高階微分方程

對于高階微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textsmmenrsy}{\textl3ln39nx},\cdots,\dfrac{\textv59oxpl^ny}{\textzbp9tk9x^n}\right)=0$

一般沒有普遍的解法，求解告誡微分方程的基本思想是降階，通過變量變換的方法將方程（2.79）化為階數較低的方程來求解，從而將問題簡化.

接下來看這幾類特殊的方程

不顯含函數 $y$ 的方程

$F\left(x,\dfrac{\text9zzo1u6^k}{\textmmdv5a8x^k},\cdots,\dfrac{\text3ownegv^ny}{\texthj6rjhsx^n}\right)=0\;(k\geqslant1)\quad(2.80)$

令 $p=\dfrac{\text59v44fi^ky}{\texthjbgyj4x^k}$ ，則方程（2.80）變為關于 $p$ 的 $n-k$ 階微分方程

$F\left(x,p,\dfrac{\textfglvlclp}{\text5v9o11wx},\cdots,\dfrac{\textr6h8aop^{n-k}y}{\text8gg9v5tx^{n-k}}\right)=0\quad(2.81)$

如果能夠求出方程（2.81）的通解 $p=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})$ ，則方程

$\dfrac{\texts5xzkk4^ky}{\textmo9gcmex^k}=\varphi(x,C_1,\cdots,C_{n-k})\quad(2.82)$

經過 $k$ 次積分后得到的通解

$y=\psi(x,C_1,C_2,\cdots,C_n)$

就是方程（2.80）的通解，這里的 $C_j,\;j=1,2,\cdots,n$ 為任意常數.

例

解方程

$x\dfrac{\textz6ub9nf^3y}{\textvostzjxx^3}-2\left(\dfrac{\textrxxvvs6^2y}{\text0nfxqmgx^2}\right)^2+2\dfrac{\text6hm9e1l^2y}{\textrfxrmolx^2}=0$

Sol:

令 $p=\dfrac{\textr99cmhf^2y}{\textwddbkmdx^2}$ ，則

$x\dfrac{\textgp5l5ewp}{\textoqhir1tx}-2(p^2-p)=0\quad(2.83)$

當 $p\not=0$ 且 $p\not=1$ 時用分離變量法，可得

$p=\dfrac{1}{1-ax^2}$

其中 $a$ 為任意非零常數.

當 $a>0$ 時，令 $a=C_1^2$ ，則

$\dfrac{\textvnwgjre^2y}{\texte99lqsox^2}=\dfrac{1}{1-C_1^2x^2}$

經過兩次積分后解得

$y=\dfrac{1}{2C_1^2}\ln|1+C_1x||1-C_1x|+\dfrac{x}{2C_1}\ln\left|\dfrac{1+C_1x}{1-C_1x}\right|+C_2x+C_3$

當 $a<0$ 時，令 $a=-C_1^2$ ，則

$\dfrac{\texttzil6y7^2y}{\textws6wwp9x^2}=\dfrac{1}{1+C_1^2x^2}$

經過兩次積分后解得

$y=\dfrac{x}{C_1}\arctan(C_1x)-\dfrac{1}{2C_1^2}\ln(1+C_1^2x^2)+C_2x+C_3$

其中 $C_1\not=0,\,C_2,\,C_3$ 為任意常數.

此外，由于常函數 $p=0$ 和 $p=1$ 也是方程（2.83）的解，因此，函數 $y=C_1x+C_2,\;y=\dfrac12x^2+C_1x+C_2$ 也是原方程的解，其中 $C_1,\,C_2$ 為任意常數.

不顯含自變量 $x$ 的方程

$F\left(y,\dfrac{\textd939xxry}{\textw1w1jskx},\cdots,\dfrac{\texth1f8dfd^ny}{\texty5uxb4yx^n}\right)=0\quad(2.84)$

這種方程也被稱為自治微分方程. 令 $p=\dfrac{\textt5l56tly}{\textksq641zx}$ ，則方程（2.84）可變為關于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程.

