本文譯自В. М. Тихомиров教授（英文作Tikhomirov，中文作季霍米洛夫，approximation theory方向）為他的老師，數(shù)學大師柯爾莫戈洛夫寫的紀念文章《Гений, живший среди нас》，原是俄文。Тихомиров教授寫得非常生動。
文中名字，【安德烈·尼古拉耶維奇】即柯爾莫戈洛夫（有時也譯作“柯爾莫哥洛夫”）。
柯爾莫戈洛夫，我們之中的天才：研究風格
是時候再次回到柯爾莫戈洛夫的科學生涯并討論他的創(chuàng)造方式的一些特點，這在許多方面促成了極其重要的科學學派的創(chuàng)建。事情可以在比較中呈現(xiàn)，下面我想將柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)作特點與其杰出同事和同時代人的創(chuàng)作方式進行比較。
記得有次柯爾莫戈洛夫跟我們談論到誰是當代最偉大的數(shù)學家。談話中，大家發(fā)現(xiàn)試圖糾纏于任何一個名字都是徒勞的：他們無法達成一致。最偉大數(shù)學家的集合，相對較小但很明確：如果你問誰是最偉大的一百位或最偉大的兩位數(shù)學家，他們會給出大致相同的名字。后來在我和朋友的交談中，這個話題不止一次涉及（尤其是在我們年輕的時候）。誰是居于首位的 - 柯爾莫戈洛夫，維諾格拉多夫（I. M. Vinogradov，我國的華羅庚先生非常尊重他，兩人交情很深），伯恩斯坦（SN Bernshtein），彼得羅夫斯基（I. G. Petrovsky），L. 龐特里亞金（S. Pontryagin），蓋爾方德（I. M. Gelfand）。 這只是蘇聯(lián)時期的我國數(shù)學家。我當然承認可以添加我國其他的偉大數(shù)學家名字。讓我們在這個名單上稍作糾結，先只添加上希爾伯特的名字——他是20世紀前三分之一年代最重要的數(shù)學家，柯爾莫戈洛夫高度尊重他，并親自將其衷心地寫入了《蘇聯(lián)大百科全書》。 （許多其他外國數(shù)學家的名字也會在列我們的名單 -包括 Hadamard、Brouwer、G. Weil、G?del、Siegel、E. Cartan、A. Cartan、Lebesgue、Levy 等）
柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)作方式與上述所有數(shù)學家之間有一個根本區(qū)別。蓋爾方德曾在一次談話中說：“數(shù)學是一場馬拉松。”這是一個深刻的思考。毫無疑問，蓋爾方德本人和上面列出的所有其他數(shù)學家都是“馬拉松運動員”。 柯爾莫戈洛夫則屬于不同類型的科學家（但是，除了他本人，我不知道還有像他這樣的人）。安德烈·尼古拉耶維奇當然也是一名“馬拉松運動員”，但在途中主要是一名沖刺的“短跑運動員”。
這是什么意思呢？多年來，無論是在文章還是在個人談話中，柯爾莫戈洛夫常引用數(shù)學家Delone的一句話。Delone曾在奧林匹克競賽閉幕時在小學生面前發(fā)言說，數(shù)學家的工作與奧林匹克數(shù)學競賽參與者的工作不同，解決一個奧林匹克問題需要大約一個小時，但要解決一個真正的、深奧的數(shù)學問題需要 5000 個小時。這個值——5000 小時——表征了馬拉松數(shù)學家的工作特點。
