遞歸和迭代的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵需要明確哪些是遞歸的冗余數(shù)據(jù)，也就說哪些是迭代可以重復(fù)利用數(shù)據(jù)。下面具體分析。
給不同的coin分配索引
(define (first-denomination kinds-of-coins)
(cond ((= kinds-of-coins 1) 1)
((= kinds-of-coins 2) 5)
((= kinds-of-coins 3) 10)
((= kinds-of-coins 4) 25)
((= kinds-of-coins 5) 50)))
遞歸的思路
將總數(shù)為a的現(xiàn)金換成n種硬幣的不同方式的數(shù)目等于
- 將現(xiàn)金a換成除第一種硬幣以外的其他硬幣的不同方式，加上2
- 將現(xiàn)金a－d換成所有種類硬幣的不同方式。其中d為第一種硬幣的面值。
可以寫遞歸公式
Ct(N) = Ct(N-first-denomination(t)) + Ct-1(N)
t(下標(biāo))為幾種硬幣，N為現(xiàn)金數(shù)。例如：t為5，N為100美分，所以總數(shù)目=(將100美分換成1,5,10,25這四種硬幣組成方法數(shù))+(將100-50美分換成1,5,10,25,50這五種硬幣組成的方法數(shù))
通過公式進(jìn)行初步運算，漸漸會發(fā)現(xiàn)冗余數(shù)據(jù)(重復(fù)利用的數(shù)據(jù))
C5(100)=C4(100)+C5(50)
C4(100)==C3(100)+C4(75)
C3(100)=C2(100)+C3(90)
C2(100)=C1(100)+C2(95)
C2(95)=C1(95)+C2(90)
C2(90)=C1(90)+C2(85)
C2(85)=C1(85)+C2(80)
C2(80)=C1(80)+C2(75)
C2(75)=C1(75)+C2(70)
...
# C2(90) 重復(fù)
C3(90)=C2(90)+C3(80)
# C2(80) 重復(fù)
C3(80)=C2(80)+C3(70)
# C2(70) 重復(fù)
C3(70)=C2(70)+C3(60)
...
C4(75)=C3(75)+C4(50)
C3(75)=C2(75)+C3(65)
...
C4(50)=C3(50)+C4(25)
...
C5(50)=C4(50)+C5(0)
C5(50)=C4(50)+C5(0)
...
上面可能不太直觀
C2(4) = C1(4) + C2(-1)
C2(5) = C1(5) + C2(0)
C2(6) = C1(6) + C2(1)
C2(7) = C1(7) + C2(2)
C2(8) = C1(8) + C2(3)
C2(9) = C1(9) + C2(4) //出現(xiàn)重復(fù)利用值C2(4) 間隔為5
C2(10) = C1(10) + C2(5) //出現(xiàn)重復(fù)利用值C2(5) 間隔為5
C2(11) = C1(11) + C2(6)
C2(12) = C1(12) + C2(7)
C2(13) = C1(13) + C2(8)
C2(14) = C1(14) + C2(9)
C2(15) = C1(15) + C2(10)
C2(16) = C1(16) + C2(11)
C3(4) = C2(4) + C3(-6)
C3(5) = C2(5) + C3(-5)
C3(6) = C2(6) + C3(-4)
C3(7) = C2(7) + C3(-3)
C3(8) = C2(8) + C3(-2)
C3(9) = C2(9) + C3(-1)
C3(10) = C2(10) + C3(0)
C3(11) = C2(11) + C3(1)
C3(12) = C2(12) + C3(2)
C3(13) = C2(13) + C3(3)
C3(14) = C2(14) + C3(4) //出現(xiàn)重復(fù)利用值C3(4) 間隔為10
C3(15) = C2(15) + C3(5) //出現(xiàn)重復(fù)利用值C3(5) 間隔為10
C3(16) = C2(16) + C3(6)
所以對于C2來說，始終需要緩存5個可以重復(fù)利用值(長度為5的緩存隊列);對于C3，始終需要緩存10個可以重復(fù)利用值(長度為10的緩存隊列);對于C4，使用需要緩存25個(...);對于C5來說，使用需要緩存50個可以重復(fù)利用值(...)
迭代思路
- 迭代是線性O(shè)(n)時間+常量空間消耗(不會隨n改變)
- 迭代需要重復(fù)利用遞歸產(chǎn)生的冗余數(shù)據(jù).
