應(yīng)用：二維離散傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)至頻域，在圖像增強、圖像去噪、圖像邊緣檢測、圖像特征提取、圖像壓縮等等應(yīng)用中都起著極其重要的作用。
理論基礎(chǔ)：任意函數(shù)都可以表示成正弦函數(shù)的線性組合的形式。
二維離散傅里葉變換公式如下：
式中 f(x,y) 代表一幅大小為 M x N 的矩陣，其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 ，F(u,v) 表示 f(x,y) 的傅里葉變換。可以轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)表示方法，其中 u 和 v 可用于確定正余弦的頻率。 F(u,v) 所在坐標系被稱為頻域，由 u = 0,1,2,···,M-1 和 v = 0,1,2,···,N-1 定義的 M x N 矩陣常稱為頻域矩陣。f(x,y) 所在坐標系被稱為空間域， 由 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 所定義的 M x N 矩陣常被稱為空間域矩陣。顯然頻域矩陣的大小與原空間域矩陣大小相同。
頻域矩陣中每個點的都代表了一個頻率為 u，v 的函數(shù)，這些函數(shù)在空間域的組合即為原函數(shù) f(x,y)。
二維離散傅里葉逆變換公式如下：
其中 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1。因此，給定 F(u,v) 就可以通過逆 DFT 得到 f(x,y)。
在頻域原點處的值 F(0,0) 被稱為傅里葉變換的直流（dc）分量，該術(shù)語源自電氣工程學(xué)，意指直流電（頻率為 0 的電流）。F(0,0) 等于 f(x,y) 的平均值的 MN 倍。
即使 f(x,y) 是實數(shù)，F(xiàn)(u,v) 通常也是復(fù)數(shù)。直觀的分析一個變換的主要方法是計算它的頻譜 [F(u,v) 的幅度] ，并將其顯示為一幅圖像。令 R(u,v) 和 I(u,c) 分別表示 F(u,v) 的實部和虛部，則傅里葉頻譜定義為：
變換的相位角定義：
指數(shù)表示：
功率譜定義：
通過二維離散傅里葉變換公式可以看出，若 f(x,y) 是實數(shù)，那么其傅里葉變換 F(u,v) 關(guān)于原點共軛對稱：
那么傅里葉變換幅值原點對稱：
可得 DFT 周期性：
DFT 在u，v 方向上都是無窮的，周期由M和N決定。
可得 DFT 逆變換周期性：
傅里葉逆變換得到的圖像也是周期無窮的。理論上的無窮，但在實際變換實現(xiàn)中，只需要計算一個周期矩陣即可。
注意：在計算出的二維頻率矩陣后，通常為了簡化頻譜的視覺分析，會將原點的變換值移動到頻率矩形的中心，在二維傅里葉變換之前對f(x,y) 乘以(-1)的 x+y 次方可以完成該變換。在實際處理中，只需要對生成的頻率矩陣以中心（M/2,N/2）進行對角矩陣的交換即可。
在編程中的實踐具體請看我在簡書的另一篇文章《與OpenCV的第十天》
