本文內(nèi)容是記錄微積分中一部分和康托有關(guān)的命題、定理的聯(lián)系。
一些鋪墊和基本知識(shí)
康托在研究實(shí)數(shù)性質(zhì)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)比自然數(shù)都"多"。這里"多"的意義需要一些鋪墊，因?yàn)閷?shí)數(shù)和自然數(shù)都是無窮集合，并不能直接用有限集合比較多少的方法。
康托采用的方法是用對(duì)應(yīng)集合元素來比較多少，如果存在一個(gè)映射把A集合的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到B集合的每一個(gè)元素，并且A的任何兩個(gè)元素不會(huì)對(duì)應(yīng)到B的同一個(gè)元素（不重復(fù)），B的每一個(gè)元素都有A的元素對(duì)應(yīng)到（不遺漏），這樣的映射叫一一對(duì)應(yīng)，此時(shí)就認(rèn)為A和B一樣"多"。當(dāng)一個(gè)映射滿足不重復(fù)條件，那么就說A比B不多，或者說A小于等于B。如果滿足不遺漏條件，那么就說A比B不少，或者說A大于等于B。
這里有幾點(diǎn)注意，這幾個(gè)定義和有限集合是匹配的，不會(huì)出現(xiàn)通常意義A不多于B但是在上述意義下A對(duì)于B的情形，所以可以認(rèn)為上面的定義是通常定義的擴(kuò)展。A比B不多的結(jié)論，是因?yàn)橐话愕膶?duì)應(yīng)關(guān)系是單向的，舉個(gè)例子，教室里52個(gè)座位，有50個(gè)學(xué)生，當(dāng)然不可能兩個(gè)學(xué)生做同一個(gè)位置，所以從學(xué)生到座位的對(duì)應(yīng)是不重復(fù)的，但是明顯椅子更多。不遺漏條件比較直觀，不多說。還有一點(diǎn)就是不多，不少的叫法比較拗口，為什么要用這兩個(gè)詞。因?yàn)椴欢啻砹松儆诨蛘咭粯佣鄡蓚€(gè)情況，這和小于等于類似。另外有康托的一個(gè)定理 Cantor–Bernstein–Schroeder theorem，這個(gè)定理粗略地說，如果A不多于B，B也不多于A，那么兩個(gè)集合A B是一樣多的，由此，不多于、不少于和小于等于、大于等于有進(jìn)一步的相似性，所以有時(shí)候多少和大小于會(huì)混著說。
最后是定義里的"存在"二字，這個(gè)技術(shù)上比較重要，不能說試著找了幾個(gè)對(duì)應(yīng)，沒找到符合條件的，就說兩個(gè)集合不一樣大，存在必須是找到才算證明，沒找到不能得到相反結(jié)論，除非找遍了所有的可能。
康托的對(duì)角線證明
這里我們說明自然數(shù)比實(shí)數(shù)少，用的是康托的對(duì)角線法。
顯然的一個(gè)結(jié)論是，自然數(shù)N不多于實(shí)數(shù)R，把自然數(shù)集N的n對(duì)應(yīng)到實(shí)數(shù)R中的n，顯然就是不重復(fù)的對(duì)應(yīng)。另一個(gè)顯然的觀察是，如果A比B的子集合（一部分）還少，那么A顯然也少于B。
這里會(huì)用一個(gè)記號(hào)，如果f表示一個(gè)對(duì)應(yīng)方法，f(n)就是在這個(gè)規(guī)則下對(duì)應(yīng)的數(shù)。
康拓的方法利用了十進(jìn)制，把0到1的所有實(shí)數(shù)[0,1]都用十進(jìn)制表示，去掉"0."這個(gè)前綴，比如0，0.5，和1/3分別是
00000000.....
5000000......
3333333......
然后利用反證法，假設(shè)有人聲稱找到了一個(gè)自然數(shù)和0到1所有實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，那么我們就按照那個(gè)對(duì)應(yīng)把數(shù)字一個(gè)一個(gè)排下來，第1行是1對(duì)應(yīng)的數(shù)f(1)，第二行是2對(duì)應(yīng)的數(shù)f(2)，以此類推。于是我們得到一個(gè)入窮行無窮列的表，第i行j列的數(shù)字是f(i)的第位數(shù)字。
從這個(gè)表里我們可以得到一個(gè)數(shù)字，看對(duì)角線，可以連出來一個(gè)數(shù)字，再稍做手腳（看后一段），那么他和表里的每一行都不一樣，至少有一個(gè)數(shù)字不一樣，于是我們的到一個(gè)新的數(shù)，他沒有被對(duì)應(yīng)到，于是得到矛盾。
具體做法是把從對(duì)角線得到的每一個(gè)數(shù)字動(dòng)一下手腳，讓他和原來的數(shù)字不一樣，比如每個(gè)數(shù)字用9減，于是0變成9，1變成8，
0123456789......變成
9876543210......
