RSA介紹
RSA產生的原因：這要從密碼學的發展史說起，相傳在古羅的凱撒大帝為了防止敵方截獲自己的信息，自己設計了一套密碼傳送情報的方法，他的做法很簡單，就是對20幾個羅馬字母建立一張對應表，俗稱密碼本，這樣，如果不知道這個對應表的人，也就是密碼本，即使截獲了一段信息也看不懂其中的意思。這就是密碼學在戰爭中的應用。
那么RSA是如何產生的呢，因為在這個過程中，密碼學的發展非常的緩慢，在1976年以前，所有的加密方法使用的同一種模式：加密、解密使用同一種算法。在交換數據的時候，彼此通信的雙方就必須將規則告訴對方，否則沒法解密。那么加密和解密的規則（簡稱密鑰），它保護就顯得尤其重要。傳遞密鑰就成了最大的隱患。這種加密方式被稱為對稱加密算法。
這里進行一個小插曲，那么對稱加密算法有哪些呢，這里列舉一些：DES算法，3DES算法，TDEA算法，Blowfish算法，RC2算法，RC4算法，RC5算法，IDEA算法，還有至今也經常使用的AES算法。
到了1976年，為了解決對稱加密算法的密鑰在傳輸過程中被破解，兩位美國的計算機學家迪菲（W.Diffie）、赫爾曼（M.Hellman）提出了，可以在不直接傳遞密鑰的情況下，完成密鑰交換。這被稱為“迪菲赫爾曼密鑰交換“算法。這樣在使用的對稱加密的時候就更加的安全了。讓我們看一下流程圖：
這里10就是對稱加密算法的密鑰
順便我們來見一下兩位大神的尊榮：
到了1977年，另一種加密算法誕生，設計這個算法的是麻省理工的三位數學家：羅納德.李維斯特（Ron Rivest）、阿迪.薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德.阿德曼（Leonard Adleman）,這個就是著名的非對稱加密算法，RSA算法。
RSA數學原理
通過上面的介紹，知道了RSA為非對稱加密算法。那它為什么被稱為非對稱呢。接下來讓我們通過底層原理，來剖析一下。
如果要想設計一套加密算法，符合加密容易，解密很難的算法，該如何解決呢，前人用了一種簡單的數學運算，來作為一種的解決方案，取模運算，也稱時鐘運算，之所以叫時鐘運算，我們接下來看一個圖：
紅色的圈看著像一個鐘表，取一個繩子，從17的點，開始繞圈，不管繞幾圈都能回到17這個點，那就說明可以正正好好繞幾圈，沒有多余，就代表整除，那如果繞幾圈之后，有剩余，多出來的部分，就是余數了。像這種可以用一個鐘表來表達的運算，因此稱作鐘表運算。
讓我們回到正題，那么決定了解決方案之后，然后設計者就采用了數學中歐拉函數：
歐拉函數定義
概念：在數論中，對于正整數N,少于或等于N ([1,N]),且與N互質的正整數(包括1)的個數，記作φ(n)。這種計算方式叫做歐拉函數
什么叫質數：除了1和它本身以外不再有其他因數
互質關系：如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因數，我們就稱這兩個數是互質關系。
歐拉函數特點
1.當n時質數的時候，φ(n)=n-1 （這里注意，當n一定要質數的時候，因為算著算著，比較容易忘這個條件）
2.如果n可以分解成兩個互質的整數之積（這里注意，分解的兩個正整數，可以是質數，也可以不是，只要這兩個數是互質關系就可以了），如 n=p1 * p2 則：
φ(p1 * p2) = φ(p1) * φ(p2)
3.根據上面的兩個特點，可以得出以下結論
φ(N) = φ(p1 * p2) = φ(p1-1) * φ(p2-1)
以上就是歐拉函數的定義與性質。
歐拉定理
由歐拉函數引出，一個定理，叫做歐拉定理：
定義：如果兩個正整數m和n互質，那么md的φ(n)次方減去1，可以被n整除，公式記作：m^φ(n) mod n = 1