- 迭代的狀態(tài)能由這些變量完全刻畫
假設(shè)有5種硬幣，現(xiàn)金100美分
C 源碼
/*
* =====================================================================================
*
* Filename: p26.c
*
* Description: change money
*
* Version: 1.0
* Created: 2016/08/02 14時58分22秒
* Revision: none
* Compiler: gcc
*
* Author: jmpews (jmpews.github.io), jmpews@gmail.com
*
* =====================================================================================
*/
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int count_change(int amount);
int cc(int amount, int kinds_of_coins);
void count_iter(int *tmp, int t, int amount);
int get_coin(int index_of_coin);
int get_index_tmp(int index_of_coin);
int *get_tmp_array(int kinds_of_coins);
int get_recycle_value(int index_of_coin, int current_amount, int *tmp_array);
void update_recycle_value(int index_of_coin, int *tmp_array, int value);
int main ( int argc, char *argv[] )
{
int t;
t = count_change(100);
printf("%d", t);
return EXIT_SUCCESS;
} /* ---------- end of function main ---------- */
int count_change(int amount) {
cc(amount, 5);
return 0;
}
int cc(int amount, int kinds_of_coins) {
int *tmp = get_tmp_array(kinds_of_coins);
int t = 0;
tmp[0] = 0;
count_iter(tmp, t, amount);
return 0;
}
// 這里這里也是關(guān)鍵點，這個尾遞歸的結(jié)束由t(當(dāng)前需要兌換的金錢)和amount(需要兌換的目標(biāo)金錢)控制，為線性，也就是說時間復(fù)雜度為O(n)
void count_iter(int *tmp, int t, int amount) {
int r;
r = get_recycle_value(1, t, tmp);
update_recycle_value(1, tmp, r);
//C2(t) = C2(t-get_coin(2)) + C1(t)
r = get_recycle_value(2, t, tmp) + r;
update_recycle_value(2, tmp, r);
//C3(t) = C3(t-get_coin(3)) + C2(t)
r = get_recycle_value(3, t, tmp) + r;
update_recycle_value(3, tmp, r);
//C4(t) = C4(t-get_coin(4)) + C3(t)
r= get_recycle_value(4, t, tmp) + r;
update_recycle_value(4, tmp, r);
//C5(t) = C5(t-get_coin(5)) + C4(t)
r = get_recycle_value(5, t, tmp) + r;
if(t == amount) {
printf("final-value: %d\n", r);
exit(1);
}
update_recycle_value(5, tmp, r);
count_iter(tmp, t+1, amount);
}
int get_coin(int index_of_coin) {
switch(index_of_coin) {
case 1: return 1;
case 2: return 5;
case 3: return 10;
case 4: return 25;
case 5: return 50;
default: exit(1);
}
}
// 對于C1、C2、C3、C4、C5緩存隊列開始的位置
int get_index_tmp(int index_of_coin) {
switch(index_of_coin) {
case 1: return 0;
case 2: return 1;
case 3: return 6;
case 4: return 16;
case 5: return 41;
default: exit(1);
}
}
// 分配固定的緩存, 無論需要兌換多少金錢，只要金幣種類不變，緩存的大小就是固定的。 空間復(fù)雜度為常量。
// "因為它的狀態(tài)能由其中的三個狀態(tài)變量完全刻畫，解釋器在執(zhí)行 這一計算過程時，只需要保存這三個變量的軌跡就足夠了" 這句話在這里就有體現(xiàn)了
int *get_tmp_array(int kinds_of_coins) {
int *tmp;
int i;
int sum = 0;
for(i=1 ; i<kinds_of_coins ; i++) {
sum += get_coin(i);
}
tmp = (int *)malloc(sizeof(int) * sum);
memset(tmp, 0 ,sizeof(int) * sum);
return tmp;
}
// 獲取重復(fù)利用值, 每次緩存隊列頭的位置
// 比如: 此時緩存隊列為[C2(0), C2(1), C2(2), C2(3), C2(4)]
// C2(5) = C1(5) + C2(0) 此時我們需要取緩存隊列頭的值C2(0)
// 計算完得到C2(5)，需要執(zhí)行update_recycle_value將得到C2(5)進(jìn)隊列，除去舊的C2(0)，此時隊列頭尾C2(1)，即為計算C2(6)需要的緩存值
int get_recycle_value(int index_of_coin, int current_amount, int *tmp_array) {
int t = get_index_tmp(index_of_coin);
if(current_amount < get_coin(index_of_coin)){
return 0;
}
else if(current_amount == get_coin(index_of_coin)){
return 1;
}
else {
return tmp_array[t];
}
}
// 更新重復(fù)利用值(隊列的概念), 計算出最新的值，需要替換舊的利用值
// 比如: C2(5) = C1(5) + C2(0)
// 現(xiàn)在C2緩存隊列中有[C2(0), C2(1), C2(2), C2(3), C2(4)]，我們需要將C2(5)進(jìn)隊列，[C2(1), C2(2), C2(3), C2(4), C2(5)]
void update_recycle_value(int index_of_coin, int *tmp_array, int value) {
int i;
int t = get_index_tmp(index_of_coin);
for(i = 0; i< (get_coin(index_of_coin)-1); i++) {
tmp_array[t+i] = tmp_array[t+i+1];
}
tmp_array[t+get_coin(index_of_coin)-1] = value;
}
參考
http://stackoverflow.com/questions/1485022/sicp-making-change/