然后我們說明，他的第一位和f(1)的第一位不一樣，他的第二位和f(2)的第二位不一樣，以此類推，他和每一個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)都有至少一位不一樣，因此這個(gè)改動(dòng)的實(shí)數(shù)沒有被對(duì)應(yīng)到，和假設(shè)矛盾（有個(gè)小尾巴，后文說）。
這里一點(diǎn)小注釋，有人會(huì)說，反正只差一個(gè)，那把漏掉的實(shí)數(shù)放進(jìn)去再對(duì)應(yīng)一遍不就好了嗎？不行，上面的方法可以再來一次，再次得到一個(gè)新的數(shù)，無窮無盡。并且反證法的論證不是這樣的邏輯，只需順著假設(shè)，找到一個(gè)矛盾，這樣反證法的論證過程就結(jié)束了，不需要再來一遍。另一個(gè)問題是無窮，人真的能把無窮的東西列出來嗎，而且是行列兩個(gè)方向的無窮？這是個(gè)和實(shí)際相結(jié)合的問題，實(shí)踐上可以認(rèn)為不可能，但是通過想象又可以認(rèn)為是可以的，沒有統(tǒng)一答案，數(shù)學(xué)家內(nèi)部也有爭(zhēng)論。但是拋離實(shí)踐問題，假設(shè)有這種超能力，數(shù)學(xué)家能保證邏輯是協(xié)調(diào)的，邏輯上是不錯(cuò)的。
康托的第一個(gè)不可數(shù)證明
上面的證明其實(shí)是康托的第二個(gè)證明，是接地氣的證明，在這之前還有一個(gè)證明，證明的基本對(duì)象是區(qū)間，稍微更抽象一點(diǎn)。
接著上面的證明，我們可以把[0,1]十等分，如果f(1)落在某個(gè)區(qū)間，就在除這個(gè)區(qū)間外的9個(gè)等分里選一個(gè)，記作A1。然后把A1再十等分，再在十個(gè)區(qū)間里選一個(gè)f(2)不在的區(qū)間，一直繼續(xù)下去，最后會(huì)得到一個(gè)長(zhǎng)度0的區(qū)間，就是一個(gè)數(shù)，記作x，任何f(n)都和x不在一個(gè)區(qū)間，即任何f(n)和都不同。
這里用到了區(qū)間套定理，就是說一個(gè)一直縮小，兩個(gè)端點(diǎn)無限靠近的區(qū)間，最后里面會(huì)是一個(gè)數(shù)。
本質(zhì)上，上面兩個(gè)證明都用了十進(jìn)制表示，但是其實(shí)并不需要如此，我們可以很容易地把上面的證明改成其他進(jìn)制，比如三進(jìn)制，但不能是二進(jìn)制。因?yàn)檫@種進(jìn)制表示法有一個(gè)不唯一的缺陷，就是讓人詬病的0.999......=1.000......，兩個(gè)每一位都不同的小數(shù)可以表示相同的實(shí)數(shù)，在二進(jìn)制中，0.111......=1.000......。在二進(jìn)制表示時(shí)，你可以給出這樣的對(duì)應(yīng)g，其中g(shù)(1)=0.1(二進(jìn)制），然后剩下的g(n)的第n個(gè)數(shù)字總是0。這樣g的對(duì)角線，經(jīng)過對(duì)角線法的修改，只能得到0.0111.....（二進(jìn)制）但他代表了0.1（二進(jìn)制），g(1)有對(duì)應(yīng)到，論證失效了，這就是之前留下的小尾巴。但是三進(jìn)制有足夠的自由度調(diào)整數(shù)字，使得上面的情況不發(fā)生。
另一個(gè)角度的區(qū)間證明
我們可以認(rèn)為有限位小數(shù)其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)區(qū)間，比如0.1就對(duì)應(yīng)了[0.1,0.2]，0.678對(duì)應(yīng)了[0.678,0.679]，0.10對(duì)應(yīng)了[0.10,0.11]。就是從一個(gè)小數(shù)開始往后一段的全部數(shù)字，并且位數(shù)越長(zhǎng)那一段就越短。記下這個(gè)一堆區(qū)間的集合X。
我們開始有點(diǎn)不一樣的對(duì)角線論證。首先看f(1)的第一位，比如0.123...就取0.1，于是從[0,1]里去掉0.1代表的區(qū)間，剩下的記作C1。接著看f(2)的第二位，比如0.243...就取4，接著從C1去掉所有0.?4代表的10個(gè)區(qū)間，記作C2。這樣的Cn有個(gè)特點(diǎn)，就是整個(gè)集合里的數(shù)，和f(1),...,f(n)都不一樣，看前個(gè)數(shù)字就知道。這樣做下去，剩下的東西和之前不一樣，是一個(gè)集合而不是單個(gè)數(shù)。
