時鐘與追及問題

我在假期做第五套試卷的時候，遇到了一道我在以前實質上理解錯了的題，時鐘問題。

例題：某人在17點多鐘外出買東西，看鐘表上的時針和分針的夾角是110°，在將近18點回家時，發現時針和分針的來角又是110°，問此人外出用了（? ? ）分鐘。

我開始和以前一樣用兩種方法：1.看表然后假設出結果。2、精確畫表然后假設出結果。但，這也就注定了結果中的僥幸成分。所以我問媽媽，媽媽教我了一種方法，就是把鐘表問題看成特別的追及問題。比如我們可以列出前面題目的等式，也就是設經過時間為t分鐘，并算出時針的速度0.5°/min，分針速度6°/min。所以我們可以得到等式

0.5t+110x2=6t

220=5.5t

t=40

這使我明白了鐘表問題就是變種的追及問題【等價的追及問題：360m的跑道，甲6m/min，乙0.5m/min。一開始甲落后乙110m，后超過乙110m。問甲用了多長時間？】，只是單位不同罷了。何以見得？因為他們的方向都是同向，并且追及問題速度快比慢的要多跑幾個總路程。

然后便是改題了。我們可以分兩種等級來改。首先初級，單純的改數字。比如把夾角110°改成165°，等等......相當于重新算一便，沒有什么可說的。其次，高級，也就是第二種：改一個題，改題意，但還是鐘表問題，比如：

小明中午12點出門，時針與分針正好重合。當他回家時，時針與分針正好又重合了四次。問：小明出去了多久？

最后就是解我出的題了。首先設時間為t分鐘。

360×4+0.5t=6t

1440=5.5t

t=2880/11 分鐘

總結：遇到一道不會的題，1.先問會了題 2.寫錯題分析 3.改題 4.回答改題。

這便是我如何改一道題。

追及與相遇

前面說的是相同方向的追及問題。而說完了追及，就該說相遇問題了。比如試卷4的一大題的6小題：

甲、乙兩車分別從A,B兩地同時出發，相對而行，4小時后二車相遇。相遇后二車按各自的速度繼續向前行駛了3小時，這時甲車距離B地還有135km,乙車距離A地還有30km。乙車比甲車每小時多行（? ? ）km.

這道題我看到后第一反應還是一樣，不懂，沒有思路。我問了我爸，會了這道題。

我爸爸教我先列出等量關系式。意思就是說所有的量都先設成未知數，然后列等式來算。方程也好，混和算式也好，總之就可以算出來了。我是這么列的算式：

設甲的速度為x（km/h），乙的速度為y（km/h），A一B的路程為R（km）,可列關系式兩個。

7x=R-135，7y=R-30，求y-x。

7y-7x = (R-30)-(R-135)

7(y-x) = R-30-R+135

y-x = (135-30)÷7 = 15

從前面我們就可以得出答案，乙車比甲車每小時多行15km。這個沒有錯題原因，因為我不知道如何去表達沒思路。

然后便是改編題了。我們直接改題意不改架構：

甲車和乙車兩車分別從A、B二地出發，相向而行。甲的速度為48km/h，乙的速度為64km/h。當甲車行駛至離中點1/20時（不是過中點，是差中點），乙距甲24km。

問：總路程是多少km?

我們可以解了

解：設甲車行至離中點1/20時用了t小時，總路程為R。

48t = 9R/20

48t + 64t = R + 24? ? ==>? ? 112t = R + 24? ? ==>? ? 48t =? (R + 24) x 48 ÷ 112

所以? 9R / 20 = 48 (R + 24) / 112 = 3(R + 24) / 7

(9/20 - 3/7) R = 3 x 24 / 7

3 x R / 140 = 3 x 24 / 7

R / 20 = 24

R = 480

其實我都不需要寫二元的，因為第一步就已經可以做代入消元了。我走了二元的過場只是為了清晰明了一些。

這便是我如何改編一道題。

我出一道題：

二人跑圈，甲跑的速度與乙速比是6:5，當甲跑了30min后，甲領先乙一圈。甲速度為6m/s。

問：總路程？

還有一關聯性沒有那么強的，也就是在直線上追人。如：

甲乙二人同時出發跑步，甲跑至全程2/3時，乙跑的與未跑的比為3:1。甲乙相人距12km。

問：路多長？

這便是關聯性。追及與相遇的區別在于如果要求總路程，相遇是路程相加，追及是路程相減。

商場打折問題

關于打折問題。首失，我先列舉一道題：

哥哥想買標價為260元的旅游鞋。A商場按每滿100元減40元的的方式銷售，B商場按“折上折”的方式銷售，先打八折，在此基礎上再打九折。哥哥想買的這雙旅游鞋在A,B兩家商場的實際售價各是多少元？

