題目描述（困難難度）

依舊是買(mǎi)賣(mài)股票的延伸，但比 121 題 ， 122 題 難度高了不少。這道題的意思是，給一個(gè)數(shù)組代表股票每天的價(jià)格。你最多可以買(mǎi)入賣(mài)出兩次，但只有賣(mài)出了才可以再次買(mǎi)入，求出最大的收益是多少。

解法一

參考 這里。

開(kāi)始的想法是求出收益第一高和第二高的兩次買(mǎi)賣(mài)，然后加起來(lái)。對(duì)于普通的情況是可以解決的，但是對(duì)于下邊的情況

1 5 2 8 3 10

第一天買(mǎi)第二天賣(mài)，第三天買(mǎi)第四天賣(mài)，第五天買(mǎi)第六天賣(mài)，三次收益分別是 4，6，7，最高的兩次就是 6 + 7 = 13 了，但是我們第二天其實(shí)可以不賣(mài)出，第四天再賣(mài)出，那么收益是 8 - 1 = 7，再加上第五天買(mǎi)入第六天賣(mài)出的收益就是 7 + 7 = 14了。

所以當(dāng)達(dá)到了一個(gè)高點(diǎn)時(shí)不一定要賣(mài)出，所以需要考慮的情況就很多了，不能像 121 題 ， 122 題 那樣簡(jiǎn)單的考慮了。那只能朝著動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路想了。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃關(guān)鍵就是數(shù)組定義和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程了。

按最簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路想，用 dp[i]表示前i天的最高收益，那么 dp[i+1] 怎么根據(jù) dp[i] 求出來(lái)呢？發(fā)現(xiàn)并不能求出來(lái)。

我們注意到我們題目是求那么多天最多交易兩次的最高收益，還有一個(gè)最多交易次數(shù)的變量，我們把它加到數(shù)組中再試一試。

用 dp[i][k] 表示前i天最多交易k次的最高收益，那么 dp[i][k] 怎么通過(guò)之前的解求出來(lái)呢？

首先第 i 天可以什么都不操作，今天的最高收益就等于昨天的最高收益

dp[i][k] = dp[i-1][k]

此外，為了獲得更大收益我們第 i 天也可以選擇賣(mài)出，既然選擇賣(mài)出，那么在0到 i-1 天就要選擇一天買(mǎi)入。多選擇了一次買(mǎi)入，那在買(mǎi)入之前已經(jīng)進(jìn)行了 k-1 次買(mǎi)賣(mài)。

在第 0 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[0]

在第 1 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[1] + dp[0][k-1]，多加了前一天的最大收益

在第 2 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[2] + dp[1][k-1]，多加了前一天的最大收益

...

在第 j 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[j] + dp[j-1][k-1]，多加了前一天的最大收益

上邊的每一種可能選擇一個(gè)最大的，然后與第i天什么都不操作比較，就是dp[i][k]的值了。

當(dāng)然上邊的推導(dǎo)已經(jīng)可以寫(xiě)代碼了，但為了最后的代碼更加簡(jiǎn)潔（寫(xiě)完代碼后發(fā)現(xiàn)的），我們可以再換一下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移方程。真的只是為了簡(jiǎn)潔，時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度上不會(huì)有影響。

為了獲得更大收益我們第 i 天也可以選擇賣(mài)出，既然選擇賣(mài)出，那么在0到 i-1 天就要選擇一天買(mǎi)入。

我們也可以選擇0到i天中選擇一天買(mǎi)入，因?yàn)榈?i 天買(mǎi)入，第 i天賣(mài)出對(duì)最后的收益是沒(méi)有影響的。

在第 j 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[j] + dp[j-1][k-1]，多加了前一天的最大收益

我們多加了前一天的最大收益，我們也可以改成加當(dāng)前天的最大收益。

在第 j 天買(mǎi)入，收益就是 prices[i] - prices[j] + dp[j][k-1]

