? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?數學學習規律簡析

?????????? ??????????育人是一個極為復雜的課題，我們簡直還沒有開始理解。[]

不知不覺間，學習現代數學已經有十年多的時間，其間，我總結、提煉了一些膚淺、有限的心得體會；在這里，我就簡要地闡述若干我較為受益的學習規律，陳述一下我對某些問題的粗淺理解。

（一）天賦與勤奮。天賦在數學中的高度重要性是一個我們都很熟悉的基本事實，諸如Poincare、Von Neumann和Grothendieck等，都具有強大的技術能力，此點自然不需詳述。以網球來說，費德勒之所以能夠取得燦爛奪目的豐富成就，最核心的原因當然在于他良好的手感和全面的天賦；再以足球為例，梅西之所以能夠在過人、助攻與射門三個基本的方面都技藝精湛，本質原因自然也在于他優秀出眾的球感；數學中天賦的作用也是類似的。有如我們所熟知，不同個人在數學天賦上存在著很大的差別，我們都遇到過一些每天只學3、4個小時即能將所學知識掌握極佳的學生，天賦高超的學生與普通學生在學習效率上往往能夠相差數十倍。但是，在這里，我想指出另外一點：要成為真正的數學家僅僅擁有一般的天分恐怕是不夠充分的，稟賦深厚的學生其實并不少見，但是，最后真正能夠成材的卻為數不多；每年，我們周圍也有一些負笈Harvard、Princeton、?MIT等著名學府的好學生，然而，他們的天賦與大數學家相比差距也是較大的，對于這些有一定稟賦的優秀學生來說，他們之中的絕大部分，可能也只是能夠在美國的普通大學獲得一份教職，即使獲得在ICM上做45分鐘報告的榮譽也面臨著較大的障礙。與此同時，在數學研究的廣闊領域之中，天賦也并不是唯一重要的基本因素，當代分析學大師、調和分析的領袖級數學家Carleson，談及自己的學術經驗時，認為自己直到三十歲才入門，才寫出了一些有意思的文章；而另外一些從事調和分析研究的學者天生的稟賦可能要比Carleson?更高一些，但是，最終的成就則沒有后者來的大。（從這個例子中我們也可以體會到，一個人的天賦、思維能力也處在不斷增強、迅速變化的過程中）概言之，天賦與最終的數學成就之間是一個很復雜的問題，并非簡單的線性正比關系。

勤奮的益處是顯而易見的，因為，勤能補拙，日積月累的不斷投入能夠帶給我們的思想深度、研究視野以本質性的變化；舉例來說，數論大師Siegel教授課程時從來不看課本，無論如何繁難的公式都記在自己的腦子里，他所以能夠做到這種程度，是因為，為了一個小時的授課，他在下面往往要準備六個小時。我見過太多天賦豐厚的學生，由于應付考試較為輕松，因而，每天只花3、4個小時的時間進行學習，不去閱讀富有價值的課外書籍，也不花大量的時間去思考各種有趣、重要的問題；簡言之，不嚴格地要求自己，缺乏刻苦求進的精神，最終自己身上寶貴的天資沒有充分開發出來，這樣的情況較為普遍，令人頗感失望。數學研究的過程很艱難曲折，并沒有捷徑，要學好每門課程都需要深厚寬廣的功底，都需要付出大量的心血；比較顯然的是，如果一個人不是每天至少投入十個小時不斷地思考數學，就難以做出優質的結果（我尚未聽說過有某位著名的數學家不是高度勤奮的）。在數學研究的過程中，方法的總結是一個方面，投入大量的時間是不可分割的另一基本方面，無論方法總結的如何精到、深入，如果投入的時間不夠充足，那么也很難取得實質性的成果。但是，需要補充的是，勤奮也并不是一根筋埋頭看書做題、刻苦用功那么簡單，當年代數學家范德瓦爾登常常夜以繼日地在辦公室里演練技巧、推導公式，草稿紙練了幾麻袋；而另一位幾何學家科福桑卻是每天游玩養花、散步聊天，最后，兩個人取得的成就都很大；因為，科福桑在散步、聊天的時候腦子里也在不停地思考著種類多樣的問題。?[2]?所以，勤奮也要講究方法，既要苦干，也要巧干，二者要結合起來，相輔相成。

