排列組合的定義

• 排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任意取m個(gè)元素，m≤n且m和n都是自然數(shù)，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。
  從n個(gè)不同元素中，取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。用A（n，m）表示。
• 組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任意取m個(gè)元素，m≤n且m和n都是自然數(shù)，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。
  從n個(gè)不同元素中，取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用C（n，m）表示。
• 規(guī)定當(dāng)n=m時(shí)，0！=1，這個(gè)規(guī)定是用來(lái)解釋當(dāng)C（3，3）這種情況n=m時(shí)，分母出現(xiàn)0！=1就可以計(jì)算了。
• 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。

排列組合是解決問(wèn)題的一種思考工具

• 解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下:
  1.認(rèn)真審題弄清要做什么事
  2確定每一步或每一類(lèi)是排列問(wèn)題(有序)還是組合(無(wú)序)問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.）“分類(lèi)”表現(xiàn)為其中任何一類(lèi)均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類(lèi)辦法互不干擾，相互獨(dú)立，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類(lèi)辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。
  3復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà) “樹(shù)圖 ”、“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化,解答完需要檢驗(yàn)。
  4處理排列、組合綜合問(wèn)題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類(lèi)”和按事件的過(guò)程“分步”，始終是處理排列、組合問(wèn)題的基本原理和方法，通過(guò)解題訓(xùn)練要注意積累和掌握分類(lèi)和分步的基本技能，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。
  總之，解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類(lèi)相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；正難則反，間接排除等。

常用的方法技巧

一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊，再考慮其他。
二．總體淘汰法：對(duì)于含否定的問(wèn)題，還可以從總體中把不合要求的除去。
三．合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。
四．相鄰問(wèn)題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．
五．不相鄰問(wèn)題用“插空法”：不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開(kāi)．解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法．
六.逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。構(gòu)造模型 “隔板法”： 對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題排除法。

難點(diǎn)在于對(duì)特定模型的掌握和限制條件的區(qū)分

⑴從千差萬(wàn)別的實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力；
⑵限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問(wèn)題中的關(guān)鍵性詞（特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞）準(zhǔn)確理解；
⑶計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大；
⑷計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來(lái)檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。

典型題目匯總

• 10名成績(jī)優(yōu)異者抽取3名代表學(xué)校參加市數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有幾種組合方式？
• 我們假設(shè)一副撲克中抽出5張牌放在桌子，問(wèn)有多少種組合方式？
• 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有多少個(gè)？
• 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從左下角到右上角有多少種不同的走法?
• 從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？
• 身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比第二行的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為
• 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有
• 停車(chē)場(chǎng)劃一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放，要求空車(chē)位連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種?
• 對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
• 福利彩票30選7，小劉以膽，3，10，17，16，以7，9，18，23為拖買(mǎi)彩票，花多少錢(qián)。一注2元，買(mǎi)以上膽拖的復(fù)式有多少錢(qián)
• 公路一青蛙，跳一下1米，往后跳一下也是1米，動(dòng)了5次，進(jìn)了3米。不同的跳法？
• 學(xué)校12名女生，4人一組有
• 甲乙丙丁四人傳球，第一次由甲傳給其余三人中任意一人，第二次由拿球人再傳其余三人中一人，傳4次球后，第4次仍傳給甲的方法有多少？
• 有8本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本．若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種．(結(jié)果用數(shù)值表示)
• 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)
• 在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？
• 在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車(chē)工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車(chē)工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車(chē)工，問(wèn)共有多少種不同的選法?
• 現(xiàn)有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?
• 六人站成一排，求
  ⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數(shù)
  ⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
• 對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
• 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種．
• 方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？
• 8人排成一隊(duì)
  ⑴甲乙必須相鄰
  ⑵甲乙不相鄰
  ⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰
  ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
  ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
• 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?
• 馬路上有編號(hào)為l，2，3，……，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
• 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?
• 正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?
• 1，2，3，……，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)?
• 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
• 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
• 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
• 10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法?
• 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，
  ⑴可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?
  ⑵可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)
  ⑶可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)?
• 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有多少種？
• 某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）
  ⑴圖中共有多少個(gè)矩形？
  ⑵從A點(diǎn)到B點(diǎn)最近的走法有多少種？
• 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同，有多少種填法？

