多項式回歸模型中的系數(shù)表示成：
- 二元多項式回歸模型：
，是一條拋物線。
為線性效應(yīng)系數(shù)
為二次效應(yīng)系數(shù)
- 三元多項式回歸模型：
。
- 當自變量的冪次超過3次時，回歸系數(shù)的解釋變得困難起來，回歸函數(shù)也變得很不穩(wěn)定，回歸模型的應(yīng)用也會受到影響，因此，冪次超過3詞的多項式回歸模型不常使用。
- 含有兩個或兩個以上自變量的情況，比如二元二階多項式回歸模型：
- 以上回歸系數(shù)中分別含有兩個自閉那輛的線性項系數(shù)
- 二次項系數(shù)
- 并含有交叉乘積項系數(shù)
，表示
的交互作用，通常稱為交互影響系數(shù)。
2. 案例
- 下表列出了18個35~44歲經(jīng)理的前兩年平均收入
(千美元)、風(fēng)險反感度
和人壽保險額
(千美元)的數(shù)據(jù)：
- 研究人員想研究給定年齡組內(nèi)的經(jīng)理的年平均收入、風(fēng)險反感度和人壽保險額之間的關(guān)系。
- 研究者預(yù)測，在經(jīng)歷的收入和人壽保險額之間存在二次關(guān)系，
- 并認為風(fēng)險反感度對人壽保險額只有線性效應(yīng)，而沒有二次效應(yīng)。
- 但研究者并不清楚兩個自變量是否對人壽保險額有交互效應(yīng)。
- 因此研究者擬合了一個二階多項式回歸模型：
- 并打算先檢驗是否有交互效應(yīng)，然后檢驗風(fēng)險反感度的二次效應(yīng)。
-
回歸采用逐個引入自變量的方式，這樣可以清楚地看到個相對回歸的貢獻，使顯著性檢驗更加明顯：
- 全模型的SST = 108042
- SSE=36
- SSE的自由度
- 采用偏F檢驗
，交互影響系數(shù)
%3D4.75)
- 交互影響系數(shù)
，回歸模型中不應(yīng)該包含交互作用項
。
- 結(jié)果與人們的經(jīng)驗相符。
- 此時使用無交互效應(yīng)的模型：
- 但仍需要檢驗風(fēng)險反感度的二次效應(yīng)是否存在，也就是檢驗
的顯著性
- 檢驗結(jié)果偏F值 = 0.93，臨界值
%20%3D%204.67)
- 二次效應(yīng)系數(shù)仍不能通過顯著性檢驗，認為
，回歸模型不應(yīng)該包含二次效應(yīng)項
。
- 最終使用簡化模型：
- 此次二次效應(yīng)系數(shù)
- 最終方程為：
- 從標準化回歸系數(shù)好看，年平均收入的二次效應(yīng)對人壽保險額的影響程度最大。