（二）與人交流與獨立思考。眾多情況下，當我們自己一個人獨自思考的時候，我們都會主觀上認為自己的知識結構已經很完善，思想、見識也已非常成熟；只有與其他人進行廣泛活躍的智力交流以后，才會發現自己在思想、意識、觀念與知識等各方各面都存在著很多的嚴重缺陷。我自己的體驗是，對同一個領域、相同的某些問題，同兩個以上程度很好的學生進行深入交流會得益巨大——同他們交流能夠令我們發現自身思維上的某些盲點，能夠使我們從一些新穎的視角重新審視很多問題，同時，他們的深刻認識、熟練技巧與淵博知識能夠帶給我們多方面的思想啟迪，而且，許多晦澀深奧的知識因為交流也變得富有生趣[]?。一個人的智力總是較為有限的，幾個人加在一起的智慧在很多情境里能夠發生劇烈的化學反應，其間能夠產生很多深刻的洞見，所以廣泛、深入、長期的互相交流對于我們思想的深化與擴展會有巨大的良好影響。[]?如所熟知，同其他人交流的學習方式要比自己單獨學習效率高出很多。楊振寧曾經說過，當年在西南聯大時期，他們常常是上午聊，下午聊，晚上聊，終日都在討論各種類型的問題；一次，他曾經與另外兩位同學一起熱烈地討論量子力學中的哥本哈根精神，在一起從下午到晚上，持續討論了5,6個小時才搞懂了其中的主要細節，楊先生曾說過：博士階段學習上的很多深遠進步不是來自課堂，也不是來自閱讀書籍，而是來自同學之間頻密深入的相互討論。數學史上也有很多著名的合作者，諸如Hardy與Littlewood，?Atiyah與Singer、Hirzebruch，Cayley與Sylvester等。

與此同時，獨立思考在科學研究的復雜過程中也是高度重要的，因為科學探究最本質的特征即是創新，這就注定了我們必須要有經由獨立思考得出來的全新觀念。可能我們每天都需要閱讀大量的文獻，也需要同很多人不斷地進行思想交流，但是，所有這些都只能通過我們自己的方式去消化、吸收，整理出自己內在的思想體系，一些冗長、乏味的證明也需要我們用自己的方式去創造性的領悟，只有這樣才能使我們的思想真正進步、成熟。況且，如果缺乏全面、深厚的功底，只是與其他人進行交流也很難交流出深層次的實質內容。進一步來說，自己獨立思考、做研究與被動的讀書、讀文獻是兩種性質很不相同的腦力活動，前者的要求要高出很多。我的個人看法是，在學習基礎課程的過程中，我們即需要積累大量自身的獨特觀點；否則，自己開始獨立研究的時候就會人云亦云，缺乏自身的獨立判斷。巴菲特說過：“任何一次成功的投資本質上都是獨立思考的結果，在投資中一個人必須獨立思考，在其他人的談話中，你得不到任何有價值的思想，那么多高智商的人所以沒有賺到大錢就是因為他們只知道模仿”，學習自然也是類似的。治學關鍵是要有自得，正如Whitney所說：“古今皆知，僅在你有自己的想法時才有真正的學習”[]?。概言之，我們必須建立對數學獨到、深刻的豐富理解，需要形成自己獨特的研究風格、觀念、方式、步調、節奏與品位，否則，便難以在數學研究中登峰造極。即使身處通信技術發達的現代社會，數學研究本質上仍然是一種個人行為，我們必須自出機杼地得到一些本質性、關鍵性的思想突破，很需要有一些自己安靜獨處、苦思冥想的寶貴時間[]?。

