無邊的奇跡源自簡單規(guī)則的無限重復(fù)。——benoit mondelbrot
人類的理性的認知范圍總是在不斷擴大，從離散數(shù)學(xué)到無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機，再到復(fù)數(shù)的引入進一步擴大了數(shù)系。以前人們對于維度的認識也是限于整數(shù)維度的（這有點像之前畢達哥拉斯學(xué)派對于整數(shù)的堅持），超立方體的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)家對高維坐標的構(gòu)造，都是限于離散維度的。分形的出現(xiàn)，引入了豪斯道夫維度（即分數(shù)維度）來描述其特殊的存在維度，一下子讓人類對維度的認知進入了另一個層次——即維度是連續(xù)的而非離散的。
豪斯道夫維度的引入最初見于一個處處不可導(dǎo)的曲線的構(gòu)造和三分康托集。康托構(gòu)造了這樣的一個集合：對于一條長度為一的線段，將其等份成三分，舍去中間的一份，再對剩下的兩份進行相同的操作無限次，最終相當于得到了一個離散的點集，即康托集。雖說經(jīng)無數(shù)次操作相當于一個離散點集，但說其為點集又有點過。豪斯道夫維度可以描述經(jīng)無數(shù)次操作得到的集合的維度。例正方體的邊長之比為1:x，體積之比為1:x^3，其豪斯道夫維度為3，也是三維。對于康托集的維度計算，一個康托集包含兩個子集，相似比為1:3，則其豪斯道夫維度為log3 （2），是介于點和線之間的維度。
引入豪斯道夫維度來描述分形圖形的維度，因為分形的構(gòu)造是經(jīng)無數(shù)次簡單規(guī)則迭代形成，一般的分形圖形的維度介于整數(shù)維度之間。分形圖形打破了傳統(tǒng)的維度觀。正是因為經(jīng)過無數(shù)次相同的操作，使分形圖形具有自相似性。這種分數(shù)維度的形成也是因為其自相似比與其所占空間比的關(guān)系不為整數(shù)。
自相似，即圖形的每一部分與原圖相似，無限放大均是與原圖相似的。一個很美的分形圖形，科赫雪花便很好的展現(xiàn)了這種自相似性。其構(gòu)造方式如下：對于一個等邊三角形的每一條邊三等分，將中間的一邊換成等長的兩邊，再對每一條邊進行相同的操作無限多次，即可得到科赫雪花。對于每一條邊，包含4個科赫曲線，相似比為1:3，科赫雪花的豪斯道夫維度為log3 （4），介于一維和二維之間。每一條科赫曲線的每一條小邊又是另一條科赫曲線。這是自相似性的體現(xiàn)。
正是這種因無限次相同操作引起的自相似性，引發(fā)了一場不僅在數(shù)學(xué)界的革新，還在現(xiàn)代哲學(xué)的世界觀和方法論上的革新。這種自相似性與老子的“人法地，地法天，天法道，道法自然”和萊布尼茲的“單子”相似。這種自相似性，給出了一種從局部感知整體的思想，給出了人類感知無限的可能。
分形的另一美麗之處即為有限與無限的結(jié)合。再接著說科赫曲線吧，每一次操作，一個科赫曲線包含4個科赫曲線，長度變?yōu)?／3，則每一次操作之后，長度增加4／3，進行無限次操作之后長度增加（4/3）^n，這是一個趨近正無窮的數(shù)，即無數(shù)次操作之后，長度變?yōu)檎裏o窮。但是科赫雪花的面積收斂到4/5 － 4/5 ＊ （4/9）^n，趨近于4/5，是一塊有限的面積，這是有限的面積和無限的長度的結(jié)合。這種有限與無限的結(jié)合，有違常理，卻又客觀存在。曼德爾布羅特提出分形這一課題時的論文《英國的海岸線有無限長》 ，英國的面積有限，卻擁有無限長的海岸線，現(xiàn)在測量海岸線也是一個難題。又如人體表面積的測量，人體表面介于二維和三維之間。英國海岸線的豪斯道夫維度為1。26，介于一維和二維之間。這種在低緯度無限，高維度有限的存在，連接了有限和無限。這又是分形引發(fā)的另一個革新。
分形的另一美麗之處便是結(jié)合了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合與極限思想。分形的皇冠當屬是曼特爾布羅特集。對于復(fù)數(shù)函數(shù)f（x）＝ x ^ 2 ＋ c，
c取不同的復(fù)數(shù)，關(guān)于x的函數(shù)都有在一定范圍內(nèi)的x的取值使f（x）迭代無數(shù)次的值約束在一定范圍內(nèi)。對于滿足條件的的復(fù)數(shù)c的取值即為曼特爾布羅特集。在復(fù)平面上表示曼特爾布羅特集，將得到一個美麗的分形圖形。其構(gòu)造，通過迭代無數(shù)次，使函數(shù)值約束在有限范圍內(nèi)，結(jié)合了有限與無限；在復(fù)平面可以表示集合元素的取值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。無論從哪個方面來看都是美麗的。曼特爾布羅特集的局部放大圖曾被用于制作一串鉆石項鏈，但我并不想用應(yīng)用來修飾其美麗，我僅想用純數(shù)學(xué)的方式來描述它的美麗：令fc（x）＝ x ^ 2 + c, {c | lim fc^n(0) /=? 無窮} （原諒QQ沒有公式編輯器 QAQ）。曼特爾布羅特集僅由簡單的函數(shù)迭代形成，一個簡單的操作進行無限多次形成美麗的分形圖形。其發(fā)現(xiàn)者曼特爾布羅特曾說過：無邊的奇跡源自簡單規(guī)則的無限重復(fù)。正如天文學(xué)不止是一堆望遠鏡，數(shù)學(xué)不只是一堆公式。
我一直認為數(shù)學(xué)中，科學(xué)中，哲學(xué)中的一些思想是相通的，正如同之前我認為對稱思想的美麗，分形的自相似性也將作為另一個基本思想，它將提供一種以小觀大的可能，但又無法完全的在低維觀察全局。我也一直認為無限是一種很奇特的思想，以前有一位物理學(xué)家說過這么一句話“當物理學(xué)家研究到最后，就會發(fā)現(xiàn)研究相對論和量子力學(xué)得到的是同一個東西”。前者研究宏觀，后者研究微觀，一個是極大，一個是極小，無限之美。人類對于宇宙的探索的廣度還在擴大，粒子的微小也還在突破，創(chuàng)生之柱與下夸克一樣揭示著同一真理。分形統(tǒng)一了有限和無限，并以其自相似性給我們無限的暗示。分形提出較晚，于上世紀初才提出，但是這一課題將為我們的理性探索本源的一些東西提供另一種思想。
期待進一步發(fā)展的分形帶給人類的革新。
——寫于高三
