1實驗的重要性

在伽利略之前，人們以為當大炮一仰角發射炮彈離開炮口時，先以直線進行再以圓弧路徑行進一段，然后垂直落至地面。只有想象中完美的直線和圓弧與運動有關。而伽利略證明炮彈到達目標前的行進路線是一條平滑的拋物線。伽利略在軍事方面很早就建立了聲譽。哲學家與神學家對完美有什么意見，戰場上的軍隊沒有時間爭論哪一種圓弧運動比較稱心合意，他們只想知道往哪個方向瞄準才可以達到最佳攻擊效果，而伽利略就告訴了他們答案。

牛頓在他的著作《自然哲學的數學原理》。書中的概念，是他二十年前就開始構思的。牛頓著重于將理論和模型與真實世界中的實驗與觀察作比較，他總會親自試驗以印證自己的想法。實驗早已根深蒂固的成為當代科學方法的一部分，所以今天的科學家甚至非科學家認為這是理所當然的事兒。我們很難想象即使進入十七世紀許多哲學家依舊以抽象的方式猜測物理世界的本質，而不愿意弄臟手去做實驗。舉一個典型的爭論為例，兩個不同重量的物體在同一高度和同一時間落下，是否會同時著地呢？

牛頓早在寫原理之前。他就研究出所謂微積分的技巧，而用微積分的技巧，完成了這項證明就非常簡單。牛頓事實上先用微積分解決了這個問題，然后再大費周折地用傳統術語把這些步驟解釋一遍讓其他科學家了解。萊布尼茨得到了微積分概念的時間晚于牛頓，但他很明智的立即發表。

牛頓和萊布尼茲似乎馴服了時間使得我們可以準確地描述運動物體的行為。

2麥克斯韋方程式

該方程描述了發電機和電動機的運作方式解釋了，為什么羅盤的指針指向北方以及兩個帶電物體在某個距離下的作用力。麥克斯韋方程最妙的一點是它自動地產生了一個對光的描述。光以定速進行。不因觀測者的運動而有所不同。引導了愛因斯坦在1905年發表了狹義相對論，并于十年后擴展為廣義相對論。

這個方程式也有他們的極限，尤其是對于極小尺度下的事件，例如對原子及其組成粒子的行為描述了這個尺度下麥克斯韋對電磁作用的描述與牛頓對粒子的描述都必須由量子力學來主導修正。

自然律來自于真實世界中對物體的觀察就像觀察到蘋果永遠從樹上往下掉，而不是往上裸露到地面。

3熱力學

傅立葉找到一個簡單的數學定律來描述熱傳遞。熱的傳遞效應與溫度效應溫度成正比時熱由較熱的一端流向較冷的一端。這個簡單的定律，在熱力學的地位，正如伽利略發現自由落體加速度定律，對引力學發展的重要性一樣。和萬有引力定律一樣傅立葉的定律，也是普遍適用的，而不單適用于固體也適用于液體和氣體。那不論物體是由什么物質構成都成立。

英國的焦耳做了一個漂亮的實驗，精確的測量出定量的水升高一定溫度所需要的功，同時代德國科學家赫爾姆霍茲也做了類似試驗導致能量守恒觀念的產生，也就是說能量無法被產生或消滅只能由一種形式轉換成另一種。馬拉車來自于他們吃的稻草稻草提供在肌肉中和氧結合產生的化學染料而稻草中以化學形態存在的能量最終來自于太陽。能量守恒定律也稱為熱力學第一定律他宣稱在封閉系統里能量總是守恒的。但是如果我們所見。在制造炮管兒的過程中沒有完美的功和能的轉換熱會付產品的姿態出現，所以某些能量會在轉換過程中流失。由于熱總是由高溫流向低溫。熱力學第二定律，最終一個封閉系統中所有能量將轉換成熱而溫度的差別會消退形成一個平淡無趣的狀態。

4混沌與有序

在宇宙的任何地方有序都會出現在一小塊區域，而這總是借著其他區域產生更多的無序來達成。在宏觀的尺度上宇宙已不可逆的方式運作，你永遠不能把事物變回過去的狀態。稍稍偏離平衡狀態，就能由混沌中產生有序。最終的平衡狀態，也就是能量最低的狀態稱為吸引子，因為整個系統的運行方式，宛如被吸到了這個狀態，一旦達到了這個狀態，我們將無法分辨系統是如何變成這樣的并沒有任何記錄顯示系統如何進入最終的平衡狀態。