然而，每當談到他自己時，安德烈·尼古拉耶維奇就表現(xiàn)出明顯的尷尬。他無法做到這個”著名的“ 5000 小時。在一次采訪中，他說：“在我的整個科研生涯中，完全忘我、不受其他一切事物影響的工作，我大約可以持續(xù)工作一周，最多可能是兩周，但沒法更多了。”大約四十年前，我第一次聽到類似的事情：在課上，他提到了一個小得多的數(shù)字——對構造一個傅里葉級數(shù)幾乎處處發(fā)散的例子進行了連續(xù)3天的思考，最后得以突然的領悟。早期他稱這個結果是他已有成果中技術上最困難的。后天，柯爾莫哥洛夫將他技術上最難的結果選為后來導致希爾伯特13問題解的定理，同時提到了兩周的不懈思考。
我們看出，這些例子反映了安德烈·尼古拉耶維奇的獨特風格。他知道如何在相對較短的時間內集中巨大的能量。這種能量的積累引起了強大的效應，在問題看似堅不可摧的堡壘墻壁上打開巨大的裂縫，引領數(shù)十名，有時是數(shù)百名、數(shù)千名研究人員沖到那里。而柯爾莫戈洛夫自己卻離開了這后續(xù)的一切，他的思緒已經轉向了其他目標。這在我眼前發(fā)生了很多次。也許從這個角度去瀏覽柯爾莫戈洛夫的整個創(chuàng)作過程會很有趣。
在亞歷山德羅夫課程的影響下，柯爾莫戈洛夫在描述集合論方面完成了第一項重要工作。 他意識到可以將亞歷山德羅夫的主要思想（構造了 A-set ）與 Suslin（證明了 A-set 比 B-set 更廣） 的主要思想相結合，這奠定了集合運算理論的基礎。 他的導師魯津（Luzin）當時沒有理解這篇文章，因此它的第一部分在七年后——1928 年才發(fā)表（第二部分于1987年作為附錄發(fā)表在柯爾莫戈洛夫選集第三卷中）。安德烈·尼古拉耶維奇沒有在這個問題繼續(xù)寫文章。隨后該理論變得非常活躍，安德烈·尼古拉耶維奇的工作理所當然地成了源泉之一。
接下來是柯爾莫戈洛夫科研初期的最大發(fā)現(xiàn)——他構造了一個傅立葉級數(shù)幾乎處處發(fā)散的可測函數(shù)（我們剛剛提到過）。 柯爾莫戈洛夫研究三角和正交級數(shù)理論有一段時間，但轉而他的興趣轉向了概率論（他與辛欽密切合作了幾年）。在 1930 年代初期，他的努力以完成兩部具基本重要性的著作而告終：論文《論概率論的分析方法》和專著《概率論的基本概念》。除了這些“馬拉松”成果之外，還有一些“沖刺”的業(yè)績——特別是他在數(shù)理邏輯方面的研究、他在數(shù)理統(tǒng)計和拓撲方面的杰出工作（其中他與美國代數(shù)拓撲學家Alexander同時獨立地引入了最重要的拓撲概念——“上同調”）。這一切都發(fā)生在 30 年代。這里還有他關于近似理論的兩篇簡短論文，它們?yōu)樾碌幕痉较颉㈤_映射下增加維數(shù)問題的解決方案以及其他一些成果奠定了基礎。 1930 年代末和 1940 年代初他致力于湍流理論。這些研究也有“馬拉松”的成分。
在 40 年代，柯爾莫戈洛夫建立了射擊理論（這里有“馬拉松”成分），并為所謂的分支過程理論奠定了基礎（這也許是“沖刺”的成就）。
回到50 年代。一個突然的偉大洞察，導致了 KAM 理論的誕生。而安德烈·尼古拉耶維奇本人僅在《蘇聯(lián)科學院學報》上發(fā)表了兩篇短文，組織了一個力學數(shù)學專題討論班，并做了阿姆斯特丹世界數(shù)學家大會的閉幕報告。 1955 年，信息論開始引起他的興趣。但同時期他“偶然地”幾乎徹底解決了希爾伯特第13個問題（當然也是以艱辛的壓力為代價的）：他證明了任何四個或更多變量的連續(xù)函數(shù)都可以表示為三個變量的連續(xù)函數(shù)的疊加。再一次，他沒有繼續(xù)研究問題的最終解決方案。而把這個問題留給了他的學生阿諾爾德（當時才大三）解決。
