加法原理和乘法原理，是排列組合中的二條基本原理，在解決計數問題中經常運用。掌握這兩條原理，并能正確區分他們，至關重要。
加法原理
若完成一件事情有3類方式，其中第一類方式有1種方法，第二類方式有3種方法，第三類有2種方法，這些方法都不相同，但任選一種方法都可以完成此事，則完成這件事情共有1+3+2=6種方法，這一原理稱為加法原理。
例如:從甲地到乙地有三類方式，一是汽車，二是火車，三是飛機。若一天中汽車有2班，火車有4班，飛機有一班，那么從甲地到乙地共有多少種不同的走法。共有2+4+1=7種。
乘法原理
若完成一件事情分r個步驟，其中第一個步驟有m1種方法，第二個步驟有m2種方法……第步驟共有mr種方法，各步驟連續或同時完成，這件事才算完成，則完成這件事共有m1*m2*……*mr種方法。
例如:從甲地到丙地必須經過乙地。從甲地到乙地有4條路線，從乙地到丙地有3條路線，問從甲地到丙地共有多少種不同的走法？
解：要從甲地到達丙地，必須經過兩個步驟：先從甲地到乙地，有4條路線；再從乙地到丙地，有3條路線。只有這兩個步驟都完成了，才能完成這種事情，缺少哪一個步驟都不行。因此從甲地到丙地共有4*3=12種走法。
加法原理和乘法原理的區別
以上兩個基本原理在排列組合問題中將會反復使用。這兩個原理回答的都是關于完成一件事情的不同方法的種數問題，但是又有根本區別。加法原理針對的是“分類”問題，若完成一件事情有多類方式，每一類方式的各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事情，則用加法原理；而乘法原理針對的是“分步”問題，若完成一件事情必須依次經過多個步驟，每一個步驟的各種方法相互依存，只有各種步驟都完成才算做完成這種事情，則這時用乘法原理。
排列數公式推理過程
例：用1、2、3這3個數字可以組成多少個數字十位和個位不重復的兩位數？
解：要組成數字不重復的兩位數，需要經過兩個步驟：第一步確定十位上的數，數字1、2、3都可以放在十位上，共有3種方法；第二步確定個位上的數，因為要求個位數與十位數不能重復，所以個位上的數，只能從三個數字中去掉十位數后所剩的兩個數字中任選一個，共有2種方法。只有十位和個位上的數都確定了，才能組成數字不重復的兩位數，這兩個步驟缺少哪一個都不行。因此，根據乘法原理，3*2=6.
上例中，我們把數字1、2、3稱為元素。組成數字不重復的兩位數這個問題，從3個不同的元素中任取2個，然后按順序排成一列數，由于這樣的排列與數字不重復的兩位數是一一對應的，因此求數字不重復的兩位數的個數等同于求這樣的排列個數。
推理過程：從n個不同元素中取出m個不同元素排成一列，必須經過m個步驟。
第一步，確定第1個位置上的元素,可以從這n個元素中任取1個放在這個位置上，共有n種方法，即n-(1-1)括號內為位置數減1；
第二步，確定第2個位置上的元素，可以從剩下的n-1個元素中任取1個放在這個位置上，共有n-1種方法，即n-(2-1)；
……
第m步，確定第m位置上的元素，第m位置上的元素從剩下的n-(m-1)個元素中任選一個，共有n-m+1種方法。根據乘法原理，全部確定這m個位置的元素共有n(n-1)(n-2)……*（n-m+1）種方法。由于一種方法對應一個排列，所以所有這樣排列的個數即排列數。
組合
排列是一個與次序有關的概念，如12,21這兩個數字是兩個不同的排列，但是在組合里，12和21是一個意思，因為12和21都是由1和2組合而成的，所以順序并不會影響對組合的判斷，因此，組合是與排列概念不同的問題。
從n個不同的元素中，每次取出m個（m<=n）不同元素，不考慮順序組成一組，叫做從n個元素中每次取出m個元素的組合。這樣得出的組合個數稱為組合數，記作C (n,m)
求從n個不同元素中取出m個元素的排列數A(n,m)，可以按以下兩個步驟進行：
第一步，求出這n個不同元素中取出m個元素的組合數C (n,m),
第二步，求出每一個組合中m個元素的全排列數A(m,m)，根據乘法原理得出，A(n,m)=C (n,m)*A(m,m),可重復組合公式:C (n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/m!(n-m)!,
不可重復組合公式：C (n,m)=(m+n-1)!/(m!(n-1)!)
對于實際問題，必須正確判別是排列問題還是組合問題，其區別的關鍵在于要不要將所取出的元素進行排隊。若要排隊，則是排列問題，若不要排隊，則是組合問題。
以下為組合數計算器python代碼。
#!/usr/bin/env python3
# -- coding: utf-8 -*-
import math
from tkinter import *
class Window:
def __init__(self, title='組合數計算器', width=300, height=120, staFunc=bool, stoFunc=bool):
self.w = width
self.h = height
self.stat = True
self.staFunc = staFunc
self.stoFunc = stoFunc
self.staIco = None
self.stoIco = None
self.root = Tk(className=title)
def drawCenter(self):
ws = self.root.winfo_screenwidth()#用戶屏幕寬度
hs = self.root.winfo_screenheight()#用戶屏幕高度
x = int( (ws/2) - (self.w/2) )#距屏幕左邊框的像素點數
y = int( (hs/2) - (self.h/2) )#距屏幕上邊框的像素點數
self.root.geometry('{}x{}+{}+{}'.format(self.w, self.h, x, y))
def createWidgets(self):
Label(self.root, text="所有元素數n：").grid(row=0,sticky=E)
Label(self.root, text="取出的元素數m：").grid(row=1,sticky=E)
Label(self.root, text="不可重復組合數：").grid(row=2,sticky=E)
Label(self.root, text="可重復組合數：").grid(row=3,sticky=E)
self.e1 = Entry(self.root)
self.m = StringVar()
self.e2 = Entry(self.root,textvariable=self.m)
self.a1 = StringVar()
self.e3 = Entry(self.root,textvariable=self.a1)
self.a2 = StringVar()
self.e4 = Entry(self.root,textvariable=self.a2)
self.e1.grid(row=0, column=1)
self.e2.grid(row=1, column=1)
self.e3.grid(row=2, column=1)
self.e4.grid(row=3, column=1)
self.btnSer = Button(self.root, command=self.click, width=3, height=1,text='運行')
self.btnSer.grid(row=4,column=1,sticky=E)
btnQuit = Button(self.root, text='關閉窗口', command=self.root.quit, width=8, height=1)
btnQuit.grid(row=4,column=2)
def click(self):
n=int(self.e1.get())
m =int(self.e2.get())
#組合數
a1=math.factorial(n)/math.factorial(m)/math.factorial(n-m)
self.a1.set(int(a1))
#不可重復組合數
a2=math.factorial(n+m-1)/(math.factorial(m)*math.factorial(n-1))
self.a2.set(int(a2))
def loop(self):
self.root.resizable(False, False) #禁止修改窗口大小
self.createWidgets()
self.drawCenter() #窗口居中
self.root.mainloop()
if __name__ == '__main__':
w = Window(width=350, height=150)
w.loop()
有5個數字，取兩個數字進行組合的計算結果。