用熱力學的語言來說，當系統達到平衡狀態時就會忘記自己的初始狀態，唯有他當下的狀態，才有意義。

事實上，世界上沒有孤立的系統除勒整個宇宙也沒有系統是處于完美的平衡狀態，他可以很接近平衡，只要等的夠久，要多接近就多接近，但永遠達不到所謂完美的平衡。

只要稍稍偏離平衡狀態，就能由混沌中產生秩序在平衡狀態之外，適當情況下能量的流動，會自發性地創造出秩序來這對我們自身的存在是極重要的思維，因為無可否認的我們是有秩序的生物，同時有太多的證據顯示宇宙起始于一個沒有什么秩序可言的狀態。

如同牛頓之后的物理學家，首先專注于利用牛頓的公式與運動定律解決，可處理的簡單問題。因為他們最容易解答熱力學家，先是專注于平衡系統發展出一些定律和公式，例如熱力學，第二定律來描述他們經由這條途徑得以概率的形式發展了，并了解熱力學，并且將其研究范圍延伸至統計力學。

如果想看到一個火柴盒大小容器內的氣體通東聚到一邊。你得等上比宇宙年齡還要長的多的時間。

在整個宇宙中時間的兩個方向是沒有差別的正如同在空間中無所謂上與下，但如同在地球上，我們會稱朝向地心的方向為下，在某一特定時間里生命體可以定義時間的方向為由比較不恰當的地方向比較恰當的地方流去，前者成為過去，后者成為未來。借此可以認定我們所處獨立于其他宇宙的一小部分。

我們所看到的宇宙只是在可能熱線平淡一致的更大宇宙中眾多擴張的泡泡之一。可以作為一個警惕。

就好比洗一副撲克牌，不論起始狀態為何，洗了一次牌的順序會改變，但如果你不斷的洗牌，而且洗牌會產生真正隨機地改變，總有一天所有的牌會回到原始順序。這些可能發生的狀態會循環的發生，其重復周期稱為龐加萊重現時間或者龐加萊循環時間。

這個世界壓根不是決定式的，在描述或計算宏觀世界的行為時都必須將概率和不確定性納入考量，但科學家逐漸地習慣了這種思維而后世的科學家都被教育成認為這是自然的，甚至理所當然。

5問題太陽系的系統穩定嗎?

龐加萊接受了這個論證的挑戰。

最早的關鍵性貢獻是愛爾蘭數學家威廉哈密爾頓。他提出了相空間。

我們這個觀念引進一個代表某個粒子所有可能動量的想象空間，因為動量和速度成正比，而速度是三維的，所以在這樣的速度空間中的一點代表了一個粒子，在三個相互垂直方向的相對速率。

我們可以想象相空間是一塊充滿彎曲山谷深深洞穴大小山丘的景觀，哈密爾頓的模型使得數學家能以一般的方式分析系統隨時間產生的變化，而無需解大量的個別微分方程式。

想象一下如果將水倒在相空間景觀上，它將沿著山谷流動花較多的時間流過大山谷，花較少的時間越過小缺口，它會從山頂流下匯集于坑洞，哈密爾頓式的模型讓我們清楚真實系統是如何穿越于相空間中，并標示出他們會被吸引的地區深谷和坑洞，我們甚至可以將類比延伸加入蒸發和降雨，表示將粒子從河流被帶到山頂然后再回到原處。這樣罕見的路徑，單一粒子在相空間的運動過程他的軌跡代表整個系統隨時間變化的方式而這粒子在部分相空間中所帶的時間與那部分相空間的大小成正比。他極其可能遵循某個軌跡在相空間中移動正如同我們的水分子除了待在河中，沒有太多其他選擇只有極微小的機會，他將沿著人跡罕至的軌跡，登上山頂，再往下落。

將相空間看成高山深谷等的想法是拓撲學中常見的方法。

沒有任何事是理所當然的。

龐加萊最偉大的簡化過程是只關注相空間中的一小部分，事實上是相空間的一個切面，他代表所探索的軌跡必須經過的地方也稱為龐加萊切面。如果某一軌跡在相空間中有龐加萊切面上的一點出發，并且又回到該點，那么不論在其間系統是多么復雜。你可以確定他是周期性的。

龐加萊在修正他的論文時候，出乎他自己意料之外，他改正錯誤時他發覺自己的新方法證明了，即使對簡化三體運動中粒子的軌道而言相對應的級數大多時候是發散的，不穩定是常態，而永久穩定的軌道則是例外。以他的新的幾何方法來看，雖然相空間中存在一些會回到龐加萊切面同一處的周期性軌道，但如果兩次交匯處有些許差別，整個系統可能有完全不同的性質，使得遵循完全不同的路徑，而不會在龐加萊切面的同一處交匯。與龐加萊切面的交點，可能有無窮多式的相控陣的軌跡可以無限復雜的游蕩而永遠不回到出發點。