由此我們可以看到，之前的做法的自由度非常大，舉個(gè)例子說明三進(jìn)制，并且取這樣一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系h，他的對(duì)角線上都是1，由此我們得到了一個(gè)集合康托三等分集。我們可以這樣描述這個(gè)集合的元素，三進(jìn)制中所有位數(shù)的數(shù)字不是1的元素。再轉(zhuǎn)換一下，就是所有位上都是0或2的元素，而這和實(shí)數(shù)的二進(jìn)制表示只差一點(diǎn)點(diǎn)，把2換成1就一模一樣了，于是這個(gè)集合和二進(jìn)制表示的[0,1]一一對(duì)應(yīng)，一樣多，就是說沒選到的元素和[0,1]一樣多。
拓?fù)鋵W(xué)的描述
在點(diǎn)集拓?fù)涞臅希ǔ＿€有另外兩個(gè)證明，定理的條件差不多，證法也差不多，也是反證+挖洞，最后通過集合非空來導(dǎo)出矛盾。
一個(gè)是非空perfect set不可數(shù)。
一個(gè)是緊致Huausdorff空間沒有孤立點(diǎn)，那么空間不可數(shù)。
老實(shí)說前置定義比較多，就不展開了。
延伸1 Baire定理
這邊開始的就和康托沒什么關(guān)系了。第一個(gè)話題是Baire定理。Baire是人名。
老實(shí)說前置定義也有點(diǎn)多。
實(shí)數(shù)的一個(gè)集合如果和任何開區(qū)間都相交，那么他是稠密的，例子有所有實(shí)數(shù)R，有理數(shù)Q，所有無理數(shù)。
實(shí)數(shù)的一個(gè)集合如果任意給一個(gè)開區(qū)間，總能找到一個(gè)開區(qū)間的子開區(qū)間和他不相交，那么他就是無處稠密的，例子是自然數(shù)N，有限集，一個(gè)直觀的感覺就是他到處都是洞。
一個(gè)集合叫做第一綱集或者meager集，如果他能寫成可數(shù)個(gè)無處稠密集的并。如果不行，他就叫做第二綱集。這里可以吐槽一下Baire的命名，第一綱集第二綱集就是他論文里的原文。
然后是Baire性質(zhì)，一個(gè)空間的可數(shù)個(gè)稠密開集的交集還是稠密集，或者說一個(gè)空間的無處稠密閉集的并集還是無處稠密集，這就是Baire性質(zhì)，直觀的說就是"大"集合求交還是"大"集合，"小"集合并起來還是"小"集合，這里的大小是通俗講法，經(jīng)常反直覺。
Baire定理給出了一個(gè)拓?fù)淇臻g有Baire性質(zhì)的充分條件，緊致hausdorff空間和完備度量空間。
放在這里講是因?yàn)樗淖C明放在實(shí)數(shù)上，和康托的區(qū)間證明類似，只是康托每次用一個(gè)點(diǎn)，baire一次用一個(gè)無處稠密集，做無窮多次，然后用一個(gè)類似區(qū)間套的方式扣剩一個(gè)點(diǎn)。
延伸2 積拓?fù)?/h2>
在這里提積拓?fù)涫且驗(yàn)椋沂窃诳瓷厦娴膬?nèi)容的時(shí)候體會(huì)到其中蘊(yùn)含的積拓?fù)涞模呛苌衿娴母杏X。上面用小數(shù)的有限部分指定一個(gè)區(qū)間的做法其實(shí)給出了一個(gè)積拓?fù)洌B分?jǐn)?shù)也可以給出類似的積拓?fù)洌詈蠼o定的拓?fù)涫峭叩摹?/p>
積拓?fù)涫嵌x在一族拓?fù)淇臻g的笛卡爾積上的拓?fù)洌梢杂孟薅ㄓ邢迋€(gè)分量的方式給出基，也可以限定一個(gè)分量給出子基，沒啥區(qū)別。
積拓?fù)涞教幎际恰?/p>
比如十等分[0,1]可以定義成{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}^N，即十進(jìn)制序列，每個(gè)分量取離散拓?fù)涞玫降姆e拓?fù)洹?/p>
比如N^N，通過連分?jǐn)?shù)給出同胚 ，從中也可以看出積拓?fù)洹?/p>
函數(shù)列的逐點(diǎn)收斂也可以看成是函數(shù)空間的積拓?fù)湎碌氖諗浚踊厥窃诙x域的某一點(diǎn)足夠接近某函數(shù)值代表的函數(shù)圖像上的一小段豎向開區(qū)間。