答案

下一次再發(fā)


典型題目匯總

• 10名成績(jī)優(yōu)異者抽取3名代表學(xué)校參加市數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有幾種組合方式？
  C（10，3）種。按照定義，選出3個(gè)人排成一列有1098中方法，但由于組合不考慮順序，題目中元素之間是沒(méi)有區(qū)別的，排列數(shù)重復(fù)了3！次【甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙】，這是由選擇的人數(shù)排列決定重復(fù)多少次的，因此需要除以這個(gè)數(shù)。

• 我們假設(shè)一副撲克中抽出5張牌放在桌子，問(wèn)有多少種組合方式？
  這里考慮的就是組合，沒(méi)有排列。如果這5張牌已經(jīng)選出來(lái)，那么有多少種排列方法呢？5！個(gè)方法。但是組合不需要排列數(shù)，只要選出這5張的就可以算是一個(gè)組合了。所以在確定任意5張牌的時(shí)候是分步，把每一個(gè)位置都選好，才能選出5張，這是分步驟完成，一共有5251504948種排列，這是因?yàn)榭紤]了次序，必然重復(fù)選了相同的5張牌，那重復(fù)了多少次呢？就是這5個(gè)位置的排列數(shù)。除以它就得到了5張牌的組合數(shù)。

• 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有多少個(gè)？
  這是一個(gè)隱含排列組合的問(wèn)題。先轉(zhuǎn)化為排列組合的模型。什么是等差數(shù)列？滿足b-a=c-b的數(shù)列就是等差數(shù)列。得到2b=a+c，a和c同奇數(shù)或者同偶數(shù)，因?yàn)?b是偶數(shù)，兩數(shù)之和要得到偶數(shù)，兩數(shù)必然同奇數(shù)或者同偶數(shù)。1---20這個(gè)數(shù)列，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩組，每組內(nèi)取2個(gè)數(shù)排列（注意不是組合，因?yàn)榈炔顢?shù)列中1-3和3-1得到的數(shù)不一樣，順序影響等差數(shù)列），A（10，2）+A（10，2）得到組合數(shù)。

• 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從左下角到右上角有多少種不同的走法?
  分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入：
  （一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；
  （二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；
  （三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；
  從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)。
  ∴ 本題答案為：C（8,3）=56。

• 從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？
  分析：顯然本題應(yīng)分步解決。
  （一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；
  （二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。
  （三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；
  （四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。
  或分步
  ⑴從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6,1）=6種方法
  ⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C（5,2）=10種方法
  ⑶從兩雙中手套中分別各拿一只手套，有C（2,1）×C（2,1）=4種方法。
  同樣得出共⑴×⑵×⑶=240種。

• 身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比第二行的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為
  分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6,2）×C（4,2）×C（2,2）=90種。

• 停車(chē)場(chǎng)劃一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放，要求空車(chē)位連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種?
  分析：把空車(chē)位看成一個(gè)元素，和8輛車(chē)共九個(gè)元素排列，因而共有A（9,9）=362880種停車(chē)方法。

• 對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
  分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。
  第一步：第五次測(cè)試的有C（4,1）種可能；
  第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
  第三步：前四次有A（4,4）種可能。
  ∴ 共有576種可能。

• 福利彩票30選7，小劉以膽，3，10，17，16，以7，9，18，23為拖買(mǎi)彩票，花多少錢(qián)？一注2元，買(mǎi)以上膽拖的復(fù)式有多少錢(qián)？
  C（4，3）2元，有C（8，7）2元

