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1. 不定積分

1.1 定義

在區間 $I$ 上，函數 $f(x)$ 的帶有任意常數項的原函數稱為 $f(x)$ （或 $f(x)dx$ ）在區間 $I$ 上的不定積分，記作 $\int f(x)dx$ 其中記號 $\int$ 稱為積分號， $f(x)$ 稱為被積函數， $f(x)dx$ 稱為被積表達式， $x$ 稱為積分變量。

由定義可知：

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在區間 $I$ 上的一個原函數，那么 $F(x) + C$ 就是 $f(x)$ 的不定積分，即 $\int f(x) dx = F(x) + C$ 因而不定積分 $\int f(x) dx$ 可以表示 $f(x)$ 的任意一個原函數。
由于 $\int f(x) dx$ 是 $f(x)$ 的原函數，所以 $\fracthyiibg{dx}[\int f(x)dx] = f(x)$ 或 $d[\int f(x)dx] = f(x)dx$
又由于 $F(x)$ 是 $F'(x)$ 的原函數，所以 $\int F'(x)dx = F(x) + C$ 或記作 $\int d\,F(x) = F(x) + C$
由此可見，微分運算（以記號 $d$ 表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算，以記號 $\int$ 表示）是互逆的，當記號 $\int$ 與 $d$ 連在一起時，或者相互抵消，或者抵消后差一個常數。

定理??? 連續函數一定有原函數。

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1.2 基本積分表

$\int k\,dx = kx + C\,(k 是常數)$
$\int x^{\mu}\,dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C\,(\mu \neq -1)$
$\int \frac {dx}{x} = ln|x| + C$
$\int \frac {dx}{1+x^{2}} = arctan\,x + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = arcsin\,x + C$
$\int cos\,x\,dx = sin\,x + C$
$\int sin\,x\,dx =- cos\,x + C$
$\int \frac {dx}{cos^{2}\,x} = \int sec^{2}\,x\,dx = tan\,x + C$
$\int \frac {dx}{sin^{2}\,x} = \int csc^{2}\,x\,dx = -cot\,x + C$
$\int sec\,x\,tan\,x\,dx = sec\,x + C$
$\int csc\,x\,cot\,x\,dx = -csc\,x + C$
$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$
$\int a^{x}\,dx = \frac {a^{x}}{ln\,a} + C$
$\int sh\,xdx = ch\,x +C$
$\int ch\,x dx = sh\,x + C$
$\int tan\,x\,dx =- ln|cos\,x| + C$
$\int cot\,x\,dx = ln|sin\,x| + C$
$\int sec\,x\,dx = ln|sec\,x+tan\,x| + C$
$\int csc\,x\,dx = ln|csc\,x-cot\,x| + C$
$\int \frac {dx}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a}arctan\,\frac{x}{a} + C$
$\int \frac {dx}{x^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}ln\,|\frac{x-a}{x+a}| + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = arcsin\,\frac{x}{a} + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} = ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}) + C$
$\int \frac {dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$

1.3 不定積分的性質

性質 1 ??? 設函數 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函數存在，則 $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x) dx$

性質 2 ??? 設函數 $f(x)$ 的原函數存在， $k$ 為非零常數，則 $\int k\,f(x)dx = k\int f(x)dx$

1.4 積分法

第一類換元積分法 ??? 設 $f(u)$ 具有原函數， $u= \varphi (x)$ 可導，則有換元公式 $\int f[\varphi (x)]\varphi'(x)dx = [\int f(u)du]_{u=\varphi (x)}$

第二類換元積分法 ??? 設 $x=\psi (t)$ 是單調的、可導的函數，并且 $\psi' (t)\neq0$ ，又設 $f[\psi (t)]\psi' (t)$ 具有原函數，則有換元公式 $\int f(x)dx = [f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}$ 其中 $\psi^{-1}(x)$ 是 $x=\psi(t)$ 的反函數。

分部積分法 ??? 設函數 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有連續導數，那么，兩個函數乘積的導數公式為 $(uv)'=u'v+uv'$ 移項得 $uv' = (uv)'=u'v$ 對這個等式兩邊求不定積分，得 $\int uv'dx = uv - \int u'vdx$ 此即為分部積分公式，簡便寫法為 $\int udv = uv - \int vdu$

2. 定積分

2.1 兩個充分條件

定理 1 ??? 設 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續，則 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可積。

定理 2 ??? 設 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限個間斷點，則 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可積。

2.2 定積分的性質

規定

當 $a=b$ 時， $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$
當 $a>b$ 時， $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

