btc address: 1FmWXNJT3jVKaHBQs2gAs6PLGVWx1zPPHf
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隨著區塊鏈的大熱，橢圓曲線算法也成了密碼學的熱門話題。在Bitcoin 生成地址 中使用到了橢圓曲線加密算法。
橢圓曲線
橢圓曲線的一般表現形式：
橢圓曲線其實不是橢圓形的，而是下面的圖形：
橢圓曲線
Bitcoin使用了 secp256k1 這條特殊的橢圓曲線，公式是：
這個東西怎么加密的呢？
群(Groups)
19世紀挪威青年 尼爾斯·阿貝爾 從普通的代數運算中，抽象出了加群（也叫阿貝爾群或交換群），使得在加群中，實數的算法和橢圓曲線的算法得到了統一。是什么意思呢？
我們在實數中，使用的加減乘除，同樣可以用在橢圓曲線中！
對的，橢圓曲線也可以有加法、乘法運算。
數學中的群是一個集合，我們為它定義了一個二元運算，我們稱之為“加法”，并用符號+表示。假定我們要操作的群用??表示，要定義的加法必須遵循以下四個特性：
封閉性：如果a和b都是??的成員，那么a+b也是??的成員。
結合律：(a + b) + c = a + (b + c);
單位元：存在確切的一個值，稱之為單位元，0可以保證該等式成立 a+0=0+a=a
逆元。每個成員都有一個相反數：對于任意值a必定存在b使得a+b=0
如果在增加第5個條件：
交換律：a + b = b + a
那么，稱這個群為阿貝爾群。根據這個定義整數集是個阿貝爾群。
岔開一下話題，伽羅瓦 與 阿貝爾 分別獨立的提出了群論，他們并稱為現代群論的創始人，可惜兩位天才都是英年早逝。
橢圓曲線的群定義
如上文所說，我們可以基于橢圓曲線定義一個群。具體地說：
- 元素都在橢圓曲線上
- 單位元是無窮0點
- 點P的逆元與P關于X軸對稱
- 加法由下列規則給出：給定三個共線的非零點 P、Q、R，則P+Q+R=0（無限遠點）成立
橢圓曲線運算之加法
在橢圓曲線上有 不重合且不對稱的 A 、B兩點，兩點與曲線相交于X點, X與x軸的對稱點為R，R即為 A+B的結果。這就是橢圓曲線的加法定義。
因為橢圓曲線方程存在 項，因此橢圓曲線必然關于x軸對稱
橢圓曲線加法運算
橢圓曲線的群律
曲線：，
坐標：A=(2,5)，B=(3,7)
A、B正好在曲線上，因為坐標滿足曲線公式
那如何找到相交的第三個點呢？
通過 A、B兩點確定直線方程，
設直線方程：，m為直線的斜率
進一步得到c=1。
聯立方程：
X(-1,-1)的x坐標-1代入方式正好滿足方程，所以A、B兩點所在直線與曲線相交于 X(-1,-1)，則點X的關于x軸的對稱點為R(-1,1)，即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。
根據橢圓曲線的群律(GROUP LAW)公式，我們可以方便的計算R點。
曲線方程：
當A=(x1,y1)，B=(x2,y2) ，R=A+B=(x3,y3)，x1≠x2時,
， m是斜率
x3=
y3=m(x1-x3)-y1
A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。
橢圓曲線加法符合交換律么？
先計算(A+B)，在計算 A+B+C
A+B+C
先計算B+C， 在計算 B+C+A
B+C+A
看圖像，計算結果相同，大家手動算下吧。
那 A + A 呢， 怎么計算呢？
定義乘法運算
當兩點重合時候，無法畫出 “過兩點的直線”，在這種情況下，
過A點做橢圓曲線的切線，交于X點，X點關于x軸的對稱點即為2A，這樣的計算稱為 “橢圓曲線上的二倍運算”。
下圖即為橢圓曲線乘法運算：
橢圓曲線乘法運算
我們將在ECC橢圓曲線加密算法(二) 介紹有限域，橢圓曲線的離散對數問題，橢圓曲線加密就是應用了離散對數問題。
參考：
https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/
