隱式方程

因為會遇到一些導數未接觸的一階微分方程. 這里討論一階隱式方程，其一般形式為

$\displaystyle F\left(x,y,\dfrac{\textharir6uy}{\textxonftwax}\right)=0 （2.46）$

求解這類方程的基本思想是將 $p=\dfrac{\text7ylyn6ly}{\text4new11dx}$ 看成獨立的變量而考慮把由代數方程 $F(x,y,p)=0$ 所定義的 $\mathbb{R}^3$ 上的曲面的參數化，再通過變量替換的方法把方程（2.46）化為導數已解出的顯式方程，然后用之前的方法求解.

一般求解的具體做法：

第一步

將曲面 $F(x,y,p)=0$ 表示成參數形式

$\begin{cases} x=\phi(s,t),\\ y=\psi(s,t),\\ p=\kappa(s,t).\quad(2.47) \end{cases}$

第二步

對（2.47）求 $x,y$ 的微分，用 $p=\dfrac{\textw9i6dldy}{\text5snfql9x}$ 給出 $\text8lpyzlly$ 和 $\textwjefb4ox$ 的關系:

$\begin{aligned} &\text5qsjbdlx=\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\textdqn91yds+\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\textem0r9bft,&(2.48)\\ &\text0gzuee1y=\dfrac{\partial \psi}{\partial s}\text7fh441qs+\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\text4xxxo3st,&(2.49)\\ &\textof4atddy=\dfrac{\textb6s886ny}{\textb8z58lex}\textoggtrjxx=\kappa\textgy6obhix,&(2.50) \end{aligned}$

第三步

將（2.48）、（2.49）帶入（2.50）得

$\displaystyle\dfrac{\partial \psi}{\partial s}\texty9ge6mxs+\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\text9mm9zqft=\kappa\left(\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\textxbwpgcps+\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\textayggxy1t\right)$

合并得到

$\displaystyle\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial s}-\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\kappa\right)\text56ji4gfs+\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}-\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\kappa\right)\text3jvfwxbt=0\;\;(2.51)$

從而化成了對成型是的微分方程.

第四步

如果用學過的方法求出了方程(2.51)的通解 $s=w(t,C)$ ，則將他帶入（2.47）就得到方程（2.46）的參數形式的解

$\begin{cases} x=\phi(w(t,C),t),\\ y=\psi(w(t,C),t).\\ \end{cases}\quad(2.52)$

其中 $C$ 為任意常數. 如果方程（2.51）的通解是另一種形式 $t=w(s,C)$ ，我們可以得到類似結果.

討論集中特殊形式的方程

可以解出 $y$ 的方程

$y=f\left(x,\,\dfrac{\texthx1utnay}{\textwaeua14x}\right),\quad(2.53)$

這里函數 $f$ 有連續的一階偏導數. 這時曲面 $F(z,y,p)=0$ 的參數形式可為

$\begin{cases} x=x,\\ y=f\left(x,p\right),\\ p=p. \end{cases}$

其中 $x,p=\dfrac{\text7p9vwtdy }{\texti1e4hy4x}$ 為參數. 對方程（2.53）兩邊關于 $x$ 求導，得

$\displaystyle p=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,p)+\dfrac{\partial f}{\partial p}(x,p)\dfrac{\textp349ksvp}{\textjxl6cg9x}$

整理可得到對稱形式的方程：

$\displaystyle\left(p-\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,p)\right)\textuxoxf11x-\dfrac{\partial f}{\partial p}(x,p)\textphlmv1ep=0\quad(2.54)$

可以解出 $x$ 的方程：

$x=f\left(y,\dfrac{\textnc4ijbyy}{\textjrstksox}\right),\quad(2.55)$

這里函數 $f$ 有連續的一階偏導數. 類似地曲面 $F(x,y,p)=0$ 的參數形式可為

$\begin{cases} x=f(y,p),\\ y=y,\\ p=p. \end{cases}$

其中 $y,p=\dfrac{\textyfrempvy}{\textysjjbtyx}$ 為參數. 對方程（2.55）兩邊關于 $x$ 求導，得

$\displaystyle1=p\dfrac{\partial f}{\partial y}(y,p)+p\dfrac{\partial f}{\partial p}(y,p)\dfrac{\text1ezle69p}{\texthh1srz9y}.$

