Viewing Transformation（觀測變換）
一.View/Camera Transformation(視圖變換)
視圖變換主要包含模型變換和視圖（攝像機）變換，統稱為視圖變換。
什么是視圖變換？
模型-視圖-投影變換，簡稱“MVP變換”
-
M:model transformation
- 設置好場景
- ex: 選好地方人擺好姿勢
-
V:view tranforamtion
- 設置好Camera的look at方向和up方向
- ex：找到一個角度放置照相機
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P:projection tranformation
- 將camera看向的3d內容轉換為2d畫面
- ex：拍照
model/view變換常常同時進行，由下方視圖變換章節可知，做視圖變換時根據相對靜止，模型也同時應用變換。
如何做視圖變換？
1.定義照相機
- postion 定義相機的位置
- look-at/gaze direction 定義相機看向的方向
- up direction 設定相機的up-direction
一個位置，兩個向量，則可以確定一個相機，以上則是觀測矩陣所需要的初始的定義。
2.觀察
前提：當物體與相機保持相對靜止時，相機與物體無論如何移動，觀察的結果不變。
因此，進行以下的處理：
-
(1) 處理：變換相機到標準中心:
放在原點、up方向為向上的y軸，看向-z方向
(2) 模型隨相機一起運動
好處：簡化很多操作
- 設相機在e點上，look at/gaze direction的方向為g，up方向為t
- 現在需要把相機移動到原點，向量g旋轉到-z上，t旋轉到y正半軸上。
基本步驟：
- 平移，將e點移動到原點
- 旋轉g到-z方向
- 旋轉向上方向t到+y上
- 前面步驟完成后，自然而然地gxt的方向就在+x方向了。
上述步驟使用矩陣表示
-
Tview 平移矩陣
Rview 旋轉矩陣
由g,t,gxt旋轉到-z,y,x上矩陣難寫，可以利用旋轉矩陣是正交矩陣（正交矩陣的逆等于轉置）的特性:
- 先求Rview的逆->Rview-1（即x，y,-z旋轉到gxt,t,g）,
- 再對Rview-1求轉置得到Rview。
二、Projection Transformatio(投影變換)
正交投影：假設相機拿到無限遠，近平面與遠平面完全一樣大小。
透視投影，frustum中內容成像到近平面上
1、正交投影<br />Orthographic projection
無近大遠小.
基本思想
- 設置camera在原點，gaze /look at方向為-z，up方向為+y
- 舍棄物體z值，使物體的z都等于0，至此所有物體都只在x軸跟y軸上，攝像機看到的就是x、y平面上的一張圖。
- 將物體都擠壓到規范正方形[-1,1][-1,1],這一步是約定俗稱的操作，為了方便后面的計算。
圖形學中的實際操作：
- 定義空間中的立方體，[lxr]x[b,t]x[f,n]。f<n,因為右手系，camera延著-z方向看
- 中心位于((r+l)/2,(t+b)/2,(n+f)/2)的立方體延著(-(r+l)/2,-(t+b)/2,-(n+f)/2)平移到原點。
- 將其給拉成一個[-1，1]的正則（canonical）立方體
數學上的表現
2、透視投影：<br />Perspective projection
符合人眼成像，近大遠小，平行線遠處會相交
基本思想：
- 將frustom擠壓成一個長方體
- 再做一次正交投影
如何擠？
定義：
在擠壓的過程中，近平面任何一個點的x,y,z值永遠不會發生變化。
在擠壓過程中，遠平面上的Z值不會發生變化。
擠壓過程中，遠平面的中心點也不會發生變化。
擠壓過程：
-
從側面觀察，根據相似三角形可得y'=(n/z)*y
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同理可得x’
-
結果的點可以寫成一個齊次坐標矩陣，然后同乘z后，仍然表示同一個點
-
寫出變換矩陣表達式，原來的點經過變換矩陣后，得到第3步表示的點
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由第4步，可以反推變換矩陣的形式如下：
-
M的第3行一定與z'有關系。
-
根據前述的定義：
-
近平面上的點x、y、z值不變。取點（x,y,n），得到結果后同乘n
觀察結果第3行=n*n，與x、y無關，因此M前兩項必為0：M的第3行=(0,0,A,B)
遠平面上的點的z值不變。取點(0,0,f),代入上述求到的(0,0,A,B）——變換矩陣第三行
綜上兩個等式，變換矩陣求解完畢
課后思考：
在將frustum擠壓為Cuboid的過程中，已知遠平面和近平面的Z'不變，那么近平面與遠平面之間的z，z’相對z如何變化，更近了還是更遠了？
-
解答
設任意點(x,y,z)經M變換
注意點：camera在原點看向-z方向，所以n+f<0
綜上，z’相對z減小，更接近遠平面了
小結：
本節課主要講述觀測變換（Viewing Transformation）——三維的場景轉換為二維的畫面。觀測變換包括：
- 視圖變換（M、V）
- 視圖變換包含模型變換（Model Transformation）與視圖變換Viewing Transformation，兩者通常同時進行，統稱為視圖變換。
- 這一步的目的是將攝像機擺放到look at/gaze方向為-z方向，up為+y，位置為原點的方向，包含平移與旋轉過程，物體跟隨相機同步變換。
- 變換矩陣最終實際上是作用到物體上，因為應用到物體后，我們就知道這時攝像機就已經擺放到指定位置。
- 求旋轉變換矩陣的過程中根據正交矩陣的性質，可以通過求逆矩陣的方式計算，計算非常方便。
- 投影
投影分為：
-
正交投影
- 求將立方體映射到[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]的標準立方體（canonical cube）的變換矩陣。
- 無近大遠小，工程制圖應用多。
-
透視投影
- 先將四棱錐frustum“壓縮成”立方體
- 再進行正交投影。
- 近大遠小，更符合人眼
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