…… 1957 年夏天的一天，我到達科馬羅夫卡（Komarovka，在那里柯爾莫戈洛夫和亞歷山德羅夫有一棟鄉(xiāng)間小舍），柯爾莫戈洛夫老師告訴我：前一天，在思考解決希爾伯特第 13 個問題的構造時，他突然恍然大悟，找到了一種異常簡單的新方法來解決這個問題，加強了阿諾德的結果。我到的時候，準備投給《蘇聯(lián)科學院學報》一份短文已經寫好了！同樣的事情也發(fā)生在動力系統(tǒng)的馮諾依曼問題上（這個問題已經存在了二十多年，所有動力系統(tǒng)專家都想解決掉它），即譜是否是動力系統(tǒng)的一個完備表征。另一次也是發(fā)生在我訪問科馬羅夫卡，安德烈·尼古拉耶維奇突然說：“熵是一個不變量，僅靠譜是不夠的。”此頓悟再次導致了突破，數(shù)名研究人員沖進了缺口，其中不乏一流的數(shù)學家；正如經常發(fā)生的那樣，柯爾莫戈洛夫則將自己限制在一篇《蘇聯(lián)科學院學報》論文中，僅作出第一步突破，然后拂身而去。下面是另一個例子。有一天，安德烈·尼古拉耶維奇和我要去列寧格勒參加一個會議。晚上我們在馬車的走廊里談論不同的事情。突然他告訴我他剛剛想到了這個想法（就在那里，在一次談話中！）在線性拓撲空間的線性映射下，熵也可以是不變的。很快又寫了一篇短文，很多數(shù)學家再次對這個話題感興趣，在我的記憶中，之后柯爾莫戈洛夫老師甚至從未想過這個領域將發(fā)生了什么。
我們容易發(fā)現(xiàn)，柯爾莫戈洛夫與上面列出的“最偉大”的數(shù)學家中的任何一位都少有相似之處。與柯爾莫哥洛夫形成最鮮明對比的是希爾伯特。由于柯爾莫戈洛夫的創(chuàng)造性天才的“沖刺”特征，他設法打穿開拓了大量難題和領域。在我之前寫的一篇關于安德烈·尼古拉耶維奇的文章中，我列出了數(shù)學、自然科學、人文學科的大約四十個領域，他在這些領域都留下了基本的印記（雖然仍沒有用盡他創(chuàng)造的一切）。幾乎在任何子學科，安德烈·尼古拉耶維奇的研究都是先驅行的工作，包含了基本理論的創(chuàng)造，而新領域剩余的完善工作則留給了門徒和追隨者。作為比對，希爾伯特對純數(shù)學八個主題全神貫注地研究了很多年，有時甚至是幾十年，試圖“找到基礎、根源、核心”。 伯恩斯坦、維諾格拉多夫、彼得羅夫斯基、龐特里亞金的研究風格跟希爾伯特是相似的。 （一個特例是蓋爾方德：他總是和同事合作，我們所列的其他科學家都是單獨工作。和柯爾莫戈洛夫一樣，蓋爾方德研究了很多領域，他是一個毋庸置疑的“馬拉松運動員”。）
綜上所述，柯爾莫戈洛夫總是會產生大量的想法，這些想法滋養(yǎng)了與他一起工作的學生。事實上，安德烈·尼古拉耶維奇通常不和他的學生”一起“工作：他并沒有按照”指導“這個詞普遍接受的的意義來教他們。他只是播撒問題、假設，分享想法、方法——在科馬羅夫卡小舍的講座、散步、喝茶時……這些高屋建瓴的問題，往往不僅是一個數(shù)學意義上的難題，而蘊含了更廣遠的科學（或哲學）意義。如果一個門徒踏上了其中一條路，那么他自己就能繼續(xù)精進下去，不會輕言”一切都已經解決了“……
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