不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南胍幌拢绻?j 天就是最后我們要選擇的買(mǎi)入點(diǎn)，它使得最后的收益最高，dp[j][k-1] 和 dp[j-1][k-1] 一定是相等的。因?yàn)榈?j 天一定是一個(gè)低點(diǎn)而第 j - 1 天是個(gè)高點(diǎn)，第 j 天為了得到更高收益肯定選擇不操作，所以和第 j - 1 天的收益是一樣的，所以改了狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，最后求出的最高解還是一致的。

綜上，最后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就是

dp[i][k] = Max(dp[i-1][k],(prices[i] - prices[0] + dp[0][k-1]),(prices[i] - prices[1] + dp[1][k-1])...(prices[i] - prices[i] + dp[i][k-1]))

也就是

dp[i][k] = Max(dp[i-1][k],prices[i] - prices[j] + dp[j][k-1])，j 取 0 - i。

而 prices[i] - prices[j] + dp[j][k-1] 也可以看做， prices[i] - (prices[j] - dp[j][k-1]) ，為了求這個(gè)表達(dá)式的最大值，我們可以找prices[j] - dp[j][k-1]的最小值。

而初始條件對(duì)于k 等于 0 的情況，收益就是 0 了。

還有前 0 天的最大收益也是 0 ，也就是dp[0][k]是 0 。由于下標(biāo)是從0開(kāi)始的，這里的前0天其實(shí)就是第一天。

因?yàn)槌跏紬l件的結(jié)果都是0，數(shù)組初始化后就是 0 ，所以不需要特殊處理。

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    }
    int K = 2;
    int[][] dp = new int[prices.length][K + 1];
    for (int k = 1; k <= K; k++) {
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) { 
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            //找出第 0 天到第 i 天 prices[buy] - dp[buy][k - 1] 的最小值
            for (int buy = 0; buy <= i; buy++) { 
                min = Math.min(prices[buy] - dp[buy][k - 1], min);
            }
            //比較不操作和選擇一天買(mǎi)入的哪個(gè)值更大
            dp[i][k] = Math.max(dp[i - 1][k], prices[i] - min);
        }
    }
    return dp[prices.length - 1][K];
}

找第 j 天prices[buy] - dp[buy][k - 1]的最小值的時(shí)候，我們考慮了 prices[0] - dp[0][k - 1]、 prices[1] - dp[1][k - 1]、 prices[2] - dp[2][k - 1]...，找第 j + 1 天prices[buy] - dp[buy][k - 1]的最小值的時(shí)候，我們又會(huì)從頭考慮 prices[0] - dp[0][k - 1]、 prices[1] - dp[1][k - 1]、 prices[2] - dp[2][k - 1]...，所以其實(shí)沒(méi)必要每次從頭考慮，我們只需要把之前的結(jié)果保存起來(lái)，然后再和新加入的 prices[j+1] - dp[j+1][k - 1] 比較就可以了。

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    }
    int K = 2;
    int[][] dp = new int[prices.length][K + 1];
    for (int k = 1; k <= K; k++) {
        int min = prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            //找出第 1 天到第 i 天 prices[buy] - dp[buy][k - 1] 的最小值 
            min = Math.min(prices[i] - dp[i][k - 1], min); 
            //比較不操作和選擇一天買(mǎi)入的哪個(gè)值更大
            dp[i][k] = Math.max(dp[i - 1][k], prices[i] - min);
        }
    }
    return dp[prices.length - 1][K];
}

此時(shí)按照動(dòng)態(tài)規(guī)劃的套路，結(jié)合代碼和下邊的圖。

根據(jù)代碼，我們是固定 k 然后一列一列更新 dp。而更新當(dāng)前列只需要前一列的信息，所以不需要二維數(shù)組，只需要一個(gè)一維數(shù)組。但是注意到最外層的 for 循環(huán)是一個(gè)常數(shù)次，所以我們可以把兩層循環(huán)內(nèi)外顛倒下，可以更好的進(jìn)行空間復(fù)雜度的優(yōu)化。