這里引出一個歐拉定理的特殊情況，這種特殊情況，又被稱作費馬小定理：如果兩個正整數m和n互質，而且n為質數！那么φ(n)結果就是n-1，公式記作：m^(n-1) mod n = 1
那說了這么多，要用這些東西干什么呢？
從歐拉定理到RSA需要結合迪菲赫爾曼密鑰交換算法，首先這里，讓我們對歐拉函數做些手腳，對公式進行轉換:
m^φ(n) mod n = 1 因為需要我們讓1變成1的k次方，因為1不管幾次方，都是1，然后根據公式，可以記作：（m^φ(n) mod n)^k 然后我們再對這個算式進行變換，就會變成m^k* φ(n) mod n，有人會問，這樣不會對結果造成影響嗎，答案是不會的，因為一個正整數如果被另一個數整除，那么這個正整數作幾次方的結果還是能被這個數整除，大家可以試一下，我這里給一個例子 3和2 互質 3^2 mod 2 = 1,那么 (32)n mod 2，n可以隨便取正整數，結果還是1。
還這個地方明白之后，往后轉換，1*m = m，然后根據上面有k次方的公式m^k * φ(n) mod n = 1,左右兩邊乘以m，就會變成m^k * φ(n) + 1 mod n = m（m的k * φ(n) + 1次方），好轉換到這之后，我們先把這個公式放一放。
下面介紹一個新的東西：模反元素
模反元素
定義：如果兩個正整數e和x互質，那么一定可以找到整數d，使得ed - 1被x整除。那么d就是e對于x的“模反元素”
什么意思呢，讓我們用公式來解釋 公式：e * d mod x = 1；舉個例子，例如e = 5 x = 3 那么5 * d %3 = 1 這里d=2舉例子 10 % 3 = 1，就是這樣。
好那么我們隊e * d mod x = 1轉換一下，可以變成 e * d = k * x + 1，那么這個k是咋出來的呢，因為e * d - 1能被x整除，整除的結果不一定1倍，有可能是K倍,所以是k * x。
好了，到這開始，就是關鍵了，結合剛才我們隊歐拉函數公式的轉換，和模反元素公式的轉換 會有以下公式：
歐拉函數公式轉換后：m^k * φ(n) + 1 mod n = m（m的k * φ(n) + 1次方）
模反元素公式轉換后：e * d = k * x + 1
有意思的地方來了一個是k * φ(n) + 1 一個是k * x + 1，這個地方有什么特殊的地方嗎
當x = φ(n)
就會引出公式：m ^ e * d mod n = m 那么這個公式有什么用呢，往下來 這個公式再結合迪菲赫爾曼密鑰交換算法解決方案，就是第一張圖的內容，就會引出下面的結論：
這樣RSA算法就誕生了。
RSA 算法用法
m ^ e mod n = c 加密
c ^ d mode n = m 解密
這里公鑰：n和e 私鑰：n和d 明文：m 密文：c
這里說明一下：
1、n會非常大，長度一般為1024個二進制。（目前人類已經分解的最大整數，232個十進制位，768個二進制位）
2、由于需要求出φ(n)，所以根據歐拉函數特點，最簡單的方式n由兩個質數相乘得到：質數：p1，p2
φ(n) = （p1 - 1）* （p2 - 1）
3、最終由φ(n)得到e和d。總共生成6個數字：p1，p2，n，φ(n)，e，d
關于RSA的安全：
除了公鑰用到了n和e其余的4個數字是不公開的。
目前破解RSA得到d的方式如下：
1、要想求出私鑰d。由于e * d = φ(n)*k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的，但是要得到φ(n)，必須知道p1和p2.
3、由于n = p1 * p2，只有將n因數分解才能算法，這種情況只能一種情況一種情況試，所以難被破解。