性質 1 ??? $\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)$

性質 2 ??? $\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$

性質 3 ??? 設 $a<c<b$ ，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$

性質 4 ??? 如果在區間 $[a, b]$ 上 $f(x)\equiv1$ ，則 $\int_{a}^{b}1dx = \int_{a}^{b}dx =b-a$

性質 5 ??? 如果在區間 $[a, b]$ 上 $f(x) \geqslant 0$ ，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geqslant 0\,\,(a<b)$

推論 1 ??? 如果在區間 $[a, b]$ 上 $f(x) \leqslant g(x)$ ，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx\,\,(a<b)$

推論 2 ??? $|\int_{a}^{b}f(x)dx| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)|dx\,\,(a<b)$

性質 6 ??? 設 $M$ 及 $m$ 分別是 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，則 $m(b-a) \leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx \leqslant M(b-a)\,\,(a<b)$

性質 7 (積分中值定理) ??? 如果 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上連續，則在 $[a, b]$ 上至少存在一個點 $\xi$ ，使下式成立： $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)\,\,(a\leqslant \xi \leqslant b)$

2.3 微積分基本公式

定理 1 ??? 如果 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上連續，則積分上限的函數 $\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $[a, b]$ 上可導，并且它的導數 $\Phi'(x) = \frac86a1dyd{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)\,\,(a\leqslant x \leqslant b)$

定理 2 ??? 如果 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上連續，則函數 $\Phi(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$ 就是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一個原函數。

定理 3 ??? 如果 $F(x)$ 是連續函數 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一個原函數，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$

定積分的換元法 ??? 假設 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上連續，函數 $x=\varphi(t)$ 滿足條件：
（1） $\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$ ;
（2） $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有連續導數，且其值域 $R_{\varphi} = [a, b]$ ，則有 $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f([\varphi(t)])\varphi'(t)dt$

定積分的分部積分法 ??? $\int_{a}^{b}uv'dx = [uv]^{a}_{b} - \int_{a}^{b}vu'dx$ 即已經積出的部分可以先用上下限代入。

3. 反常積分

3.1 無窮限的反常積分

定義 1 ??? 設 $f(x)$ 在區間 $[a, +\infty )$ 上連續，取 $t>a$ ，如果極限 $\underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 存在，則稱此極限為函數 $f(x)$ 在無窮區間 $[a, +\infty )$ 上的反常積分，記作 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ ，即 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx = \underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$
這時也稱反常積分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則函數 $f(x)$ 在無窮區間 $[a, +\infty )$ 上的反常積分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 就沒有意義，習慣上稱為反常積分 $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 發散。

類似的，設 $f(x)$ 在區間 $(-\infty, b]$ 上連續，取 $t<b$ ，如果極限 $\underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 存在，則稱此極限為函數 $f(x)$ 在無窮區間 $(-\infty, b]$ 上的反常積分，記作 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ ，即 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx = \underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$
這時也稱反常積分 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx$ 發散。

設 $f(x)$ 在區間 $(-\infty, +\infty)$ 上連續，如果反常積分 $\int_{-\infty}^{0}f(x)dx$ 和 $\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ 都收斂，則稱上述兩反常積分之和為函數 $f(x)$ 在無窮區間 $(-\infty, +\infty$ 上的反常積分，記作 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ ，即 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{+\infty}f(x)dx = \underset{t\rightarrow -\infty }{lim} \int_{t}^{0}f(x)dx + \underset{t\rightarrow +\infty }{lim} \int_{0}^{t}f(x)dx$
這時也稱反常積分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收斂，否則，稱反常積分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 發散。

3.2 無界函數的反常積分

如果函數 $f(x)$ 在 $a$ 的任一領域內都無界，那么點 $a$ 稱為函數 $f(x)$ 的瑕點（也稱為無界間斷點），無界函數的反常積分又稱為瑕積分。

定義 2 ??? 設函數 $f(x)$ 在區間 $(a, b]$ 上連續，點 $a$ 為 $f(x)$ 的瑕點，取 $t > a$ ，如果極限 $\underset{t\rightarrow a^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 存在，則稱此極限為函數 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常積分，記作 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，即 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \underset{t\rightarrow a^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 這時也稱反常積分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 發散。

類似的，設函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b)$ 上連續，點 $b$ 為 $f(x)$ 的瑕點，取 $t < b$ ，如果極限 $\underset{t\rightarrow b^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 存在，則定義 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \underset{t\rightarrow b^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx$ 否則，就稱反常積分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 發散。