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    }
    int K = 2;
    int[][] dp = new int[prices.length][K + 1];
    int min[] = new int[K + 1];
    for (int i = 1; i <= K; i++) {
        min[i] = prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        for (int k = 1; k <= K; k++) {
            min[k] = Math.min(prices[i] - dp[i][k - 1], min[k]);
            dp[i][k] = Math.max(dp[i - 1][k], prices[i] - min[k]);
        }
    }
    return dp[prices.length - 1][K];
}

再結(jié)合圖看，此時(shí)我們就是一行一行的更新了，對(duì)于每一列都有一個(gè) min 所以我們多了 min 數(shù)組。現(xiàn)在讓我們將二維數(shù)組 dp 改成一維數(shù)組。

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    }
    int K = 2;
    int[] dp = new int[K + 1];
    int min[] = new int[K + 1];
    for (int i = 1; i <= K; i++) {
        min[i] = prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        for (int k = 1; k <= K; k++) {
            min[k] = Math.min(prices[i] - dp[k - 1], min[k]);
            dp[k] = Math.max(dp[k], prices[i] - min[k]);
        }
    }
    return dp[K];
}

由于 K 是一個(gè)常數(shù)，所以我們的 min 數(shù)組和 dp 數(shù)組都可以分別當(dāng)成兩個(gè)變量。

public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    } 
    int dp1 = 0;
    int dp2 = 0;
    int min1 = prices[0];
    int min2 = prices[0];
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            min1 = Math.min(prices[i] - 0, min1);
            dp1 = Math.max(dp1, prices[i] - min1);

            min2 = Math.min(prices[i] - dp1, min2);
            dp2 = Math.max(dp2, prices[i] - min2);
    }
    return dp2;
}

如果結(jié)合一步一步的優(yōu)化，最后這個(gè)代碼也就很好的能解釋通了。

解法二

再分享個(gè)利用狀態(tài)機(jī)的 解法，雖然不容易想到，但真的太強(qiáng)了，上次用狀態(tài)機(jī)還是 65 題。

每天我們其實(shí)是有四個(gè)狀態(tài)，買(mǎi)入當(dāng)前價(jià)格的股票，以當(dāng)前價(jià)格的股票賣(mài)出。第二次買(mǎi)入股票，第二次賣(mài)出股票。

s0代表初始狀態(tài)，初始時(shí)錢(qián)是 0。s1代表第一次買(mǎi)入后當(dāng)前的錢(qián)，s2代表第一次賣(mài)出后當(dāng)前的前，s3代表第二次買(mǎi)入后當(dāng)前的錢(qián)，s4代表第二次賣(mài)出后當(dāng)前的錢(qián)。

然后我們只需要更新每天的這四個(gè)狀態(tài)即可。

int maxProfit(vector<int>& prices) {
    if(prices.empty()) return 0;
    //進(jìn)行初始化，第一天 s1 將股票買(mǎi)入，其他狀態(tài)全部初始化為最小值
    int s1=-prices[0],s2=INT_MIN,s3=INT_MIN,s4=INT_MIN;

    for(int i=1;i<prices.size();++i) {            
        s1 = max(s1, -prices[i]); //買(mǎi)入價(jià)格更低的股
        s2 = max(s2, s1+prices[i]); //賣(mài)出當(dāng)前股，或者不操作
        s3 = max(s3, s2-prices[i]); //第二次買(mǎi)入，或者不操作
        s4 = max(s4, s3+prices[i]); //第二次賣(mài)出，或者不操作
    }
    return max(0,s4);
}

總

解法一比較常規(guī)，但是這個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃難在了我們考慮了兩個(gè)變量，相比于之前的動(dòng)態(tài)規(guī)劃不容易想到。

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