• 甲乙丙丁四人傳球，第一次由甲傳給其余三人中任意一人，第二次由拿球人再傳其余三人中一人，傳4次球后，第4次仍傳給甲的方法有多少？
  （甲_ _ _ 甲）
  甲乙甲乙甲
  甲乙丙乙甲
  甲乙丁乙甲
  甲丙甲丙甲
  甲丙乙丙甲
  甲丙丁丙甲
  甲丁甲丁甲
  甲丁乙丁甲
  甲丁丙丁甲（甲_ _ _ 甲）
  枚舉法得到第一次和第三次都是一個(gè)人的情況，C（3，1）C（3，1）= 9
  如果第一次和第三次不是同一個(gè)人的情況：A（3，2）2 = 12
  中間環(huán)節(jié)的三個(gè)人，第一和第三兩個(gè)人是排列A（3，2）第二個(gè)人只有2種選擇，因?yàn)樗膫€(gè)人兩個(gè)人已經(jīng)組合排列出來(lái)了，還有1個(gè)沒(méi)選（可重復(fù)選，但是剛傳球的無(wú)法再傳，剛接球的無(wú)法再接，這一個(gè)有兩種情況甲和另一個(gè)未選的）

• 在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？
  分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類(lèi)的方法。
  第一類(lèi)：A在第一壟，B有3種選擇；
  第二類(lèi)：A在第二壟，B有2種選擇；
  第三類(lèi)：A在第三壟，B有1種選擇，
  同理A、B位置互換 ，共12種。

• 在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車(chē)工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車(chē)工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車(chē)工，問(wèn)共有多少種不同的選法?
  以兩個(gè)全能的工人為分類(lèi)的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。
  第一類(lèi)：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10種；
  第二類(lèi)：這兩個(gè)人都去當(dāng)車(chē)工，C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30種；
  第三類(lèi)：這兩人既不去當(dāng)鉗工，也不去當(dāng)車(chē)工C（5,4）×C（4,4）=5種。
  第四類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、一個(gè)去當(dāng)車(chē)工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80種；
  第五類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、另一個(gè)不去當(dāng)車(chē)工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20種；
  第六類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)車(chē)工、另一個(gè)不去當(dāng)鉗工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40種；
  因而共有185種。

• 現(xiàn)有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?
  分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，1，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類(lèi)。
  抽出的三數(shù)含0，含9，有32種方法；
  抽出的三數(shù)含0不含9，有24種方法；
  抽出的三數(shù)含9不含0，有72種方法；
  抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種方法。
  因此共有32+24+72+24=152種方法。

• 六人站成一排，求
  ⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數(shù)
  ⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
  分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計(jì)數(shù)
  第一步：排出首位和末尾、因?yàn)榧滓也辉谑孜缓湍┪?，那么首位和末尾?shí)在其它四位數(shù)選出兩位進(jìn)行排列、一共有A（4,2）=12種；
  第二步：由于六個(gè)元素中已經(jīng)有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進(jìn)行順序排列，
  共A（4,4）=24種；
  根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12×24=288種。
  ⑵第一類(lèi)：甲在排尾，乙在排頭，有A（4,4）種方法。
  第二類(lèi)：甲在排尾，乙不在排頭，有3×A（4,4）種方法。
  第三類(lèi)：乙在排頭，甲不在排尾，有3×A（4,4）種方法。
  第四類(lèi)：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有6×A（4,4）種方法（排除相鄰）。
  共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312種。

• 對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
  分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。
  第一步：第五次測(cè)試的有C（4,1）種可能；
  第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
  第三步：前四次有A（4,4）種可能。
  ∴ 共有576種可能。