設函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上除 $c(a<c<b)$ 點外連續，點 $c$ 為 $f(x)$ 的瑕點，如果兩個反常積分 $\int_{a}^{c}f(x)dx$ 和 $\int_{c}^{b}f(x)dx$ 都收斂，則定義 $\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx = \underset{t\rightarrow c^{-} }{lim} \int_{a}^{t}f(x)dx + \underset{t\rightarrow c^{+} }{lim} \int_{t}^{b}f(x)dx$ 否則，就稱反常積分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 發散。

4. 微分方程

3.1 定義

一般的，凡是表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間關系的方程，叫做微分方程，有時也簡稱方程。微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階。

一般的， $n$ 階微分方程的形式是 $F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0$

3.2 微分方程的解法

3.2.1 可分離變量的微分方程

一般的，如果一個一階微分方程能寫成 $g(y)dy = f(x)dx \tag{1}$ 的形式，即能把微分方程寫成一段只包含 $y$ 的函數和 $dy$ ，另一端只含 $x$ 的函數和 $dx$ ，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。

對 $(1)$ 式兩端積分 $\int g(y)dy = \int f(x)dx$ 設 $G(y)$ 即 $F(x)$ 依次為 $g(y)$ 和 $f(x)$ 的原函數，于是有 $G(y) = F(x) + C \tag{2}$ $(2)$ 式即為方程 $(1)$ 的隱式解，也稱為微分方程 $(1)$ 的隱式通解。

3.2.2 齊次方程

如果一階微分方程可化為 $\frac {dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$ 的形式，那么就稱這方程為齊次方程。

在齊次方程中，引入未知函數 $u=\frac{y}{x}$ （其中 $\frac{dy}{dx} = u+ x\frac{du}{dx}$ ），就可將它化為可分離變量的方程。

3.2.3 線性方程

定義 1 ??? 方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \tag{3}$ 叫做一階線性微分方程。如果 $Q(x)\equiv 0$ 則方程 $(3)$ 稱為齊次的，否則稱為非齊次的。

此類方程的解為：其對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。
由 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \tag{4}$
分離變量后求解得到： $y = Ce^{-\int P(x)dx}\,\,(C = \pm e^{c_1})$
再用常數變易法來求解非齊次方程 $(3)$ 的特解：將 $(4)$ 的通解中的常數 $C$ 替換為 $x$ 的未知函數 $u(x)$ ，即做變換 $y = ue^{-\int P(x)dx} \tag{5}$
于是 $\frac{dy}{dx} = u'e^{-\int P(x)dx} - uP(x)e^{-\int P(x)dx} \tag{6}$
將 $(5)$ 和 $(6)$ 代入 $(3)$ 進行求解，得到
$u = \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C$
即 $y = e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$ 為方程 $(3)$ 的特解。
所以方程 $(3)$ 的解為： $y = Ce^{-\int P(x)dx} + e^{-\int P(x)dx} (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$

定義 2 ??? 一階線性方程，形如
$y' + p(x)y = q(x)$
解法：兩邊同乘積分因子 $e^{\int p(x)dx}$ 得
$e^{\int p(x)dx}(y' + p(x)y) = e^{\int p(x)dx}q(x)$
兩邊積分得
$e^{\int p(x)dx}y = \int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + C$
于是
$y = e^{- \int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx + C]$

3.3 函數的線性相關性

對于兩個函數構成的函數組，如果兩函數的比為常數，則它們是線性相關的，否則就線性無關。

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高等數學——積分

高等數學——積分

1. 不定積分

1.1 定義

1.2 基本積分表

1.3 不定積分的性質

1.4 積分法

2. 定積分

2.1 兩個充分條件

2.2 定積分的性質

2.3 微積分基本公式

3. 反常積分

3.1 無窮限的反常積分

3.2 無界函數的反常積分

4. 微分方程

3.1 定義

3.2 微分方程的解法

3.2.1 可分離變量的微分方程

3.2.2 齊次方程

3.2.3 線性方程

3.3 函數的線性相關性

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1.1 定義

1.2 基本積分表

1.3 不定積分的性質

1.4 積分法

2. 定積分

2.1 兩個充分條件

2.2 定積分的性質

2.3 微積分基本公式

3. 反常積分

3.1 無窮限的反常積分

3.2 無界函數的反常積分

4. 微分方程

3.1 定義

3.2 微分方程的解法

3.2.1 可分離變量的微分方程

3.2.2 齊次方程

3.2.3 線性方程

3.3 函數的線性相關性

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