微分方程-高階微分方程

高階微分方程

對于高階微分方程

F\left(x,y,\dfrac{\textsmmenrsy}{\textl3ln39nx},\cdots,\dfrac{\textv59oxpl^ny}{\textzbp9tk9x^n}\right)=0

一般沒有普遍的解法,求解告誡微分方程的基本思想是降階,通過變量變換的方法將方程(2.79)化為階數較低的方程來求解,從而將問題簡化.


接下來看這幾類特殊的方程

不顯含函數 y 的方程

F\left(x,\dfrac{\text9zzo1u6^k}{\textmmdv5a8x^k},\cdots,\dfrac{\text3ownegv^ny}{\texthj6rjhsx^n}\right)=0\;(k\geqslant1)\quad(2.80)

p=\dfrac{\text59v44fi^ky}{\texthjbgyj4x^k},則方程(2.80)變為關于 pn-k 階微分方程

F\left(x,p,\dfrac{\textfglvlclp}{\text5v9o11wx},\cdots,\dfrac{\textr6h8aop^{n-k}y}{\text8gg9v5tx^{n-k}}\right)=0\quad(2.81)

如果能夠求出方程(2.81)的通解 p=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k}),則方程

\dfrac{\texts5xzkk4^ky}{\textmo9gcmex^k}=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})\quad(2.82)

經過 k 次積分后得到的通解

y=\psi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)

就是方程(2.80)的通解,這里的 C_j,\;j=1,2,\cdots,n 為任意常數.

解方程

x\dfrac{\textz6ub9nf^3y}{\textvostzjxx^3}-2\left(\dfrac{\textrxxvvs6^2y}{\text0nfxqmgx^2}\right)^2+2\dfrac{\text6hm9e1l^2y}{\textrfxrmolx^2}=0

Sol:

p=\dfrac{\textr99cmhf^2y}{\textwddbkmdx^2},則

x\dfrac{\textgp5l5ewp}{\textoqhir1tx}-2(p^2-p)=0\quad(2.83)

p\not=0p\not=1 時用分離變量法,可得

p=\dfrac{1}{1-ax^2}

其中 a 為任意非零常數.

a>0 時,令 a=C_1^2,則

\dfrac{\textvnwgjre^2y}{\texte99lqsox^2}=\dfrac{1}{1-C_1^2x^2}

經過兩次積分后解得

y=\dfrac{1}{2C_1^2}\ln|1+C_1x||1-C_1x|+\dfrac{x}{2C_1}\ln\left|\dfrac{1+C_1x}{1-C_1x}\right|+C_2x+C_3

a<0 時,令 a=-C_1^2,則

\dfrac{\texttzil6y7^2y}{\textws6wwp9x^2}=\dfrac{1}{1+C_1^2x^2}

經過兩次積分后解得

y=\dfrac{x}{C_1}\arctan(C_1x)-\dfrac{1}{2C_1^2}\ln(1+C_1^2x^2)+C_2x+C_3

其中 C_1\not=0,\,C_2,\,C_3 為任意常數.

此外,由于常函數 p=0p=1 也是方程(2.83)的解,因此,函數 y=C_1x+C_2,\;y=\dfrac12x^2+C_1x+C_2 也是原方程的解,其中 C_1,\,C_2 為任意常數.


不顯含自變量 x 的方程

F\left(y,\dfrac{\textd939xxry}{\textw1w1jskx},\cdots,\dfrac{\texth1f8dfd^ny}{\texty5uxb4yx^n}\right)=0\quad(2.84)

這種方程也被稱為自治微分方程. 令 p=\dfrac{\textt5l56tly}{\textksq641zx},則方程(2.84)可變為關于 pn-1 階微分方程.

事實上,若 p=\dfrac{\textsvfa9x9y}{\textfk6tt13x},則

\dfrac{\textblyi1p9^2y}{\textyvtvv5hx^2}=\dfrac{\textom9drku}{\textvxfddjbx}\left(\dfrac{\textlzvxgxyy}{\textqa58zvjx}\right)=\dfrac{\textdpybwhvp}{\texth9utt8zy}\cdot\dfrac{\textugyrijsy}{\texte9k9rwbx}=p\dfrac{\textkkps9pbp}{\textvfolbc1y}

用數學歸納法容易證明:對任意的 i<j\leqslant n,\dfrac{\textkkluvvf^jy}{\text6vzneblx^j} 可以用

y,p,\dfrac{\textuedob9fp}{\textppdrrtcy},\cdots,\dfrac{\textunrkclv^{j-1}p}{\text6bpudody^{j-1}}

來表出. 把它們帶入方程(2.84)就得到形如

G\left(y,p,\dfrac{\textwtxzrewp}{\textdedxliry},\cdots,\dfrac{\texttiibfq9^{n-1}p}{\text9lpvh9xy^{n-1}}\right)=0\quad(2.85)

的關于 pn-1 階微分方程,比方程(2.84)低了一階.