我們能學到最重要的概念是在某些狀況下，（不是所有狀況，但也不見得是罕見的狀況）有幾乎相同狀態發出發展出的系統可以很快的演變出完全不同的結果。

有兩個不錯的方式有助于我們感受這種現象，第一種是回到前面將相空間一水流過景觀的類比一個水分子，它的運行軌跡代表整個系統狀態的變化，不論簡單，如簡化的三體問題，我復雜的納入到整個宇宙想象有一條很寬廣的河流，流過景觀，它代表了系統在哈密爾頓模型中很可能出現的區域。在某一處河流分支成許多交錯復雜的小河道形成類似橫河口的三角洲一個水分子可能隨著河流流入左邊的一條小河道。而與他相鄰的分子流向右邊肋條河道，因此他們遵循大小大不相同的路徑，換言之在相空間中代表幾乎相同狀態，而曾經長久相伴隨的兩條軌跡。也可能分裂為差異頗大的狀態，同樣的像一顆落在陡峭山巔的水滴，如果他落在山頂的一側，它將有一個方向流向代表系統吸引子的大海，如果他落在山的另一側將會流入另一個代表吸引子的海洋，這兩條導向不同，最終狀態的軌跡其實是可能無限的接近。

另一個與我們的世界有關的例子也有注，說明。日常生活中大多數變化都呈線性發展，例如舉起一袋兩千克重的糖要比舉起一千克重的糖，花生涼被利器。假設走路是非線性過程，所以當你邁出最重要的第一步之后每跨出一步會讓你的移動距離是上一部的兩倍。第一步讓你移動一米在這樣非線性的條件下，第十一步你就移動了一千零二十四米。非線性系統由最初使狀態出發后變化的很快，如果兩條軌跡以非線性方式由相空間中出發，他們的方向有些許差異，其分歧的速度也將很快，龐加萊發現許多真實世界中的系統對其初始狀態十分敏感。如同落下山巔的雨滴，而且是以非線性的方式變化。

這里的重點是我們對這種系統的預測能力將受限制。

對于非線性系統一個初始狀態的小錯誤，經過計算過程將造成結果的巨大誤差現行系統有點類似將其每一部分加總。信息都可以遠大于或者遠小于這樣的加總。在某些狀況下，我們將無法計算系統隨時間產生的變化，因為我們對初始狀態的信息不夠準確。他在1908年的《科學方法》中寫道，如果一個我們沒有注意到的細節造成了顯著差異的結果，我們說它是隨機產生的。

如果我們知道所有自然定律以及宇宙開始時的確切狀態，我們將能預測這個宇宙接下來的變化情形。但即便自然定律對我們不再是秘密，我們還是只能近似的，估計他的初始狀態，如果這樣可以讓我們以這個近似值預測接下來發生的情況，我們會說我們成功的預測了，發生的現象，我們遵循自然定律，但并非經常如此，有時初始條件的微小差異將造成最終現象的極大改變前者的小誤差會造成后者極大的錯誤，預測將成為不可能的事，我們面對的是偶發現象。

換句話說，雖然拉普拉斯原則上是對的，但他的決定式宇宙實際上無法預測無論對未來和過去都是如此。這樣的困擾，通常發生在大氣處于不穩定平衡的地區。

不穩定平衡，就像一支鉛筆一筆尖維持平衡，龐加萊試圖說明在這樣的情況下，我們知道鉛筆將倒下，但無法預測到的方向。氣象學家很清楚這平衡是不穩定的，某個地方將產生龍卷風，但沒有辦法說出確切地點龍卷風會有某處竄起并大肆破壞的機會比較大，如果他們能分辨這一點點的差別，就能事先做判斷，然而所有的觀測機不夠多，也不夠準確，這就是為什么一切看來都是隨機產生的。

另一個看來非常類似的法則。產生出對初始條件非常敏感的隨機行為。他們廣泛地運用于水龍頭滴水模式或者野生動物的數量變化以及股市震蕩上，但我們已找到混沌與復雜之下的簡潔本質非線形性質的簡單法則。對初始條件的敏感度及反饋策動了世界的運行。

7共振

當我們還是孩子的時候都經歷使用過共振來蕩秋千，共振時利用在恰當時機向某個系統朝他既定的方向施加作用，以取得更大的效應，我們在秋千上蕩的時間必須拿捏準確才能是擺動的弧度愈來愈大。