這個是比較簡單的。A商場就是260里的200打六折，乘以(100 - 40)%。便是200×60%+60=180（元）。B商場的是“折上折”，0.8×0.9=0.72，B商場實際售價260×0.72=187.2（元）。

主要讓我無法理解的題是這一類，我有時明知道該怎么作做，但又講不出原理：

六一兒童節到了，小明學習機，他發現熙地港和漢神購物廣場的這款學習機定價相同，且都在進行優惠活動，熙地港的優惠方案是：“先打八折，再優惠100元。”漢神的優惠方法是：“先降價100元，再打八折。”那么兩個商場對這款學習機的優惠相差（? ? ）元。

我還是和以往一樣，特例和空著。但，明顯不行。我們需要普遍式子。

我們設學習機為x元，相差y元。我們可以先看一下哪個商場貴，哪個便宜。因為貴減便宜。熙地港：0.8x-100。漢神購物：0.8(x-100)=0.8x-80。我們得知，漢神貴。我們可以得出來，

0.8x-100=0.8x-80-y

0.8x-20=0.8x-y

y=20

也就是說，商場問題的核心是用原價來表示優惠價。方程思想，用x或其他字母替代未知數并代入等式來解。

然后便是改編。我們用第二種改編法（具體看前文）:

有二商場，賣定價相同的一樣東西。甲商做“折上折”優惠，打五折基礎上再打二折。乙商是：滿100減90元。已知定價超過100元，且不是整數。

問：誰便宜？

解：設定價為X元（X>100)

甲售價：X × 0.5?× 0.2 = 0.1X

乙售價：(X - 100) + 10

答：甲便宜，因為甲是一折，乙是原價減100再加100的一折

商場問題3：我們還可以出一種不知道原價的題：

某衣服按成本40%的利潤定價，后又按九五折出售，此時每件可獲利了330元.

問：衣服成本。

我們設成本為X元

X+330=(140%x0.95) x X

X=1000

可能有人就要問了：不是設定價嗎？前面不應該是定價的40%嗎？不是。這個是需要注意的，不是定價的40%，而是成本價的40%。

二元一次方程

我發現，前面好多題都在用二元一次方程。那，我們今天就來說一下二元一次方程吧。

首先，我們先看一下需要用到二元一次方程題的流程吧。首失便是找出題目中的等量關系式，其次便是列方程了。列方程我們先要定義二元一次方程。要定義二元一次方程，我們先得看如何定義一元一次方程。我們先舉特例：3x-4=0，2x-1=0，3x-1=0，x+2=0。于是我們們可以得出來這樣一個普遍例子

AX+B=0

A是系數，B是常數，X是未知數。

我們可以總結一元一次方程的定義：一個帶有一個未知數的等式（未知數不能有次方，否則便成了一元N次方程）則為一元一次方程。

我們也可以套在二元一次方程上面。先是特例：

x+y-4=0、5x-y+4=0、6x-7y+4=0。可得特例普例：

ax+by+c=0。

文字語言：一個帶有兩個未知數的等式（未知數不可有次方）則為二元一次方程。

說完定義后還要說一點，便是二元一次方程需要兩個等量關系式，一個解不出來。至于為什么大家可以自己嘗試。因為我們要解他，要消元，消成一元一次方程，所以我們需要兩個式子。

接下來便是解式子進行消元了。我先說一種代入式消元法，把上一個式子中的式子化簡為一個未和數x等于一個未知數y進行加減乘除。我們先舉特例：

然后是普遍例子：

還有一個加減消元法，便是拿上面的式子加/減下面的式子。我們用上面的例子來講：

特例：

普遍：

這便是二元一次方程。

我們可以再拓展一下常數的概念。他和代數有些相像，而且又有點難以理解。為什么？因為他是一個不定數（我隨便給的一個命名）,也就是他是任易一個數，就比如X+A(常數）=x+任易數。是不是有點怪？但這便是常數。系數也有點類似。