最長公共子序列和最長公共子串區別
最長公共子串（Longest CommonSubstring）和最長公共子序列（LongestCommon Subsequence, LCS）的區別：子串（Substring）是串的一個連續的部分，子序列（Subsequence）則是從不改變序列的順序，而從序列中去掉任意的元素而獲得的新序列；更簡略地說，前者（子串）的字符的位置必須連續，后者（子序列LCS）則不必。比如字符串acdfg同akdfc的最長公共子串為df，而他們的最長公共子序列是adf。LCS可以使用動態規劃法解決。下文具體描述。
最長公共子序列
問題描述：一個給定序列的子序列是在該序列中刪去若干元素后得到的序列。確切地說，若給定序列X= { x1, x2,…, xm}，則另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一個嚴格遞增的下標序列 {i1, i2,…, ik}，使得對于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相應的遞增下標序列為{2,3,5,7}。給定兩個序列X和Y，當另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列時，稱Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，則序列{B,C,A}是X和Y的一個公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一個公共子序列。而且，后者是X和Y的一個最長公共子序列，因為X和Y沒有長度大于4的公共子序列。給定兩個序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn}，要求找出X和Y的一個最長公共子序列。
問題解析：設X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。求X，Y的最長公共子序列最容易想到的方法是窮舉法。對X的多有子序列，檢查它是否也是Y的子序列，從而確定它是否為X和Y的公共子序列。由集合的性質知，元素為m的集合共有2^m個不同子序列，因此，窮舉法需要指數級別的運算時間。進一步分解問題特性，最長公共子序列問題實際上具有最優子結構性質。
設序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最長公共子序列為Z={z1,z2,……zk}。則有：
(1)若xm=yn,則zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最長公共子序列。
(2)若xm!=yn且zk!=xm，則Z是Xm-1和Y的最長公共子序列。
(3)若xm!=yn且zk!=yn，則Z是X和Yn-1的最長公共子序列。
其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。
遞推關系：用c[i][j]記錄序列Xi和Yj的最長公共子序列的長度。其中，Xi={x1,x2……xi}，Yj={y1,y2……yj}。當i=0或j=0時，空序列是xi和yj的最長公共子序列。此時，c[i][j]=0；當i,j>0，xi=yj時，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；當i,j>0，xi!=yj時，
c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]}，由此建立遞推關系如下：
構造最優解：由以上分析可知，要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最長公共子序列,可以按一下方式遞歸進行：當xm=yn時，找出xm-1和yn-1的最長公共子序列，然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最長公共子序列。當Xm!=Yn時，必須解兩個子問題，即找出Xm-1和Y的一個最長公共子序列及X和Yn-1的一個最長公共子序列。這兩個公共子序列中較長者為X和Y的最長公共子序列。設數組b[i][j]記錄c[i][j]的值由哪一個子問題的解得到的，從b[m][n]開始，依其值在數組b中搜索，當b[i][j]=1時，表示Xi和Yj的最長公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最長公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。當b[i][j]=2時，表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi-1和Yj-1的最長公共子序列相同。當b[i][j]=3時，表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi和Yj-1的最長公共子序列相同。
最長公共子串
求字串的方法和求子序列方法類似：
當str1[i] == str2[j]時，子序列長度veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1；只是當str1[i] ！= str2[j]時，veca[i][j]長度要為0，而不是max{veca[i - 1][j], veca[i][j - 1]}。
