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\renewcommand{\contentsname}{目錄}
\renewcommand{\abstractname}{摘\ \ 要}
\renewcommand{\refname}{參考文獻}
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\author{AAA 2011012xxx \\ BBB 2011012011 \\ CCC 2011012xxx}
\title{文獻讀書報告II\\Wavelets}
\begin{document}




\maketitle
\tableofcontents
\begin{abstract}

\end{abstract}
\section{小波分析的歷史}
\section{主要問題與核心困難}
\subsection{主要問題}
在一個二維無窮大的整數晶格平面上，從（0,0）出發做隨機游走，以1/4的概率向南或向北走1，以1/4+$\varepsilon$的概率向東走1，以1/4-$\varepsilon$的概率向西走1，若最后以p=1/2的概率回到起點，求解$\varepsilon$的值。

\subsection{核心困難}
為了回答上述問題，首先必須確定該問題的解是否存在，實際上該問題是對二維平面離散隨機游走常返性的研究，所以通過定義停時$\tau=inf\{n\in N^*,s_j\neq(0,0),j=1,2,3\cdots n-1\}$,我們可以自然得出等式:
\begin{eqnarray}
\displaystyle1/2=p=P(\tau<\infty)=P(\sum_{n=0}^{\infty}\tau=2n)=\sum_{n=0}^{\infty}P(\tau=2n)
\end{eqnarray}
對于給定的n，由于二維平面，而且不是對稱隨機徘徊，所以很難寫出完整表達式，但是我們可以很直接地發現，當假定$\tau=$2n，向東走步數k，向北走步數j以后，（要滿足k+j=n）,事實上我們可以引入參數$A_{n,k,j}$，表示給定各方向走的步數后，共2n步后初次返回（0,0）的路徑數，可以得到：
\begin{center}
$\displaystyle P(\tau=2n)=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^{n-j}A_{n,k,j}(1/4)^{2j} (1/4-\varepsilon)^k(1/4+\varepsilon)^k$\\
\end{center}
 顯然$A_{n,k,j}$ 與$\varepsilon$取值無關，且原始問題解的存在性問題轉換為：
 \begin{eqnarray}
 \displaystyle 1/2=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^n\Sigma_{k=0}^{n-j}A_{n,k,j}(1/4)^{2j}(1/16-(\varepsilon)^2)^k
 \end{eqnarray}
 該等式解的存在性問題，此時我們重新對$\varepsilon$的取值范圍進行討論，$\varepsilon$本質上應該在[0,1/4]這個區間上，而當$\varepsilon=0$ 時，原問題轉化為二維簡單對稱隨機徘徊問題的常返性問題，可以證明此時p=1，（詳細證明見命題2.1），而當$\varepsilon=1/4$時，此時常返問題實際上就限制在一維上，我們可以將等式右邊重寫為：
\begin{eqnarray}
\displaystyle p'=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/4)^{2n}
\end{eqnarray}
其中$B_n$表示一維簡單對稱隨機徘徊問題中當第一次常返時為2n時，所有可能的路徑數。事實上，對于真正的一維簡單對稱隨機徘徊，我們有：
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}
\end{eqnarray}
（等式成立原因見命題2.1），與(3)式進行比較，我們可以有大概估計：\\
$\displaystyle p'=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/4)^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}(1/4)^n\leqslant1/4\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}=1$\\
所以不難發現當$\varepsilon$在[0,1/4]變化時，p至少在[1,1/4]波動，而且由（2）式，顯然有當$\varepsilon$在[0,1/4]時，p與$\varepsilon$一一對應且單調下降，所以由$1/2\in[1/4,1]$知，存在$\varepsilon^*\in[0,1/4]$,滿足原問題要求。
\theoremstyle{definition} \newtheorem{recurrence}{命題}[section]
\begin{recurrence}{}
考慮$R^d(d\geq1,d\in N^*)$上的簡單對稱隨機徘徊，當$d\leq2$時常返，否則非常返。
\end{recurrence}
\begin{proof}
首先我們先證明如下引理：\\
\textbf{Lemma:}對于$R^d$上的簡單隨機徘徊（不需要對稱性），以下結論等價：
\begin{center}
(1)$P(\tau<\infty)=1$(等價于常返性)，$\tau\triangleq inf\{n\in N^*,s_n=0,s_j\neq0,j=1,2,\cdots n-1\}$\\
(2)$P(s_n=0,i.o)=1$\\
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(s_n=0)=\infty$
\end{center}
\textbf{Proof of Lemma:}\\
$(1)\Rightarrow(2):\tau_k\triangleq inf\{n>\tau_{k-1},s_n=0,s_j\neq0,j=\tau_{k-1}+1,\cdots n-1\},\forall k\geq2,\tau_1=\tau.$\\
$\therefore P(s_n=0,i.o)=1\Leftrightarrow P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)=1.$\\
$\displaystyle\because P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)=P(\bigcap_{k=1}^{\infty}\tau_k<\infty)\geq \varliminf_kP(\tau_k<\infty)$.\\
$\because P(\tau<\infty)=1,\therefore 1\geq P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)\geq \varliminf_kP(\tau_k<\infty)=1$\\
$\therefore P(s_n=0,i.o)=1$.\\
$(2)\Rightarrow(3):$若(2)成立，則有：$\displaystyle\infty=\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{s_k=0\}}=\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{\tau_k<\infty\}}$\\
$\therefore E(\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{s_k=0\}})=E(\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{\tau_k<\infty\}})$\\
所以(3)成立。\\
$(3)\Rightarrow(1):\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(s_n=0)=\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}P(\tau_k<\infty)=\infty$\\
$\because \sum_{k=1}^{\infty}P(\tau_k<\infty)=\frac{P(\tau<\infty)}{1-P(\tau<\infty)}$(這里我們利用了$P(\tau_k<\infty)=(P(\tau<\infty))^k$).\\
$\therefore P(\tau<\infty)=1$.\#\\
由上面引理的結果，為證明命題，我們只需證明當維數不超過2時，對于簡單對稱隨機徘徊成立：$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\infty$\\
d=1:$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\sum_{k=1}^{\infty}C_{2k}^{k}\frac1{2^{2k}}\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{k}}=\infty$\\
d=2:$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^k\frac{(2k)!}{j!j!(k-j)!(k-j)!}4^{-2k}=\sum_{k=1}^{\infty}4^{-2k}(C_{2k}^{k})^2\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k=\infty$
\end{proof}