（三）宏觀框架、思想實質與知識細節。數學的眾多精華、真正的生命力往往在于技術細節，學習數學的過程是一個不斷地實際操作的復雜過程，只是看課本則是遠遠不夠的，大量的計算與證明過程中都包含了許多令人回味無窮的具體細節，繁復的計算中大多蘊含了很多訣竅，這些只有自己親自算才能有深刻的體驗；同時，這些細節信息可能也是一些問題的精華；因而，學數學需要手很勤快，要隨時隨地不斷地計算。對數學知識掌握程度的一個重要檢驗標準是：當我們丟開課本以后，能不能把它們熟練自如地寫下來；很多數學計算貌似簡單，但是，其實我們自己并沒有真正掌握、理解它們，某些頗有天資的學生可能很迅速地吸收了很多新技術，然而這些知識都似是而非，讓他們在紙上清楚地寫出來，他們其實無法做到，這種淺嘗輒止的學習方式造成的最終惡果自然是讀不下去。（這一思想來源于蕭蔭堂）“看似尋常最奇崛”，很多情勢下，一些表面平淡無奇的細節實則蘊涵了深刻的思想與靈活的技巧，它們并不像表面看來的那么直接簡單，里面實則涵有深入、復雜的內容，對這些技術細節的深刻領悟往往取決于我們的實際計算經驗。伴隨著重要細節的不斷積累，我們對于某一門課程的整體認識會逐漸清晰、深化。概括言之，數學中有兩類重要的知識，一種具有很顯然的重要性，諸如抽象代數中的理想、素理想，數學分析中的傅里葉積分以及泛函分析中的Hahn-Banach延拓定理等內容，我們第一次接觸到這些知識，即意識到它們的用途極為廣泛，即知道必須牢固地掌握它們；一種則是隱性的一些枝節問題，它們中蘊涵的思想、方法與技巧可能會在我們日后證明一些重要問題的過程中發揮本質性的作用，或者其中潛藏著一些寶貴的新思路與新方法的萌芽；許多情形下，正是我們無意識中積累起來的大量細節知識最后被證明是分外重要的；由于我們在解決未知問題時用到的工具、思想很難事先預料，因而，我們必須積累無數雞零狗碎的細節知識，需要對眾多枝節問題加以精心推敲，進而仔細掌握，這樣才能為日后的重大突破做好充分堅實的準備。每門數學課程都具有一個基本的特征：主要思想、理論框架可能是比較清楚、簡單的，但卻包涵極多的細節知識，這是造成數學知識（其實是所有的理工科知識）難以掌握的一個重要原因。數學是一門非常精細的學問，每門課程中都包含了成千上萬的細致信息；因而，對于每門課程，只有當我們透徹理解了其中的所有細節之后，才能夠真正地掌握它。[]

?? ?但是，數學又并不只是這些技術細節的簡單疊加，它背后無疑蘊涵著清晰、深刻的思想實質；以復變函數來說，它處理的中心主題主要是畸形積分的求解、雙全純映射、全純函數的良好性質、黎曼映射定理等四五個核心知識點；而泛函分析的研究對象是函數的函數，在其中引入了一系列的嶄新思想，譬如，廣義函數理論構成了現代偏微分方程的思想基礎，壓縮映照原理、里斯表示定理等在偏微分方程中具有重大意義，與此同時，希爾伯特空間里的逼近論也有著廣泛的應用；代數拓撲則是通過同倫群、同調群等代數工具反映出幾何現象的一些定性的本質信息。一方面，學習需要吸收成千上萬的技術細節，但它們自然不是最終目的，學習的終極目標是為了領悟其中的思想實質，就像在吃龍蝦的過程中，去掉龍蝦外面的硬殼是為了品嘗到里面鮮嫩可口的美味。與此同時，對于創造性發明來說，見林比見樹更為關鍵，完整的知識體系是創新最為重要的基礎；因而，我們需要形成大量的宏觀觀點，對每門課程我們都需要從整體上進行把握而不能陷入復雜瑣碎的枝節問題無法自拔。[]?容易明白的是，任何數學知識都不是孤立存在的，我們可以舉一個簡單的例子，關于傅里葉級數的相關內容，如果我們只是知道傅里葉級數的計算，而不知道最佳平方逼近性質、逐項積分、Bessel不等式以及傅里葉級數的兩個收斂判別法等相關知識，那么我們對傅里葉級數的特定認識就是膚淺而單薄的；因而，在所有情況下，我們都需要思考數學知識的來龍去脈、前因后果，把握住它們的內在思想脈絡；每門數學課程的整體性都較強，中間任何一個環節的缺失都有可能導致理解上的嚴重缺陷，這一點我們需要切記。顯然，具體知識與思維方式之間也是互相強化的，學習的最終目的也是掌握每門課程中大量的思維方式。總之，數學家的心靈一方面需要宏大，一方面需要細膩，是二者的有機融合。整體框架、思想實質與技術細節兩者都是很重要的，而且較為明顯的是，它們也相互促進——技術細節的積累需要明確思想的引導，而思想實質、宏觀觀點也離不開成千上萬的細節經驗基礎。概言之，數學學習始終需要點面結合。

