什么是堆?

大根堆和小根堆.jpg

如圖所示：當(dāng)父結(jié)點(diǎn)的值，都比其子結(jié)點(diǎn)的值小時(shí)，就是小根堆，一個(gè)小根堆中，最小的值肯定在堆頂。

同理，當(dāng)父結(jié)點(diǎn)的值都比其子結(jié)點(diǎn)的值大時(shí)，就是大根堆，一個(gè)大根堆中，最大的值肯定在堆頂。

堆排序

1.jpg

現(xiàn)在是一個(gè)大頂堆，那么最大值肯定在堆頂處，我們將堆頂?shù)脑嘏c最后一個(gè)元素交換。

步驟2.jpg

然后再將剩下的元素（排除交換的最后一個(gè)元素）重新調(diào)整為大根堆，過程如下：
10 與左兒子結(jié)點(diǎn)右兒子結(jié)點(diǎn)中最大值交換。

步驟3.jpg

此時(shí)有形成一個(gè)新的大根堆。我們?cè)谧龅谝徊阶?/p>

繪圖4.jpg

此時(shí)，我們就將最大數(shù)，和第二大數(shù)排好序（升序排列）。
將這個(gè)過程往復(fù)下去，最后我們就能夠?qū)⑺袛?shù)據(jù)排序完畢。

我們上面所作的所有步驟，都是假設(shè)序列一開始就是大根堆的情況下，但是并不是所有將要排序序列一開始就是是符合大根堆的。

所以，其中關(guān)鍵就是構(gòu)造大根堆。當(dāng)我們第一次把隨機(jī)的數(shù)組構(gòu)造成大根堆后，以后我們只需要每次交換后調(diào)整堆頂?shù)臄?shù)據(jù)使之再成為大根堆。往復(fù)下去。

思路：

• precolate down（下溯算法）：

給定一個(gè)結(jié)點(diǎn)n， 其左子結(jié)點(diǎn)2n+1，右子節(jié)點(diǎn)：2n+2。然后與左右子結(jié)點(diǎn)中最大值childmax比較，如果大于childmax，則說明該結(jié)點(diǎn)及子樹已經(jīng)符合大根堆標(biāo)準(zhǔn)。
否則則與childmax交換，然后再把原childmax結(jié)點(diǎn)作為新的父結(jié)點(diǎn)和其左子結(jié)點(diǎn)和右子結(jié)點(diǎn)比較，作上述過程。最后一直下溯至葉子結(jié)點(diǎn)（葉子節(jié)點(diǎn)沒有左右子結(jié)點(diǎn)）。這樣我們將結(jié)點(diǎn)n及其子樹調(diào)整為了大根堆。整個(gè)過程如上圖3。

但是步驟3排序思路的大前提是我們已經(jīng)將一個(gè)隨機(jī)的數(shù)組已經(jīng)有構(gòu)造成大根堆的情況下。所以我們之前還必須做將一個(gè)隨機(jī)數(shù)組構(gòu)造成一個(gè)大根堆。

• 那怎么做將一個(gè)隨機(jī)數(shù)組構(gòu)造成一個(gè)大根堆？

有了步驟3 的思路，我們可以從最后一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)開始，每一個(gè)按照步驟3調(diào)整，（這樣，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)調(diào)整后都可以保證該結(jié)點(diǎn)及其子樹是副符合大根堆）。這樣至下而上，直到根節(jié)點(diǎn)。完成后我們將一個(gè)隨機(jī)數(shù)組調(diào)整為了大根堆。

代碼實(shí)現(xiàn)

//  precolate down 將[n, lastIndex]的值調(diào)整為大根堆。
void HeapAdjust(vector<int> &vec, int n, int lastIndex)
{
    int leftChild = n * 2 + 1;    // 左兒子結(jié)點(diǎn)
    int rightChild = n * 2 + 2;  // 右兒子結(jié)點(diǎn)
    int lastNotLeave = (lastIndex-1)/2; // 最后一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)。

    /* 如果當(dāng)前結(jié)點(diǎn)不是葉子結(jié)點(diǎn)， 則調(diào)整 */
    if (n <= lastNotLeave) 
    {
         /* 左右子節(jié)點(diǎn)較大值結(jié)點(diǎn)的索引 */
        int maxIndex;    
        if (rightChild <= lastIndex)    // 該父結(jié)點(diǎn)有左右2個(gè)子結(jié)點(diǎn)
            maxIndex = vec[leftChild] >= vec[rightChild] ? leftChild : rightChild;
        else
            maxIndex = leftChild;
        /* 與當(dāng)前結(jié)點(diǎn)值比較 */    
        if (vec[maxIndex] > vec[n]) 
        {
            swap(vec[maxIndex], vec[n]);
            /* 如果當(dāng)左右子較大的結(jié)點(diǎn)不是是葉子結(jié)點(diǎn)， 則繼續(xù)下溯調(diào)整 */
            if (maxIndex <= lastNotLeave)
                HeapAdjust(vec, maxIndex, lastIndex);
        }
    }
}

/* 第一次將一個(gè)隨機(jī)數(shù)組調(diào)整為大根堆 */
void makeHeap(vector<int>& vec, int length)
{     
    /* 最后一個(gè)子樹的父節(jié)點(diǎn)是(length-2)/2，從它開始上溯調(diào)整 */
    for (int i = (length-2)/2; i >= 0; i--)
        HeapAdjust(vec, i, length-1);
}

void HeapSort(vector<int>& vec, int length)
{     
    makeHeap(vec, length);
    for (int i = length - 1; i > 0; i--) 
    {
        swap(vec[i], vec[0]);
        HeapAdjust(vec, 0, i-1);    // 交換值之后，只需要調(diào)整第一個(gè)結(jié)點(diǎn)
    }
}

性能

算法題

• 1046. 最后一塊石頭的重量