解方程

y\dfrac{\text1jjddct^2y}{\textfhq1rrbx^2}-\left(\dfrac{\textgkdhbbky}{\textlo6sbdux}\right)^2-2\dfrac{\texteccvll1y}{\textjrbqu6mx}=0.

Sol:

p=\dfrac{\text6q6ijtty}{\textpveemnsx},則

\dfrac{\text4cqrphe^2y}{\textfq61lrax^2}=p\dfrac{\textddesczhp}{\textzajoxbdy}.

故原方程可化為

yp\dfrac{\text1pdezivp}{\textzq4v1ejy}-p^2-2p=0\quad(2.86)

易知 p=0p=-2 是方程(2.86)的解. 因此,y=C,\;y=-2x+C 是原方程的解,其中 C 為任意常數.

p\not=0p\not=-2 時,使用分離變量的方法,可得方程(2.86)的通解為

p=C_1y-2,

其中 C_1 為任意常數. 求解方程

\dfrac{\textja6tucuy}{\textebw6bvvx}=C_1y-2

C_1\not=0 時,原方程的通解為

y=C_2e^{C_1x}+\dfrac{2}{C_1}

其中 C_2 為任意常數. 當 C_1=0 時,積為上面討論過的 p=-2 的情況.

齊次方程

F\left(x,y,\dfrac{\textdrwbgxjy}{\texta1o8ebsx},\cdots,\dfrac{\textk1g3mhm^ny}{\textwsckllfx^n}\right)=0\quad(2.87)

其中左邊是關于變量

y,\dfrac{\textx94t0x4y}{\textth1rvxxx},\cdots,\dfrac{\textx11d1sk^ny}{\text6rmjjgpx^n}

的零元齊次函數,即

F\left(x,ty,t\dfrac{\textcsx1zsty}{\text69h39tpx},\cdots,t\dfrac{\textytkc1ii^ny}{\textnjc69zbx^n}\right)=F\left(x,y,\dfrac{\texthz6nwxgy}{\textvvbaty9x},\cdots,\dfrac{\textej6kfw1^ny}{\textqj9hianx^n}\right),\;\forall t\not=0

顯然,當 y\not=0,齊次方程(2.87)等價于

F\left(x,1,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textk9zn6wxy}{\textxudd1sbx},\cdots,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textff9cd9d^ny}{\textkkb9i9ax^n}\right)=0\quad(2.88)

若令

p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textpkpifofy}{\text7y9jblgx}

并以它為新未知函數,則方程就可降低一階. 事實上,在此所設的假定下,有

\dfrac{\textn49zibwy}{\texthre91atx}=yp

\dfrac{\texth99z6oj^2y}{\textqcr1jbfx^2}=\dfrac{\text5ev6wbby}{\textzzfsccvx}p+y\dfrac{\textspghj6mp}{\texts3dxxh1x}=y(p^2+\dfrac{\text5btltxhp}{\textz9m8u9dx})

用數學歸納法不難證明:對任意的 1<k\leqslant n,\;\dfrac{1}{y}\dfrac{\textoxq6rsx^ky}{\textj6fhbrsx^k} 可用

p,\dfrac{\textbgoqlvmp}{\textgmvskasx},\cdots,\dfrac{\text5wwtu66^{k-1}p}{\textjlhiz19x^{k-1}}

表出. 將這些表達式帶入方程(2.88),可得形如

G\left(x,p,\dfrac{\textm96uymmp}{\textherc91gx},\cdots,\dfrac{\text5qqavxm^{n-1}p}{\textdrdgdhjx^{n-1}}\right)=0\quad(2.89)

的關于 pn-1 階微分方程,比方程(2.87)低了一階.

解方程

x^2y\dfrac{\text11aczf6^2y}{\textd1k9q6fx^2}=\left(y-x\dfrac{\text5z4p4v1y}{\textczibtvox}\right)^2.

