繼續 算法導論 最大子數組問題，線性時間，這次把索引，也計算出來
思路和代碼，抄襲 https://www.cnblogs.com/jimmy1989/p/8476916.html
感謝作者。
擴展-記錄索引值
這里因為與代碼結合著討論的，所以下標從0開始。
這里再說一下兩個自定義名詞：
前最大子數組：不包含當前元素的最大子數組
邊界最大子數組：只包含當前元素和不只包含當前元素，兩種情況的較大值
我們以數組{1,-2,3,10,-4,7,2,-48}為例。
初始時兩個索引都為0，最大子數組和邊界最大子數組都是1；
當迭代索引為1時，本次值為-2，前一元素的邊界最大子數組為1，所以邊界最大子數組為-1，前最大子數組為1，本次迭代的最大子數組為前最大子數組，值為1，不更新索引；
當迭代索引為2時，本次值為3，前邊界最大子數組為-1，所以邊界最大子數組為3；前最大子數組為1，本次迭代的最大子數組為邊界最大子數組，值為3；此時需要把起始索引和終止索引都更新為當前索引，即2；
當迭代索引為3是，本次值為10，前邊界最大子數組為3，所以邊界最大子數組為13，前最大子數組為3，本次迭代的最大子數組為邊界最大子數組，值為13；此時需要把終止索引更新為當前索引，卻不能更新起始索引；
…………
索引為2和索引為3的共同點在于，都是邊界最大子數組大于前最大子數組，都更新了終止索引；差別在于，索引2為時，邊界最大子數組只包含了索引對應的值，所以可以更新起始索引；而索引3的邊界最大子數組也包含了前一元素，所以只能更新終止索引。
此時可以把需要更新索引的情況概括如下：
條件①：本次的邊界最大子數組只包含當前值，且大于前最大子數組，則更新起始索引；
條件②：本次的邊界最大子數組大于前最大子數組，則更新終止索引；
更新終止索引的條件②應該是充分且必要的，然而更新起始索引的條件①是充分的，確并不是必要的。考慮一下數組{4,-5,1,5}，當索引為2時，邊界最大子數組為1，前最大子數組為4，只滿足條件1的前半部分，然而整個數組的最大子數組的起始索引卻是2。所以條件①需要進行補充。
以下是第二個版本的兩個條件：
條件①：本次的邊界最大子數組只包含當前值 ,
(這里說明，如果在后面出現最大子數組，那么，索引從這里開始，
這里把，另一個網站的解釋，復制過來，感謝作者，允許我抄襲，引用
https://blog.csdn.net/songxueyu/article/details/47005557
“在已知A[1...j]的最大子數組的情況下，可以在線性時間內找出形如A[i..j+1]的最大子數組”
這句話里面描述的方法沒有說出來.這里我先把我的結論說出來，接下來再證明。
( 由于原文中的終止索引用l ，小寫的L ,容易看錯，此處用zz 表示)
結論：在已知A[1...j]的最大子數組的情況下（假設A[1..j]的最大子數組是A[k...zz]），找出Ai..j+1的最大子數組是如下三個子數組中的最大和
1.A[k...zz]
2.A[k...j+1]
3.max{A[x...j+1] | x 取值范圍從 zz + 2 至 j + 1}
也就是說，如果新的最大子數組不是原來的最大子數組，那么新的最大子數組的終點必然是j+1.這個是顯而易見的。
假設新的最大子數組不是原來的，那么起點是哪里呢？
1.起點不可能小于k。因為如果小于k，那么說明有A[x...j+1]>A[k...j+1]（x<k)，即存在A[x...k-1]>0，這顯然是不可能的。
2.起點不可能大于k小于等于zz。因為如果那樣的話，說明有A[x...j+1]>A[k...j+1]（k<x<=zz），即A[k...x-1]<0，即最大子數組的起點到它中間某個點小于0，這是不可能的。
3.起點不可能位于zz+ 1，因為A[zz+1]必然小于0。)
條件②：本次的邊界最大子數組大于前最大子數組 （師傅，我又發現一個更大的人參果。）
當滿足條件①時，把當前索引記錄為緩存索引，但并不更新起始索引；
繼續干活，繼續尋找
當滿足條件②時，更新終止索引為當前索引，并且，更新起始索引為緩存索引。
條件②的滿足總是要在條件①之后的。
條件①可能標志著一個新的開始，因為條件①可以重復滿足，每次滿足都應該更新緩存索引。 ，而條件②必定標志著一個結束。
# Hello World program in Python
print "Hello99999 World!\n"
def maxSubArray( array):
length = len(array)
boundry = array[0]
maxArray = array[0]
# copy from https://www.cnblogs.com/jimmy1989/p/8476916.html,thank you
maxEndIndex = 0
maxBeginIndex = 0
tmpBeginIndex = 0
for i in range(1, length):
print '===============================>>>'+str(i)+'>>>go'
if ( boundry > 0 ):
boundry += array[i]
else:
#now boundry <= 0
boundry = array[i]
#we record tmpBeginIndex for use
tmpBeginIndex=i
if( maxArray < boundry ):
maxArray = boundry
maxEndIndex=i
#if boundry == array[i]:
maxBeginIndex=tmpBeginIndex
return [maxArray,maxBeginIndex,maxEndIndex]
#a=[130,-3,-250,120,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7,-99,88,12]
a=[-13,1123,-25,8820,-3,16,-723,18,20,77,-12,-5,22,-15,-4,88,12,-789,999,8,-9,88]
#a=[1,1,1,1,1,1,1,1,-99,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]
print maxSubArray(a)
result
$python main.py
Hello99999 World!
===============================>>>1>>>go
===============================>>>2>>>go
===============================>>>3>>>go
===============================>>>4>>>go
===============================>>>5>>>go
===============================>>>6>>>go
===============================>>>7>>>go
===============================>>>8>>>go
===============================>>>9>>>go
===============================>>>10>>>go
===============================>>>11>>>go
===============================>>>12>>>go
===============================>>>13>>>go
===============================>>>14>>>go
===============================>>>15>>>go
===============================>>>16>>>go
===============================>>>17>>>go
===============================>>>18>>>go
===============================>>>19>>>go
===============================>>>20>>>go
===============================>>>21>>>go
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