由上式可解出 $\dfrac{\textqmdcdd4p}{\textr91e6ooy}$ ，從而得到如下規范形式的一階微分方程：

$\displaystyle\dfrac{\textger31vvp}{\textojjjktpy}=\dfrac{\dfrac{1}{p}-\dfrac{\partial f}{\partial y}(y,p)}{\dfrac{\partial f}{\partial p}(y,p)}.\quad(2.57)$

不顯含 $y$ 的隱式方程

$F\left(x,\dfrac{\textn1qd1nry}{\textyy9g4j9x}\right)=0\quad(2.58)$

令 $p=\dfrac{\textgwxhd61y}{\textq4ueeojx}$ ，這時代數方程 $F(x,p)=0$ 代表 $Oxp$ 平面上的一條曲線，設該曲線有參數表示

$\begin{cases} x=\varphi(s),\\ p=\psi(s), \end{cases}\quad(2.59)$

其中 $s$ 為參數. 由微分關系得

$\begin{cases} \textdwrrbngy=p\textvttvuuwx=\psi(s)\textdcpoxkcx,\\ \textt6nf9tlx=\varphi(s)\text5wjxstcs. \end{cases}$

因此

$\textuq9azvmy=\psi(s)\varphi'(s)\text4pphuvzs,$

這是一個變量分離的方程，其通解為

$\displaystyle y(s)=\int\psi(s)\varphi'(s)\textyxo9xhhs+C$

其中 $C$ 為任意常數. 由此得方程（2.58）的參數形式的通解為

$\begin{cases} x=\varphi(s),\\ y=\int\psi(s)\varphi'(s)\text1fsb4e6s+C. \end{cases}\quad(2.60)$

不顯含 $x$ 的隱式方程

$F\left(y,\dfrac{\textyg6drqdy}{\textg96nyytx}\right)=0\quad(2.61)$

令 $p=\dfrac{\text7evenaiy}{\textwi6dd1rx}$ ，同樣，代數方程 $F(y,p)=0$ 代表 $Oyp$ 平面上的一條曲線，設其參數表示為

$\begin{cases} y=\varphi(s),\\ p=\psi(s). \end{cases}\quad(2.62)$

由微分關系得

$\begin{cases} \textod9lt94y=\varphi'(s)\text9cjkxo1s\\ \textjkb6zevy=p\textmhr1dd8x=\psi(s)\textvule3ijx. \end{cases}$

因此，

$\text4zdfjf9x=\dfrac{\varphi'(s)}{\psi(s)}\text6zjfspis.$

故方程（2.61）的參數形式的通解為

$\begin{cases} x=\int\dfrac{\varphi'(s)}{\psi(s)}\textyn1pcd4s+C.\\ y=\varphi(s). \end{cases}\quad(2.63)$

其中 $C$ 為任意常數.

例子

1

$\displaystyle\left(\dfrac{\textfvt6j66y}{\textttl46cex}\right)^3+2x\dfrac{\textup6wrrby}{\textarqzyzix}-y=0$

Sol:

令 $p=\dfrac{\textdthhcsfy}{\textkakop1kx}$ ，則有

$y=p^3+2xp$

對方稱兩邊關于 $x$ 求導，得

$p=3p^2\dfrac{\textwzxoss4p}{\textqhznudmx}+2x\dfrac{\textqu66clup}{\textzhp9qzbx}+2p$

即

$(3p^2+2x)\textiduvekxp+p\texthp11jzix=0$

當 $p\not=0$ 時，方程有積分因子 $\mu=p$ ，用 $\mu$ 乘上述方程的兩端，得

$3p^3\textkcfb1l1p+(2xp\textmldn16bp+p^2\textshu9sosx)=0$ .

由此求出放曾的隱式通解：

$\dfrac{3p^4}{4}+xp^2=C_1$

其中 $C_1$ 為任意常數. 接觸 $x$ 得

$x=\dfrac{C_1-\dfrac34p^4}{p^2}=\dfrac{C-3p^4}{4p^2},$

其中 $C=4C_1$ . 從而原微分方程得參數形式的解為

$\begin{cases} x=\dfrac{C-3p^4}{4p^2},\\ y=p^3+2p\dfrac{C-3p^4}{4p^2}=\dfrac{C-p^4}{2p} \end{cases}\quad(p\not=0).$

當 $p=0$ 時，由（2.65）可直接推知 $y=0$ 也是微分方程的解.