假設某個小行星環繞太陽的時間恰好是木星的一半，那么這顆小行星會在軌道固定的地方被木星拉一下巨大木星的影響力會累積起來造成干擾，如同我們讓秋千遇到預告的方式一般，如果就傳統角度而言，這軌道是穩定的問題也不大，一個小小的擾動會使小行脫軌一點點，然后再恢復。但如果軌道對擾動很敏感，共振將使接近圓形的小行星軌道變成更接近橢圓但仍會在固定返回與木星的共振點，這就是溫斯頓發現并于1982年發表的小行星帶混沌作用，特別是針對已接近三比一軌道比例與木星共振的小行星。

地球今天的垂直傾角（以地球與太陽的直線為參考）大約是二十三度，就是造成四季變化的原因，但因為有月亮扮演穩定器的角色，才使得這個角度沒有太大變化。火星更接近太陽的行星就不一樣了，因為他們缺乏扮演穩定器的巨大衛星。火星傾角平均大約二十四度，但電腦模擬顯示這個角度可能劇烈改變，至少正負二十度以上。同時有證據顯示火星過去曾經劇烈的氣候變化，在現在干燥不毛的紅色行星表面上存在看似已經干枯的沖刷河床這些極端的氣候變化可能發生在棗園的地理時期。當冰凍的極地轉向太陽造成炎熱的夏天高溫足以使極地頂端被冰封的二氧化碳及水蒸給水蒸發或融化，或許相似的活動也曾在水星和金星上發生，但從他們的表面看不出跡象，因為水星沒有大氣層而金星表面似乎被強烈的火山活動翻了一遍。

就是地球能無憂無慮的維持穩定，但最終月亮江陰潮汐作用而逐漸遠離地球它的影響力將減弱而地球傾角也將產生不規則變化，或許瞬間改變九十度，那么南極或北極的夏天將和現在的赤道一樣炎熱而另一即將處于黑暗酷寒的冬天，每隔六個月輪第一次這對我們目前所知的生命體相當不利，所以，雖然太陽系中的混沌可能促成了人類存在還得感謝月亮的存在，讓地球傾角為產生混沌的作用，使得地球上的生命數十億年之間得以在穩定的氣候條件下進行，這個故事還有個情節。就目前所知，我們有這樣大的衛星——月亮最佳解釋是在太陽系形成早期有一個接近火星大小的小行星。因為混沌作用脫離小行星帶撞上地球而建起的熔化物質在太空中形成月亮。

康托集合

雖然簡單看起來還挺單調，對于混沌卻具有相當關鍵的狀性，首先康托集合是反饋產生的。如果我們先前所見，這是餛飩的關鍵，其次，它是自我類似的從迭代的第二個步驟開始，但是有四條線段，每一步驟中，康托集合都有兩份先前的版本構成，尺寸是原來的三分之一，還有一件事也與康托集合有關，回頭看看代表精油被裝七通往混沌的分歧，圖就在混沌發生時，在混沌出現前的最后一部分歧樹狀圖的所有分支端點形成抗拓集合，這就暗示風險與混沌之間存在深層的關聯，第一個在人類科技中出現的混沌例子。

曼德布對所有在時空中變化的現象與模式都極其感興趣，包括文具十字的分布國家里大小城市的分布以及股市的起伏。

他進入ibm擔任研究員不久就為公司解決了一個具有實際重要性的問題。

和現在一樣，當時電腦中的信息要靠電話線傳輸，而那些可能毀掉極其重要，資料的偶發噪音干擾，總是讓負責相關業務的工程師相當困擾，當我們在講電話時噪音干擾并不是什么大問題，只要說的大聲一點臥室再說一遍就好了，但在早期資料傳送的過程中噪音干擾就會造成大災難，通常工程師的第一反應是增加信號強度已蓋過噪音干擾，但偶爾還是會出現一陣猛烈的噪音干擾隨機毀掉部分資料。

他表示，既然噪音干擾，總是存在，無需浪費錢，加強信號，應當專注于鎖定錯誤。然后重復傳送信息的技巧。他也說，不必浪費時間尋找造成噪音干擾的物理原因，比方說電話線被樹枝勾到，因為它們本質上是隨機發生的應該把精力放在更有建設性的工作上，包括追蹤不符合模式的噪音干擾來源，因為他們可能真的有某種物理原因造成。

曼德布找到了第一個在人類科技中出現的混沌例子。并一開始就將它與分形連接在一起，雖然當時混沌與分形這兩個名詞還未正式出現。現在渾沌理論告訴我們這一連串的區域性災難必然發生于電力，網絡上，但他無法告訴我們何時何處，只能給受害百姓一些小小的安慰。