• 8人排成一隊(duì)
  ⑴甲乙必須相鄰
  ⑵甲乙不相鄰
  ⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰
  ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
  ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
  分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁（甲乙可交換） 和7人排列A（7,7）×A（2，2）
  ⑵甲乙不相鄰，A（8,8）-A（7,7）×2?；駻（6,6）×A(7,2)
  ⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A（6,6）×2×2
  甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A（7,7）×2-A（6,6）×2×2
  ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A（6,6）×2×2
  ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A（8,8）-A（7,7）×2×2+A（6,6）×2×2

• 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?
  分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即A（5,2）。

• 馬路上有編號(hào)為l，2，3，……，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
  分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。∴ 共C（6,3）=20種方法。

• 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?
  分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。
  所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，
  ∴ 共76種。

• 正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?
  分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，
  ∴ 共C（8,4）-12=70-12=58個(gè)。

• 1，2，3，……，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)?
  分析：由于底數(shù)不能為1。
  ⑴當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。
  ⑵當(dāng)不選1時(shí)，從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共A（8,2）=56，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.
  因而一共有56-4+1=53個(gè)。

• 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
  分析：（一）首先不考慮男生的站位要求，共A（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024種
  若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。
  （二）按照插空的方式進(jìn)行思考。
  第一步：4個(gè)女生先在9個(gè)位置中選擇4個(gè)，為A(9,4)種方式；
  第二步：男生站剩下的位置，因?yàn)楸仨殢母叩桨捻樞?，沒(méi)有規(guī)定方向，所以有2種；
  綜上，總的站法數(shù)有A(9,4)×2=6048種。

• 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
  分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共A（5,5）=120種方法。
  而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共A（3,3）=6變化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20種。
  公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列（即排序）。（P是舊用法，教材上多用A，Arrangement)
  公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。

• 10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法?
  分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。

• 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，
  ⑴可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?
  ⑵可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)
  ⑶可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)?
  分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300個(gè)。
  ⑵分為兩類(lèi)：0在末位，則有A（5,3）=60種：0不在末位，則有C（2,1）×A（5,3）-C（2,1）×A（4,2）=96種。
  ∴ 共60+96=156種。
  ⑶先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選
  0，1，2，3
  0，1，3，5
  0，2，3，4
  0，3，4，5
  1，2，4，5
  它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96種。

• 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有多少種？
  分析：（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。其中涉及到平均分成四組，有C（5,3）=10種分組方法。可以看成4個(gè)板三個(gè)板不空的隔板法。（二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有A（4,4）=24種，由（一）（二）可知，共10×24=240種。

• 某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）
  ⑴圖中共有多少個(gè)矩形？
  ⑵從A點(diǎn)到B點(diǎn)最近的走法有多少種？
  分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線
  可組成1個(gè)矩形，故可組成矩形C（7,2）·C（5,2）=210個(gè)
  ⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從A到B最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法。

• 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同，有多少種填法？
  解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法

• 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少種
  由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類(lèi)：1）0排末尾時(shí)，有A42個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C21 A31A31個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A42 + C21 A31A31=30個(gè)

• 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種．
  解：在被取出的3臺(tái)中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)

• 有8本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本．若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種．(結(jié)果用數(shù)值表示)
  解：把3本數(shù)學(xué)書(shū)“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，2本外語(yǔ)書(shū)也“捆綁”在一起看成一本大書(shū)，與其它3本書(shū)一起看作5個(gè)元素，共有A55種排法；又3本數(shù)學(xué)書(shū)有A33種排法，2本外語(yǔ)書(shū)有A22種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法A55 A33 A22=1440(種)

• 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)
  解：由于要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個(gè)數(shù)字捆綁在一起形成一個(gè)大元素，這個(gè)大元素的內(nèi)部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內(nèi)部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個(gè)大元素，其內(nèi)部也有A22種排法，與數(shù)字3共計(jì)三個(gè)元素，先將這三個(gè)元素排好，共有A33種排法，再?gòu)那懊媾藕玫娜齻€(gè)元素形成的間隙及兩端共四個(gè)位置中任選兩個(gè)，把要求不相鄰的數(shù)字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數(shù)共有A22 A22 A33 A42＝288(種)．

• 方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？
  分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C113 .

