優秀應用算法都大量用到位運算，而位運算在工作中很少用到，大多數教材只會教大家二進制和十進制如何互換，都是死記硬背式的，并沒有去講解真正含義，換一個進制之后,依然不會，我們回到最根本的一些計數方法上，從10進制來推算，希望用一種更簡單的方式介紹其原理。

我們來看上一篇的一個Varint算法，這個算法的目的是為了令一個整型占用更少的字節，比如小于127的數字，只需占用一個字節即可，小于16384的數字，采用2個字節即可。算法如下：

我們來看看具體圖例:

我們看到在小于2097153期間，占用空間會小于4個字節，這個優勢還比較明顯，不過也有弊端，比如超過268435456之后會有占用5個字節，考慮到大多數情況下，并不會應用到這么大的數字，優化空間方面還是不錯的。

通過上述算法實現，我發現優秀的應用算法都會大量用到了位運算，而位運算在工作中卻很少用到。位運算速度要快于整數運算的，特別是整數乘法，需要10個或者更多個時鐘，若果采用移位操作一個或者2個時鐘就夠了，不過由于我們常采用十進制來進行算術運算，對二進制的位運算不夠熟悉，閱讀起來會比較耗費精力，所以借助上述算法實現，我們分析一下位運算的優勢以及應用，從而更好的理解二進制。上述代碼中，有運用到移位操作，位運算，字節序等相關知識點，我們一一分析。

進位制

我們知道，計算機的存儲和處理的信息都是以二進制的，雖然在編寫程序的期間數運算還是采用10進制表示，但到機器執行的時候，還會以2進制來進行處理。對于有10個指頭的人來說，熟知10進制是很自然的事情，你看教小孩子數學的時候，都是先從數指頭開始的，那么若是我們只有2個指頭，是不是我們現在會更好理解二進制了？

其他進制轉換10進制

大多數教材會教大家二進制和十進制如何互換，但多數說都是死記硬背式的，并沒有去講解真正含義，換一個進制之后,依然不會，我們回到最根本的一些計數方法上，從10進制來推算。比如我們看一個數字1001，采用十進制表示是:1x10^3+0*10^2+0*10^1+1*10^0。首先從右往左，我們可以看成是從低位到高位，每高一位，指數+1，其次10進制是以10為底數，其三這個公式是采用10進制算術進行計算的（用什么進制算出答案就相當于把當前進制轉換為了什么進制了）。這個方式適合所有的進制轉換，理解了這個，后續的進制轉換都會很容易理解。

2進制的比較簡單，我們直接忽略，我們來看下應用到3進制，同樣是1001，轉換10進制公式:1x3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0=28，我們發現只是底數改變，因為是3進制，所以以3為底數，另外計算方式還是采用10進制算式計算，這表明用10進制算出的答案，就相當于3進制轉換為10進制，1001轉換為10進制就是28。

那為何不采用其他進制來計算？采用其他進制計算，那么其他進制的乘法口訣你的熟練一遍了，比如10進制的99乘法口訣，你用其他進制的乘法口訣得自己來演繹一遍了，如此這個和我們的常用習慣有些相駁，換算起來會比較慢，所以一般采用十進制與其它進制互轉或者作為中間步驟來處理。

10進制轉換為其他進制

采用上述方法后，我們已經可以做到所有進制轉換，包括10進制轉3進制，比如十進制28轉換為3進制28=2*3+22,這個采用3進制（3的三進制表示10）來進行計算，但是會很麻煩。所以10進制轉換其他進制，我們常采用短除法，如下:

當前數不斷除以3并把余數作為新的最高位，28除以3余1，1為“個位”，9除以3余0，0為“十位”，3除以3余0，0為“百位”，最終的1是“千位”。如果我們有注意到前面的3進制轉10進制算法，我們可以發現短除法其實是3進制轉10進制的逆操作，比如3進制轉換為十進制時候是：1*3^3+0*3^2+0*3^1+1*3^0? ，我們轉換一下是((1*3+0)*3+0)*3+1，如此和10進制轉換3進制的時候逆向操作。