Sol:

p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textnjxzv66y}{\textj51z11ex}

\dfrac{\text69zx1iwy}{\textccm9f6kx}=yp

\dfrac{\textuxrjx9f^2y}{\textb4k8cerx^2}=\dfrac{\textdofq9vry}{\textlkl99iex}p+y\dfrac{\textd04dyl4p}{\textvbfizf9x}=yp^2+y\dfrac{\text11vkdenp}{\textd666il6x}

故原方程可化為

x^2y^2\dfrac{\textuarvkxyp}{\text9vdsb6qx}=y^2-2xy^2p\quad(2.90)

y\not=0 時,方程(2.90)等價于

x^2\dfrac{\textl46th6jp}{\textk9rg9vrx}=1-2xp

解得

p=\dfrac{1}{x}+\dfrac{C_1}{x^2}

其中 C_1 為任意常數. 因此原方程的通解為

y=C_2e^{\int p\texttd99xirx}=C_2xe^{-\frac{C_1}{x}}

其中 C_2 為任意常數.

此外,y=0 顯然時原方程的一個特解,已經包含在上面的通解表達式之中(取 C_2=0 即可).

全微分方程

F\left(x,y,\dfrac{\textibllzody}{\textnn4pp4fx},\cdots,\dfrac{\texto6mjjtt^ny}{\text1ii6pl9x^n}\right)=0\quad(2.91)

其中左邊是某個形如

\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textvito1hmy}{\texte4o1x9ix},\cdots,\dfrac{\text0wfgtnn^{n-1}y}{\textpblx96ux^{n-1}}\right)

的表達式對 x 的全導數,即

F\left(x,y,\dfrac{\textj9ro9ngy}{\textgsmenofx},\cdots,\dfrac{\texthldar1d^ny}{\textby498v4x^n}\right)=\dfrac{\textura1pkd}{\texth1djwbex}\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textfnccvaey}{\text0bsqqsbx},\cdots,\dfrac{\text0ajg314^{n-1}y}{\textjx6d1vfx^{n-1}}\right)

這里 n+1 元函數 \varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right) 的對各變元的一階偏導數都存在且連續,故方程(2.91)有形式:

F\left(x,y,\dfrac{\text5phhe9ty}{\texta9cg9dtx},\cdots,\dfrac{\textvc1xwij^ny}{\texth9nqhyqx^n}\right)=\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_1}+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_2}\dfrac{\textsepazz7y}{\text0tjp28mx}+\cdots+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_{n+1}}\dfrac{\textbejnxt5^ny}{\textpgoelbex^n}

其中函數 \varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right) 的對各變元的一階偏導數在

(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1})=\left(x,y,\dfrac{\textfzn72bty}{\textblpvyrex},\cdots,\dfrac{\text5btmi6t^{n-1}y}{\textxraf16kx^{n-1}}\right)

處取值.

此時,方程(2.91)等價于

\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textwllnacjy}{\textmrjkpysx},\cdots,\dfrac{\textyph4wno^{n-1}y}{\text5ttd6z2x^{n-1}}\right)=C\quad(2.92)

其中 C 為任意常數. 而方程(2.92)是 n-1 階的,這樣就降低了方程(2.91)的階數. 與一階微分方程類似,有時方程(2.91)本身不是全微分方程,但有時乘以一個積分因子

\mu\left(x,y,\dfrac{\textnrvpb9wy}{\textimstzigx},\cdots,\dfrac{\textkyw6sc4^{n-1}y}{\textsok9xw0x^{n-1}}\right)

后,就變成了全微分方程.

解方程

(1+y^2)\dfrac{\textrnngxdu^2y}{\textxlvuf93x^2}-2y\left(\dfrac{\text7hyantcy}{\textzss9cqrx}\right)^2=0

Sol:

y'\not=0 時,由于

\dfrac{y''}{y'}-\dfrac{2yy'}{1+y^2}=(\ln|y'|-\ln(1+y^2))'

故原方程可化為

\ln|y'|-\ln(1+y^2)=C_0

其中 C_0 為任意常數,這等價于

y'=\tilde{C}(1+y^2)\quad(\tilde{C}=\pm e^{C_0}).

由此解得 y=\tan(\tilde{C}x+C_2),其中 C_2 為任意常數.

此外,當 y'=0 時,y=C 也是原方程的解,其中 C 為任意常數.

因此原方程的通解可統一表示為

y=\tan(C_1x+C_2)

其中 C_1,\;C_2 為任意常數.

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