\subsection{方法1}
\subsubsection{算法設計}
\subsubsection{程序代碼}
\subsection{方法2}
\subsubsection{算法設計}
\subsubsection{程序代碼}

\section{文獻的主要內容}
\subsection{Haar小波}
\subsection{連續小波變換}
\subsection{離散小波變換}
\subsection{多分辨率分析及Mallat算法}
\subsection{緊支撐雙正交小波的構造}
\subsection{小波分析與傅里葉分析的比較}
\subsection{blabla}
\subsection{blabla}


\section{基本方法與實現細節}
\subsection{離散小波變換與連續小波變換}

\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]



\end{lstlisting}

\subsection{信號的分解與重構}
\subsection{信號壓縮}
\subsection{信號去噪}

\section{應用數值算例}
\subsection{離散小波變換與連續小波變換}
下面是裝雪花分形vonkoch信號，并進行連續小波變換的例子，程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
%載入實際信號
load vonkoch;
lv = 510;
signal = vonkoch(1:lv);
subplot(3,1,1),plot(signal,'b');grid on;
set(gca,'XLim',[0 510])
title('被分析的信號');
xlabel('Time (or Space)')
ylabel('振幅')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%執行離散5層sym2小波變換
%這里的層數1-5分別對應尺度2,4,6,16,32
[c,l] = wavedec(vonkoch,5,'sym2');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%擴展離散小波系數進行畫圖
%這里的層數1-5分別對應尺度2,4,6,16,32

cfd = zeros(5,lv);
for k = 1:5
    d = detcoef(c,l,k);
    d = d(:)';
    d = d(ones(1,2^k),:);
    cfd(k,:) = wkeep1(d(:)',lv);
end
cfd =  cfd(:);
I = find(abs(cfd)<sqrt(eps));
cfd(I) = zeros(size(I));
cfd = reshape(cfd,5,lv);
cfd = wcodemat(cfd,64,'row');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
subplot(3,1,2),colormap(pink(64));
img = image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row')));
set(get(img,'parent'),'YtickLabel',[]);
title('離散變換，系數絕對值');
ylabel('層數');

%執行連續小波sym2變換,尺度1-32
subplot(3,1,3);
ccfs = cwt(vonkoch,1:32,'sym2','plot');
title('連續變換，系數絕對值');
colormap(pink(64));
ylabel('尺度');
\end{lstlisting}
運行結果如下圖所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{0.png}
\end{center}


\subsection{信號壓縮}
下面的例子使用小波分析對給定的信號進行壓縮處理。在下面的例子中，使用函數wdcbm()獲取信號的壓縮閾值，然后采用函數wdencmp()實現信號的壓縮。
程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load nelec;
%裝載信號
index=1:1024;
x=nelec(index);
[c,l]=wavedec(x,3,'haar');
%用小波haar對信號進行3層分解
alpha=1.5;
[thr,nkeep]=wdcbm(c,l,alpha);
%獲取信號壓縮的閾值，wdcbm返回閾值和系數個數（1-D小波降噪Birge-Massart策略）
[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp('lvd',c,l,'haar',3,thr,'s');
%對信號進行壓縮
subplot(2,1,1);
plot(index,x);
title('原始信號');
subplot(2,1,2);
plot(index,xd);
title('壓縮后的信號');
\end{lstlisting}

