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準(zhǔn)備知識(shí)

定義：設(shè) $x_{0}, \delta \in R,$ 其中 $\delta>0,$ 以 $x_{0}$ 為中心, 以 $\delta$ 為半徑, 長(zhǎng)為 $2 \delta$ 的開(kāi)區(qū)間。即
$\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)=\left\{x|| x-x_{0} |<\delta, \delta>0\right\}$
? 稱(chēng)為點(diǎn) $x_{0}$ 的 $\delta$ 鄰域，記為 $U\left(x_{0}, \delta\right)$ .

本文核心：

$f(x)$ 為初等函數(shù)，且不為常函數(shù)

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極大值 $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} f'(x_0)=0\\ \exists U\left(x_{0}, \delta\right), f''(x)\leqslant 0 \end{cases}$
$f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極小值 $\Leftrightarrow$ $\begin{cases} f'(x_0)=0\\ \exists U\left(x_{0}, \delta\right), f''(x)\geqslant 0 \end{cases}$

理解：

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極大值 $\Leftrightarrow f^\prime(x_0)=0$ 且 $f^\prime(x)$ 在 $x_0$ 附近的一個(gè)小區(qū)間單調(diào)遞減.
$f(x)$ 在 $x=x_0$ 處取得極小值 $\Leftrightarrow f^\prime(x_0)=0$ 且 $f^\prime(x)$ 在 $x_0$ 附近的一個(gè)小區(qū)間單調(diào)遞增.

例1

若函數(shù) $f(x)=m x^{2}+2 \cos x+m(m \in \mathbf{R})$ 在 $x=0$ 處取得極小值,則實(shí)數(shù) $m$ 的取值范圍是 ________ .

解： $f'(x)=2mx-2\sin x$ ，很顯然 $f'(0)=0$ .

$\exists$ 區(qū)間 $(-\delta,\delta)$ ，使 $f''(x)=2m-2\cos x\geqslant0$ 恒成立，即 $m\geqslant\cos x$ ，所以 $m\geqslant 1$ .

例2

設(shè) $f(x)=x \ln x-a x^{2}+(2 a -1)$ $x, a \in \mathbf{R}$
(1) 令 $g(x)=f^{\prime}(x),$ 求 $g(x)$ 的單調(diào)區(qū)間；（略）
(2) 已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 處取得極大值.求實(shí)數(shù) $a$ 的取值范圍。