在《基本概念與運算法則》這本書中指出，現代數學的三大顯著特征是符號化、公理化和形式化。如何理解這三個特征在現在數學中的地位，還得回到這三個特征為什么存在來思考。

符號化：大家都知道數學是抽象的，是研究從現實生活中抽象出來的數及數之間的關系，因此數學研究得到的模型必須具有普適性，是高度抽象和概括的，不能說適用于現實中關于雞的問題，卻不適用于鴨的問題。為了達到這樣的目標，如果在研究數之間的關系時，需要比數量帶上那就非常麻煩。比如我們常說一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，按這樣的說法說一輩子也說不完，但數學的符號化很好的解決了這個問題，現在我們都知道a只青蛙a張嘴，2a只眼睛，4a條腿，而且這里的a、2a和4a的關系不因現實是青蛙還是兔子而發生改變。這只是一個比較簡單的例子，因為這樣的關系只能用于4條腿的動物，而我們都熟知的運算律卻是完全使用與現實生活的，比如a+b=b+a，所以數學的符號化為更好的研究數之間的關系提供了可能，也為后面兩個特征奠定了基礎。

公理化：其實可以理解為大家學習的數學證明題，你會發現在證明某個命題時我們需要從正確的命題a得到正確的命題b，最后經歷若干次這樣的過程得到命題是否正確。在這個過程中你是否考慮過，每一個命題之所以正確都是由于它有一個前提，這個前提推出了它的正確，比如上面提到的命題b，為什么命題b是正確的？這是因為正確的命題a推出了命題b是正確的。那現在我們想一想命題a又為什么是正確的呢？哪個命題能證明呢？這樣逐一倒退，最終我們會發現這是沒有終點的，但如果沒有終點我們就無法證明某個命題是否正確，而且也并不是所有的命題我們都能個找到前提來證明的，比如如果a=b且b=c，那么a=c，這個命題是沒有辦法找到前提來證明的。鑒于此，著名的數學家歐幾里得提出了五個公理：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和相等。3、等量減等量，其差相等。4、彼此能重合的物體是全等的。5、整體大于部分。正是因為有了這5條公理，我們才能夠由他們出發，得到更多的關系，也因此建立了數學的公理化體系。

形式化：這里的形式化指的是論證方法的形式化，之前我們說到了數學的公理化，即我們可以通過證明的方法得到某些命題是否正確，但是這個證明的過程應該是怎樣的，怎樣寫才能保證邏輯嚴密，同時又不冗余，因此亞里士多德提出了著名的“三段論”，即以一個一般性的原則（大前提）以及一個附屬于一般性的原則的特殊化陳述（小前提），由此引申出一個符合一般性原則的特殊化陳述（結論）的過程。比如動物都有思想（大前提），人是動物（小前提），所以人有思想（結論）。這個過程現在看來好像是很正常的，但這一偉大的發明為人類思維方法的確立以及思維能力的提高奠定了堅實的基礎。