引言

工程中嘗嘗氛圍很多步驟完成，有些步驟可以同步進行，而有些步驟需要某些步驟完成后才能進行，如何安排它們的流程是項目實施要考慮的重要問題，這就是拓撲排序問題。拓撲排序，它可以決定哪些子工程必須要先執行，哪些子工程要在某些工程執行后才可以執行。為了形象地反映出整個工程中各個子工程(活動)之間的先后關系，可用一個有向圖來表示，圖中的頂點代表活動(子工程)，圖中的有向邊代表活動的先后關系，即有向邊的起點的活動是終點活動的前序活動，只有當起點活動完成之后，其終點活動才能進行。通常，我們把這種頂點表示活動、邊表示活動間先后關系的有向圖稱做頂點活動網(Activity On Vertex network)，簡稱AOV網。
一個AOV網應該是一個有向無環圖，即不應該帶有回路，因為若帶有回路，則回路上的所有活動都無法進行（對于數據流來說就是死循環）。在AOV網中，若不存在回路，則所有活動可排列成一個線性序列，使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面，我們把此序列叫做拓撲序列(Topological order)，由AOV網構造拓撲序列的過程叫做拓撲排序(Topological sort)。AOV網的拓撲序列不是唯一的，滿足上述定義的任一線性序列都稱作它的拓撲序列。

拓撲排序思想

1.在有向圖中選一個沒有前驅的頂點并且輸出;
2.從圖中刪除該頂點和所有以它為尾的?。ò自捑褪牵簞h除所有和它有關的邊）;
3.重復上述兩步，直至所有頂點輸出，或者當前圖中不存在無前驅的頂點為止，后者代表我們的有向圖是有環的，因此，也可以通過拓撲排序來判斷一個圖是否有環。
拓撲排序有點像抽絲剝繭，每一次遍歷都會去掉最外層的"殼"，抽完為止。
圖解
1.針對下圖:

有入度0的頂點V1和V6,先把他們放入集合S=[V1,V6]，這里隨機取出V6遍歷,S=[V1]。
2.V6遍歷完，去掉和V4、V5的邊(入度減1)，圖結構如下:

image

v6—>v1—>v4—>v3—>v5—>v2。
注意:拓撲排序僅反應頂點間的層序關系，輸出結果不唯一。

代碼實現

代碼實現，我們引入一個集合(?；蛘哧犃芯?，存放未遍歷的入度為0的頂點;引入計數變量檢測圖是否遍歷完。具體實現如下:

package graphic;

import queue.Queue;

/**
 * Created by chenming on 2018/6/16
 * 拓撲排序
 */
public class TopologySort {
    private class VNode {
        int value;//值
        int inDegree;//入度
    }

    private int[][] map;//鄰接矩陣
    private VNode[] nodes;

    public TopologySort(int[][] map) {
        this.map = map;
        nodes = new VNode[map.length];
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
            //初始化入度
            VNode node = new VNode();
            node.value = i;
            node.inDegree = getIndegree(i);
            nodes[i] = node;
        }
    }

    /**
     * 從鄰接矩陣中得到頂點入度
     *
     * @param index
     * @return
     */
    private int getIndegree(int index) {
        int in = 0;
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
            if (0 < map[i][index] && map[i][index] < Integer.MAX_VALUE) {
                in++;
            }
        }
        return in;
    }

    /**
     * 有向圖的拓撲排序,，思路如下:
     * 1,類似廣度優先遍歷,引入隊列保存入度為0的未遍歷節點
     * 2.每去掉一個頂點，則去掉該頂點的邊，即它所有鄰接頂點的頂點入度-1，如果為0則加入隊列
     * 3.循環執行步驟2，直到隊列為空
     * 4.循環結束檢測是否遍歷完整，如果沒有遍歷完全，則表示有回環
     */
    public void topologySort() {
        Queue<Integer> queue = new Queue<>();//保存入度為0的索引
        int numb = map.length;
        int count = 0;//校驗用
        //收集入度為0的頂點
        for (int i = 0; i < numb; i++) {
            if (nodes[i].inDegree == 0) {
                queue.enquene(i);
            }
        }

        while (!queue.isEmpty()) {
            int index = queue.dequeue();
            System.out.println("拓撲排序:" + index);
            count++;
            //遍歷完"刪除"頂點index的所有邊,即減少它鄰接頂點的入度
            for (int i = 0; i < numb; i++){
                if(map[index][i] > 0 && map[index][i] < Integer.MAX_VALUE){
                    if(--nodes[i].inDegree == 0){
                        //入度減一后，加入隊列
                        queue.enquene(i);
                    }

                }
            }

        }

        if(count != numb){
            throw new RuntimeException("圖中存在回環");
        }

    }
}

測試圖用例:

拓撲排序用例.png

測試代碼:

   @Test
    public void testTopol() {
        int INF = Integer.MAX_VALUE;
        int[][] map = {
                {0, INF, INF, INF, 1, 1, INF, INF, INF, INF, INF, 1, INF, INF},//0
                {INF, 0, 1, INF, 1, INF, INF, INF, 1, INF, INF, INF, INF, INF},//1
                {INF, INF, 0, INF, INF, 1, 1, INF, INF, 1, INF, INF, INF, INF},//2
                {INF, INF, 1, 0, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 1},//3
                {INF, INF, INF, INF, 0, INF, INF, 1, INF, INF, INF, INF, INF, INF},//4
                {INF, INF, INF, INF, INF, 0, INF, INF, 1, INF, INF, INF, 1, INF},//5
                {INF, INF, INF, INF, INF, 1, 0, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF},//6
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 0, INF, INF, INF, INF, INF, INF},//7
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 1, 0, INF, INF, INF, INF, INF},//8
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 0, 1, 1, INF, INF},//9
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 0, INF, INF, 1},//10
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 0, INF, INF},//11
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 1, INF, INF, 0, INF},//12
                {INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, INF, 0},//13
        };
        TopologySort ts = new TopologySort(map);
        ts.topologySort();
    }

輸出:

拓撲排序:0
拓撲排序:1
拓撲排序:3
拓撲排序:4
拓撲排序:2
拓撲排序:6
拓撲排序:5
拓撲排序:8
拓撲排序:12
拓撲排序:7
拓撲排序:9
拓撲排序:10
拓撲排序:11
拓撲排序:13

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