btc address: 1FmWXNJT3jVKaHBQs2gAs6PLGVWx1zPPHf
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上一篇文章中，ECC橢圓曲線加密(一) 介紹了橢圓曲線的加法，乘法。

同余運算

同余就是有相同的余數，兩個整數 a、 b，若它們除以正整數 m所得的余數相等，則稱 a， b對于模m同余，用表示。
在數論中叫 “時鐘運算”。 這個 “時鐘運算” 跟CPU時鐘周期沒有關系。

python中用% 計算同余，如何計算 呢?

2**137%71 
#或者
pow(2,137,71) 
12%5
27%5

有限域

上一篇中的橢圓曲線，對坐標（x，y）沒有任何限制，只要符合曲線方程就可以，坐標可以是整數、負數、有理數，即在實數范圍內，實數用 表示。

橢圓曲線是連續(xù)的，并不適合用于加密；所以，我們必須把橢圓曲線變成離散的點，我們要把橢圓曲線定義在有限域上。
而橢圓曲線密碼所使用的橢圓曲線是定義在有限域內，有限域用 表示。
有限域最常見的例子是，當元素為質數時的有限域（用表示）所組成的整數集合。

假設在 中的橢圓曲線 是什么計算規(guī)則呢？
，用到同余的概念。
我們找到3個坐標 (192, 105) (17, 56), (1, 193)都在有限域中。

#計算他們的余數是否相同
(192**3+7)%223 == 105**2%223
(17**3+7)%223 == 56**2%223
(1**3+7)%223 == 193**2%223

橢圓曲線上的離散對數

在橢圓曲線密碼中，我們首先定義一條橢圓曲線，然后對橢圓曲線上的某一點之間的運算進行定義，并用這些運算來進行密碼技術的相關計算，這就是橢圓曲線加密算法的數學依據。

如果橢圓曲線上一點P，我們計算nP，顯然點的分布與順序都是雜亂無章的。

乘法逆元

在模7乘法中：

• 1的逆元為1 (1*1)%7=1
• 2的逆元為4 (2*4)%7=1
• 3的逆元為5 (3*5)%7=1
• 4的逆元為2 (4*2)%7=1
• 5的逆元為3 (5*3)%7=1
• 6的逆元為6 (6*6)%7=1

擴展歐幾里得算法用來求乘法逆元

在 mod p 的意義下我們把x的乘法逆元寫作 ，乘法逆元有如下的性質：

乘法逆元的一大應用是模意義下的除法，除法在模意義下并不是封閉的，但我們可以根據上述公式，將其轉化為乘法。
假設需要1/4 mod 23，可以轉化為，又可以轉化為1*(4和23的乘法逆元) mod 23。

def ext_euclid(a, b):
     if b == 0:
         return 1, 0, a
     else:
         x, y, q = ext_euclid(b, a % b) # q = gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
         x, y = y, (x - (a // b) * y)
         return x, y, q

標量乘法

除了加法，我們定義另外一種運算：標量乘法，也即數乘

寫成如上形式的話，nP 的計算看上去需要 n 次加法。如果 n 有 k 位二進制位的話，即位，那我們的算法復雜度就是, 計算量有點大，但是其實存在更快速的方案。

其中一個就是先做倍數再做加法。假設n=151，其對應的二進制是10010111。而二進制數字可以轉化為：

我們可以這么寫：

所以，該運算過程是這樣的：

• 獲取P
• 取P的2倍，得到2P
• 2P加上P
• 把2P再取2倍，得到4P
• 4P加上2P加上P
• 4P再取2倍，得到8P
• 不取8P做運算
• 8P取2倍，得到16P
• 16P加上4P加上2P加上P
• ……

最終，要得到151P我們只是做了一些簡單的倍數以及加法。

如果我們計算 6P，只需要

• P
• 通過P得到2P
• 通過2P得到4P
• 2P+4P得到6P

可以看看下面的Python代碼實現

def bits(n):
    '''
    bits(151) => 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1
    '''
    while n:
        yield n & 1
        n >>= 1

def double_and_add(n, x):
    result = 0
    addend = x

    for bit in bits(n):
        if bit == 1:
            result += addend
        addend *= 2

    return result

參考：
https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392505.html
https://oi.men.ci/mul-inverse/
https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/23/elliptic-curve-cryptography-finite-fields-and-discrete-logarithms/