• 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
  1.實(shí)際上,甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱,具有相同的排法數(shù).因而有P(6.6)/2=360種.
  2.先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位,因而前面的排法數(shù)重復(fù)了P(3.3)種,∴ 共P(6.6)/P(3.3)=120種.

• 公路一青蛙，跳一下1米，往后跳一下也是1米，動(dòng)了5次，進(jìn)了3米。不同的跳法？
  C（5，1）*C（4，4）

• 學(xué)校12名女生，4人一組有C（12，4）

• 將20個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？
  分析：本題中的小球大小形狀完全相同，故這些小球沒(méi)有區(qū)別，問(wèn)題等價(jià)于將小球分成三組，允許有若干組無(wú)元素，用隔板法.
  解析：將20個(gè)小球分成三組需要兩塊隔板，因?yàn)樵试S有盒子為空，不符合隔板法的原理，那就人為的再加上3個(gè)小球，保證每個(gè)盒子都至少分到一個(gè)小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每組中各去掉一個(gè)小球，即滿足了題設(shè)的要求）。然后就變成待分小球總數(shù)為23個(gè)，球中間有22個(gè)空檔，需要在這22個(gè)空檔里加入2個(gè)隔板來(lái)分隔為3份，共有C（22，2）=231種不同的方法.
  點(diǎn)評(píng)：對(duì)n件相同物品（或名額）分給m個(gè)人（或位置），允許若干個(gè)人（或位置）為空的問(wèn)題,可以看成將這n件物品分成m組，允許若干組為空的問(wèn)題.將n件物品分成m組，需要m-1塊隔板，將這n件物品和m-1塊隔板排成一排，占n+m-1位置，從這n+m-1個(gè)位置中選m-1個(gè)位置放隔板，因隔板無(wú)差別，故隔板之間無(wú)序，是組合問(wèn)題，故隔板有Cn+m-1 m-1種不同的方法，再將物品放入其余位置，因物品相同無(wú)差別，故物品之間無(wú)順序，是組合問(wèn)題，只有1種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1種排法
  水果分籃問(wèn)題編輯

• 有廣西橘子，煙臺(tái)蘋(píng)果，萊陽(yáng)梨若干，從中隨意取出四個(gè)，問(wèn)共有多少種不同取法？
  問(wèn)題等價(jià)于有四個(gè)水果籃，將其分為三組向里面加入不同水果，且允許籃子為空
  分為三組需要2個(gè)隔板，將水果籃與隔板并排 ，隔板共有4+2個(gè)放置位置，故有C（4+2），2個(gè)選擇，
  即15種。[1]
  每人（或位置）必須有物品問(wèn)題編輯

• 將20個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額分給18個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，有多少種不同的分配方法？
  分析：本題是名額分配問(wèn)題，用隔板法.
  解析：將20個(gè)名額分配給18個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，相當(dāng)于將20個(gè)相同的小球分成18組，每組至少1個(gè)，將20個(gè)相同的小球分成18組，需要17塊隔板，先將20個(gè)小球排成一排，因小球相同，故小球之間無(wú)順序，是組合，只有1種排法，再在20個(gè)小球之間的19個(gè)空檔中，選取17個(gè)位置放隔板，因隔板無(wú)差別，故隔板之間無(wú)序，是組合問(wèn)題，故隔板有C19 17種不同的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有C19 17種不同的方法，因17塊隔板將20個(gè)小球分成18組，從左到右可以看成每班所得的名額數(shù)，每一種隔板與小球的排法對(duì)應(yīng)于一種分法，故有Cm-1 n-1種分法.
  對(duì)相同物品分配問(wèn)題，注意某若干組能否為空，能為空和不能為不空，方法不同，要體會(huì)和掌握.