2

解

$x^3+\left(\dfrac{\textwu1xxh6y}{\text0ednx9rx}\right)^3-3x\dfrac{\textrrde5q1y}{\textmrdm9m1x}=0$

Sol:
令 $\dfrac{\textzzzgxh9y}{\text5yv9phyx}=p=tx$ ，則由方程得

$\begin{cases} x=\dfrac{3t}{1+t^3},\\ p=\dfrac{3t^2}{2+t^3}.\\ \end{cases}$

于是

$\text51cdunfy=\dfrac{9(1-2t^3)t^2}{(1+t^3)^3}\textmlzhqdvt.$

兩邊積分得

$\displaystyle y=\int\dfrac{9(1-2t^3)t^2}{(1+t^3)^3}\textoyccur8t=\dfrac{3(1+4t^3)}{2(1+t^3)^2}+C$

因此，方程的參數形式得通解為

$\begin{cases} x=\dfrac{3t}{1+t^3},\\ y=\dfrac{3(1+4t^3)}{2(1+t^3)^2}+C. \end{cases}$

其中 $C$ 為任意常數.

3

解

$\left(\dfrac{\texti0d4j6fy}{\textk8lz9dgx}\right)^3-y^2\left(4-\dfrac{\text04cmq96y}{\textqbc9gxpx}\right)=0$

Sol:
令 $\dfrac{\textg9ylvley}{\textwg9nfxpx}=p,\,y=pt,\,$ 由方程可得

$\begin{cases} p=\dfrac{4t^2}{1+t^2},\\ y=\dfrac{4t^3}{1+t^2}.\\ \end{cases}$

當 $p\not=0$ 時，由 $\textz9kc6d4x=\dfrac{1}{p}\textqdyyh5uy$ ，則

$\displaystyle x=\int\dfrac{3+t^2}{1+t^2}\textcclmevwt=t+2\arctan t+C.$

因此，該方程的參數形式的解為

$\begin{cases} x=t+2\arctan t+C,\\ y=\dfrac{4t^3}{1+t^2}.\\ \end{cases}$

其中 $C$ 為任意嘗試. 此外，當 $p=0$ 時，易知 $y=0$ 也是方程的解.

在某些情況下我們可從隱式方程中接觸 $\dfrac{\textnbvw6ahy}{\text76tdhq1x}$ ，因此可以將方程化為前兩節討論過的顯式方程. 例如：若方程的形式為

$\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x,y)\left(\dfrac{\textdp1p9duy}{\textsi99p9xx}\right)^k=0$

若該方程關于 $\dfrac{\textwnpkzray}{\textydmieijx}$ 多項式有 $s$ 個不同的實根 $f_k(x,y),\,k=1,2,\cdots,s,s\leqslant n,$ 則對每個 $k$ ，該方程的求解問題都可歸結為形式較簡單的顯式方程

$\dfrac{\textnlg1jrjy}{\textmuldzirx}=f_k(x,y)$

的求解問題. 例如

$y'^2-\left(xy+\dfrac{1}{2y}\right)y'+\dfrac{x}{2}=0$

可以寫成

$\left(y'-\dfrac{1}{2y}\right)\left(y'-xy\right)=0$

由此得兩個方程

$y'=\dfrac{1}{2y},\,\;y'=xy.$

對這兩個方程分別用分離變量法求解，從而得到原方程的不同解為

$x=y^2+C_1,$

或

$y=C_2e^{\frac{x^2}{2}}$

其中 $C_1,\,C_2$ 為任意常數.

若方程不顯含 $x$ 和 $y$ ，即方程的形式為

$F\left(\dfrac{\textjjrauppy}{\textapri5fmx}\right)=0\quad(2.68)$

這時若方程（2.68）至少有一個實根 $y'=p$ ，則有 $y=px+C$ . 將 $p=\dfrac{y-C}{x}$ 帶入方程（2.68），即得方程（2.68）的隱式通解

$F\left(\dfrac{y-C}{x}\right)=0$

其中 $C$ 為任意常數. 例如方程

$\left(\dfrac{\textrwriroky}{\textqnez1nnx}\right)^7-2\left(\dfrac{\textjcdjsxjy}{\text2cmqr1nx}\right)^4+5\left(\dfrac{\text2yzrmnfy}{\textt6nrjfdx}\right)^3+5=0$

由于方程的左邊是一個關于 $\dfrac{\texthf9piqiy}{\textdnxptofx}$ 的 7 次多項式，因此該方程至少有一個實根，故有隱式通解

$\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^7-2\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^4+5\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^3+5=0$

其中 $C$ 為任意常數.

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微分方程-隱式通解

微分方程-隱式通解

隱式方程

第一步

第二步

第三步

第四步