高階微分方程
對于高階微分方程
一般沒有普遍的解法,求解告誡微分方程的基本思想是降階,通過變量變換的方法將方程(2.79)化為階數較低的方程來求解,從而將問題簡化.
接下來看這幾類特殊的方程
不顯含函數
的方程
令 ,則方程(2.80)變為關于
的
階微分方程
如果能夠求出方程(2.81)的通解 ,則方程
經過 次積分后得到的通解
就是方程(2.80)的通解,這里的 為任意常數.
例
解方程
Sol:
令 ,則
當 且
時用分離變量法,可得
其中 為任意非零常數.
當 時,令
,則
經過兩次積分后解得
當 時,令
,則
經過兩次積分后解得
其中 為任意常數.
此外,由于常函數 和
也是方程(2.83)的解,因此,函數
也是原方程的解,其中
為任意常數.
不顯含自變量
的方程
這種方程也被稱為自治微分方程. 令 ,則方程(2.84)可變為關于
的
階微分方程.
事實上,若 ,則
用數學歸納法容易證明:對任意的 可以用
來表出. 把它們帶入方程(2.84)就得到形如
的關于 的
階微分方程,比方程(2.84)低了一階.
例
解方程
Sol:
令 ,則
故原方程可化為
易知 和
是方程(2.86)的解. 因此,
是原方程的解,其中
為任意常數.
當 且
時,使用分離變量的方法,可得方程(2.86)的通解為
其中 為任意常數. 求解方程
當 時,原方程的通解為
其中 為任意常數. 當
時,積為上面討論過的
的情況.
齊次方程
其中左邊是關于變量
的零元齊次函數,即
顯然,當 ,齊次方程(2.87)等價于
若令
并以它為新未知函數,則方程就可降低一階. 事實上,在此所設的假定下,有
用數學歸納法不難證明:對任意的 可用
表出. 將這些表達式帶入方程(2.88),可得形如
的關于 的
階微分方程,比方程(2.87)低了一階.
例
解方程
Sol:
令
故原方程可化為
當 時,方程(2.90)等價于
解得
其中 為任意常數. 因此原方程的通解為
其中 為任意常數.
此外, 顯然時原方程的一個特解,已經包含在上面的通解表達式之中(取
即可).
全微分方程
其中左邊是某個形如
的表達式對 的全導數,即
這里 元函數
的對各變元的一階偏導數都存在且連續,故方程(2.91)有形式:
其中函數 的對各變元的一階偏導數在
處取值.
此時,方程(2.91)等價于
其中 為任意常數. 而方程(2.92)是
階的,這樣就降低了方程(2.91)的階數. 與一階微分方程類似,有時方程(2.91)本身不是全微分方程,但有時乘以一個積分因子
后,就變成了全微分方程.
例
解方程
Sol:
當 時,由于
故原方程可化為
其中 為任意常數,這等價于
由此解得 ,其中
為任意常數.
此外,當 時,
也是原方程的解,其中
為任意常數.
因此原方程的通解可統一表示為
其中 為任意常數.