小數

如果前面的理解了，小數就可以很容易理解了，我們還是先從10進制來看。比如十進制12.34，我們看小數后面十分位部分.3，表示把1分為10份只取3份，.04百分位部分是把1分為100份，取4份。那么我們換成公式:

我們看到小數部分還是以進制為底數，不過指數部分采用了負數，點的左邊的位的指數是位的正冪，點數的右邊是位的指數負冪。理解了這個，其他進制的小數部分也就了解， 它們是相同的，比如二進制1001.101：

有了這個理解，我們后續的浮點數就比較好理解了，IEEE浮點表示浮點數，也是基于這種方式，只是定義了些規范，后續我們會詳細了解。

移位操作

常見的移位操作有三種:左移，邏輯右移，算術右移。

移動操作

左移

x向左移動k位，會丟棄最高的k位，并在右端補k個0，也就是常說的當前值乘以2的k次方。為何是乘以2的k次方？我們看10進制的時候，某數乘以10，就是在末尾增加1個0 ，由此我們可以聯想到，二進制左移一位（末尾加一個0）相當于乘以2，這個結論普遍存在于所有進位制中：k進制數的末尾加個0，相當于該數乘以k。

我們從圖中可以看到，左移動一位，就相當于進位制展開式的每個指數都加1，如此移動一位，就相當于當前數（1*2^5+1*2^1+!*2^0）*2^1=1*2^6+1*2^2+1*2^1

右移

理解了左移的原理，右移動的原理也是相同的，右移k位=進位制展開式的每個指數都減k，也就是當前數除以進制的k次方。唯一不同的是分為邏輯右移和算術右移。

邏輯右移就是無符號移位，右移幾位，就在左端補幾個0，比如上邊?Varint中每次右移7位，相應的當前數高位就會補充7個0。

算術右移動是有符號移位，和邏輯右移不同的是，算術右移是在左端補k個最高有效位的值，如此看著有些奇特，但對有符號整數數據的運算非常有用。我們知道有符號的數，首位字節，是用來表示數字的正負。負數采用補碼形式來存儲，比如[11100110]，10進制是-26，算術右移1位之后[11110011],10進制是-13,如若不是補最高有效位的值1而是補做事0的話，右移之后就變成正數了。

字節序

單個字節并沒有字節序的問題，當一個數據需要多個字節存儲的時候，就會牽扯到這樣的問題，這個數據的地址是什么，存儲器中如何排列這些字節，是高位地址存最高有效位，還是低位地址存最高有效位。

比如一個int類型的變量，它的地址是使用字節中最小的地址，比如在存儲器上的位置是0x101、0x102、0x103，它的地址是0x101，若是這個數據是一個w位的整數，位表示為[x(w-1),x(w-2)....,x1,x0],那么其中x(w-1)是最高有效位，x0是最低有效位，w若是8的倍數，位被分組成字節，那么最高有效字節是[x(w-1)...x(w-8)],最低有效字節是[x7,x6...x0]。這個也可以成為物理順序，和我們普通人理解的存儲順序預期相符合，比如十進制也是高位（百位，10位）在地位（個位）前面。

小端法（little endian）

如果字節的邏輯順序與物理順序相反，也就是w的最低有效字節在前面[x7,x6....x0]，最高有效字節[x(w-1)...x(w-8)]在后面，此時成為小端法（little endian)。多數intel兼容機都采用這種規則。

大端法（big endian）

如果字節的邏輯順序與物理順序相同，也就是w的最低有效字節[x(w-1)...x(w-8)]在前面，最高有效字節[x7,x6....x0]在后面，稱為大端法（big endian），大多數IBM和Su你Microsystems的機器都是采用這種規則。

比如一個十六進制數:0x01234567,我們用大端小端法看他們在存儲器上的位置。

我們可以看到大端法是比較符合我們習慣的，高位在前地位在后。

上述Varint的算法，是采用小端法來存儲字節順序的。

每次都是獲取當前數據的后7個字節存儲到數據流buffer里面，也就是低位字節放在buffer字節數組的前面。

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