事實上，若 $p=\dfrac{\textsvfa9x9y}{\textfk6tt13x}$ ，則

$\dfrac{\textblyi1p9^2y}{\textyvtvv5hx^2}=\dfrac{\textom9drku}{\textvxfddjbx}\left(\dfrac{\textlzvxgxyy}{\textqa58zvjx}\right)=\dfrac{\textdpybwhvp}{\texth9utt8zy}\cdot\dfrac{\textugyrijsy}{\texte9k9rwbx}=p\dfrac{\textkkps9pbp}{\textvfolbc1y}$

用數學歸納法容易證明：對任意的 $i<j\leqslant n,\dfrac{\textkkluvvf^jy}{\text6vzneblx^j}$ 可以用

$y,p,\dfrac{\textuedob9fp}{\textppdrrtcy},\cdots,\dfrac{\textunrkclv^{j-1}p}{\text6bpudody^{j-1}}$

來表出. 把它們帶入方程（2.84）就得到形如

$G\left(y,p,\dfrac{\textwtxzrewp}{\textdedxliry},\cdots,\dfrac{\texttiibfq9^{n-1}p}{\text9lpvh9xy^{n-1}}\right)=0\quad(2.85)$

的關于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程，比方程（2.84）低了一階.

例

解方程

$y\dfrac{\text1jjddct^2y}{\textfhq1rrbx^2}-\left(\dfrac{\textgkdhbbky}{\textlo6sbdux}\right)^2-2\dfrac{\texteccvll1y}{\textjrbqu6mx}=0.$

Sol:

令 $p=\dfrac{\text6q6ijtty}{\textpveemnsx}$ ，則

$\dfrac{\text4cqrphe^2y}{\textfq61lrax^2}=p\dfrac{\textddesczhp}{\textzajoxbdy}.$

故原方程可化為

$yp\dfrac{\text1pdezivp}{\textzq4v1ejy}-p^2-2p=0\quad(2.86)$

易知 $p=0$ 和 $p=-2$ 是方程（2.86）的解. 因此， $y=C,\;y=-2x+C$ 是原方程的解，其中 $C$ 為任意常數.

當 $p\not=0$ 且 $p\not=-2$ 時，使用分離變量的方法，可得方程（2.86）的通解為

$p=C_1y-2,$

其中 $C_1$ 為任意常數. 求解方程

$\dfrac{\textja6tucuy}{\textebw6bvvx}=C_1y-2$

當 $C_1\not=0$ 時，原方程的通解為

$y=C_2e^{C_1x}+\dfrac{2}{C_1}$

其中 $C_2$ 為任意常數. 當 $C_1=0$ 時，積為上面討論過的 $p=-2$ 的情況.

齊次方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textdrwbgxjy}{\texta1o8ebsx},\cdots,\dfrac{\textk1g3mhm^ny}{\textwsckllfx^n}\right)=0\quad(2.87)$

其中左邊是關于變量

$y,\dfrac{\textx94t0x4y}{\textth1rvxxx},\cdots,\dfrac{\textx11d1sk^ny}{\text6rmjjgpx^n}$

的零元齊次函數，即

$F\left(x,ty,t\dfrac{\textcsx1zsty}{\text69h39tpx},\cdots,t\dfrac{\textytkc1ii^ny}{\textnjc69zbx^n}\right)=F\left(x,y,\dfrac{\texthz6nwxgy}{\textvvbaty9x},\cdots,\dfrac{\textej6kfw1^ny}{\textqj9hianx^n}\right),\;\forall t\not=0$

顯然，當 $y\not=0$ ，齊次方程（2.87）等價于

$F\left(x,1,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textk9zn6wxy}{\textxudd1sbx},\cdots,\dfrac{1}{y}\dfrac{\textff9cd9d^ny}{\textkkb9i9ax^n}\right)=0\quad(2.88)$

若令

$p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textpkpifofy}{\text7y9jblgx}$

并以它為新未知函數，則方程就可降低一階. 事實上，在此所設的假定下，有

$\dfrac{\textn49zibwy}{\texthre91atx}=yp$

$\dfrac{\texth99z6oj^2y}{\textqcr1jbfx^2}=\dfrac{\text5ev6wbby}{\textzzfsccvx}p+y\dfrac{\textspghj6mp}{\texts3dxxh1x}=y(p^2+\dfrac{\text5btltxhp}{\textz9m8u9dx})$