結果如下圖所示：

%\begin{figure}
%  \centering
%  % Requires \usepackage{graphicx}
%  \includegraphics[width=8cm]{1.png}\\
%  \caption{}\label{fig.1}
%\end{figure}

\includegraphics[width=13cm]{1.png}

我們可以使用函數ddencmp()獲取信號的壓縮閾值，然后采用函數wdencmp()實現信號的壓縮。
程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load nelec;
%裝載信號
index=1:1024;
x=nelec(index);
[c,l]=wavedec(x,5,'haar');
%用小波haar對信號進行5層分解
[thr,nkeep]=ddencmp('cmp','wv',x);
%獲取信號壓縮的閾值，ddencmp 獲取默認值閾值（軟或硬）熵標準
xd=wdencmp('gbl',c,l,'haar',5,thr,'s',1);
%對信號進行壓縮
subplot(2,1,1);
plot(index,x);
title('原始信號');
subplot(2,1,2);
plot(index,xd);
title('壓縮后的信號');
\end{lstlisting}

結果如下圖所示：

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{2.png}
\end{center}


\subsection{信號去噪}
下面的例子利用小波分析對污染信號進行去噪處理，以恢復原始信號。程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load leleccum;
s = leleccum(1:3920);
ls = length(s);
% 畫出原始信號
subplot(2,2,1);
plot(s);
title('原始信號');grid;
% 用db1小波對原始信號進行三層分解并提取系數
[c,l] = wavedec(s,3,'db1');
ca3 = appcoef(c,l,'db1',3);
cd3 = detcoef(c,l,3);
cd2 = detcoef(c,l,2);
cd1 = detcoef(c,l,1);
% 對信號進行強制去燥處理并且圖示結果
cdd3 = zeros(1,length(cd3));
cdd2 = zeros(1,length(cd2));
cdd1 = zeros(1,length(cd1));
c1 = [ca3 cdd3 cdd2 cdd1];
s1 = waverec(c1,l,'db1');
subplot(2,2,2);
plot(s1);
title('強制去噪后的信號');grid;
%用默認閾值對信號進行去噪
%用ddencmp()獲得信號的默認閾值，使用wdencmp()命令函數實現去噪過程
[thr,sorh,keepapp] = ddencmp('den','wv',s);
s2 = wdencmp('gbl',c,l,'db1',3,thr,sorh,keepapp);
subplot(2,2,3);
plot(s2);
title('默認閾值去噪后的信號');grid;
%用給定的軟閾值進行去噪處理
cd1soft = wthresh(cd1,'s',1.456);
cd2soft = wthresh(cd2,'s',1.823);
cd3soft = wthresh(cd3,'s',2.768);
c2 = [ca3 cd3soft cd2soft cd1soft];
s3 = waverec(c2,l,'db1');
subplot(2,2,4);
plot(s3);
title('給定軟閾值去噪后的信號');grid;

\end{lstlisting}
信號去噪結果如下圖所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{3.png}
\end{center}

下面的例子用小波分析對含噪正弦波進行去噪。程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
%生成正弦信號
N=1000;
t=1:N;
x=sin(0.03*t);
%加噪聲
load noissin;
ns=noissin;
%顯示波形
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('原始信號');
subplot(3,1,2);
plot(ns);
title('含噪信號');
%小波去噪
xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',5,'db3');
subplot(3,1,3);
plot(xd);
title('去噪信號');
\end{lstlisting}
信號去噪結果如下圖所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{4.png}
\end{center}
我們可以清晰的看到，去噪之后的信號圖像大體上與原來信號一致，而且明顯去掉了噪音的干擾。但是去噪后的信號與原始信號相比，有著明顯的改變。這主要是由于在去噪處理過程中所用的分析小波和細節系數閾值不恰當所致。在matlab的小波工具箱中，設置軟閾值或硬閾值的函數為wthresh(),該函數根據參數sorh的值計算分解系數的軟閾值或者硬閾值。其中硬閾值對應于最簡單的處理方法，軟閾值具備很好的數學特性，并且更能得到可用的理論結果。




\section{小波分析現存問題與展望}

\section{其他5篇文獻的綜述}


\begin{thebibliography}{}

\end{thebibliography}
\section{附錄}

\clearpage
\end{document}