用數學歸納法不難證明：對任意的 $1<k\leqslant n,\;\dfrac{1}{y}\dfrac{\textoxq6rsx^ky}{\textj6fhbrsx^k}$ 可用

$p,\dfrac{\textbgoqlvmp}{\textgmvskasx},\cdots,\dfrac{\text5wwtu66^{k-1}p}{\textjlhiz19x^{k-1}}$

表出. 將這些表達式帶入方程（2.88），可得形如

$G\left(x,p,\dfrac{\textm96uymmp}{\textherc91gx},\cdots,\dfrac{\text5qqavxm^{n-1}p}{\textdrdgdhjx^{n-1}}\right)=0\quad(2.89)$

的關于 $p$ 的 $n-1$ 階微分方程，比方程（2.87）低了一階.

例

解方程

$x^2y\dfrac{\text11aczf6^2y}{\textd1k9q6fx^2}=\left(y-x\dfrac{\text5z4p4v1y}{\textczibtvox}\right)^2.$

Sol:

令 $p=\dfrac{1}{y}\dfrac{\textnjxzv66y}{\textj51z11ex}$

$\dfrac{\text69zx1iwy}{\textccm9f6kx}=yp$

$\dfrac{\textuxrjx9f^2y}{\textb4k8cerx^2}=\dfrac{\textdofq9vry}{\textlkl99iex}p+y\dfrac{\textd04dyl4p}{\textvbfizf9x}=yp^2+y\dfrac{\text11vkdenp}{\textd666il6x}$

故原方程可化為

$x^2y^2\dfrac{\textuarvkxyp}{\text9vdsb6qx}=y^2-2xy^2p\quad(2.90)$

當 $y\not=0$ 時，方程（2.90）等價于

$x^2\dfrac{\textl46th6jp}{\textk9rg9vrx}=1-2xp$

解得

$p=\dfrac{1}{x}+\dfrac{C_1}{x^2}$

其中 $C_1$ 為任意常數. 因此原方程的通解為

$y=C_2e^{\int p\texttd99xirx}=C_2xe^{-\frac{C_1}{x}}$

其中 $C_2$ 為任意常數.

此外， $y=0$ 顯然時原方程的一個特解，已經包含在上面的通解表達式之中（取 $C_2=0$ 即可）.

全微分方程

$F\left(x,y,\dfrac{\textibllzody}{\textnn4pp4fx},\cdots,\dfrac{\texto6mjjtt^ny}{\text1ii6pl9x^n}\right)=0\quad(2.91)$

其中左邊是某個形如

$\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textvito1hmy}{\texte4o1x9ix},\cdots,\dfrac{\text0wfgtnn^{n-1}y}{\textpblx96ux^{n-1}}\right)$

的表達式對 $x$ 的全導數，即

$F\left(x,y,\dfrac{\textj9ro9ngy}{\textgsmenofx},\cdots,\dfrac{\texthldar1d^ny}{\textby498v4x^n}\right)=\dfrac{\textura1pkd}{\texth1djwbex}\varPhi\left(x,y,\dfrac{\textfnccvaey}{\text0bsqqsbx},\cdots,\dfrac{\text0ajg314^{n-1}y}{\textjx6d1vfx^{n-1}}\right)$

這里 $n+1$ 元函數 $\varPhi\left(x_1,x_2,\cdots,x_{n+1}\right)$ 的對各變元的一階偏導數都存在且連續，故方程（2.91）有形式：

$F\left(x,y,\dfrac{\text5phhe9ty}{\texta9cg9dtx},\cdots,\dfrac{\textvc1xwij^ny}{\texth9nqhyqx^n}\right)=\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_1}+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_2}\dfrac{\textsepazz7y}{\text0tjp28mx}+\cdots+\dfrac{\partial \varPhi}{\partial x_{n+1}}\dfrac{\textbejnxt5^ny}{\textpgoelbex^n}$