（四）少而精與開闊的視野。現代數學的宏大精深遠遠超出一般人的想象，它的范圍十分廣闊深刻，浩瀚壯美；同時，科學前沿也非常活躍，注意力的焦點也在不斷地迅速變換著；因而，遵循“少而精”這一基本原則即顯得尤為重要。無論任何知識都需要反復重復，直到它們在我們的經驗世界里真正扎根，直到它們的思想實質以清晰透徹的形式被我們完全掌握，直到它們進入我們的無意識層面、內化成為我們的思想本能。自古練兵貴精不貴多，年輕人不需要一下子學習太多的知識，先掌握幾門看家本領是很必要和有益的，要學一樣，精一樣，十鳥在林不如一鳥在手，如果能夠將幾門核心課程真正掌握深透，會使我們受益終生。相應地，在自己思想干涸之前不宜閱讀新的材料，否則，如果吸收了很多沒有經過自己的頭腦消化的知識，接觸到大量駁雜蕪亂的信息，這些信息尚未來得及仔細消化便急切地研習新知識，自己的思想就會越前進越糊涂，常常導致較為嚴重的后果。的確，為了要做優秀的研究，我們的知識結構需要很寬廣，但廣度必須以精度作為堅實的基礎；如我們所熟知，要浮泛地掌握一門課程并不是很困難，但是要真正學精學深，使得該課程能夠有機地融入自己的整體思想體系，將它徹底掌握（以能夠自主解決這門課程的絕大部分習題為基本的標志），難度則會有較大的增加。我的個人觀點是，數學學習需要掌握精確、透徹的知識，所有知識只有到了清澈明了、駕輕就熟、舉重若輕、深入淺出的程度才可以認為掌握得較為到位；任何時候知識的吸收都不可能太快，都需要腳踏實地；總之，少而精是我們自我發展的強大基石。學習需要少而精，研究也需要少而精，發表文章、編寫教材等最好都以少而精為基本準則；盡管研究需要寬闊的視野，但還是應該以少而精為基礎。知識的精煉、純化往往需要經歷一個漫長的過程，況且我們每個人的精力又較為有限，因而，更應該自覺地限制自己的注意力。[]

????但是，與此同時，為了做出高質量的研究工作，一個人在數學上的涉獵也必須非常廣博，開闊的視野也是做高品質的數學研究所必不可缺的基本前提。廣闊的知識結構至少有兩個方面的基本意義：（1）一個人的數學視野越開闊，對相關結論的意義就會認識更加深刻，如果知識結構過于專狹，即很難做出真正重要的原創性貢獻。（2）在數學的范圍極其廣大的21世紀，很多研究都是來自于不同學科之間的交叉，在科學研究史上，新思想常常是在邊沿地帶生長起來的，而不是在中心區域[]?（在數學發展史中，這一規律的很好例子是多復變理論受到微分幾何等學科的強烈影響）；因而，一個人的數學視野越寬廣，那么，他的不同知識儲備之間不斷地互相雜交而產生新思想的可能性就越大。因而，盡管我們需要堅持少而精的基本原則，但是，如果某一部分的數學知識已經被我們真正掌握，則不宜繼續在上面投入時間；否則，會導致精力的虛耗與浪費；此時，我們應該多閱讀些其他書籍或與其他人進行思想交流，擴大視野。總之，做優質的研究往往取決于深度與廣度的有機結合。

（五）反復重復、熟練。一句廣為人知的諺語曾說道：重復是學習之母。我們都有類似的一種基本體會：一門學問只有反復了許多遍，其中的知識才被我們真正理解和掌握；任何一門知識都是每多重復一遍，都會有新的發現與新的體會；只有重復足夠多的遍數，混亂的知識才能夠逐漸展現出清晰、透徹的整體輪廓，就像在一個霧氣彌漫的區域逐漸辨識出了一條清楚的道路。每門數學課程的內容都是很豐富的，都涵蓋了眾多的思想主題，都包含了成千上萬的方法、技巧、思想與題型等，因而，都是眾多概念與觀念組成的重奏；很多情況下，當我們第一遍學習一些新知識的時候，會感覺像是在新思想組成的茂密叢林里艱難前行，痛苦不堪；但多讀幾遍之后即會越學越輕松，并且逐漸感受到其中豐富的內在樂趣，而且也會越學越快。對一些具體的知識要點、問題來說，也只有反復若干次以后才能被我們真正理解，這是大家共有的簡單體驗。任何東西都是孰能生巧，只有多加重復，反復運用，對其中的奧秘、訣竅有了體會，才能夠熟練；理解和熟練是很不同的，知識只是到了理解層面則不會有太大意義，只有熟練了才能夠精，才能夠靈活運用，才能夠發展創新。如果一個人對某部分知識的掌握只是到了理解的程度，而沒有達到高度熟練的境界，那么在具體的問題中他就很難靈活地運用這些學到的知識、工具。巴菲特常常提及的一句話是生意不熟不做，數學亦是很類似的：Hilbert說過，即使最簡單的概念知識，也要重復很多遍；Von Neumann說道：“我們都不是理解數學，我們只是適應了它”；崔琦也說過：實驗物理需要一遍遍地反復看論文。總之，學習是一個不斷滲透的過程，書讀百遍，其義自現；多看幾遍特定的內容，深入的思想就會自然地浮現出來。很多情況下，我們所以無法解決題目，所以對知識體系的梳理不夠條理、透徹與深刻，最主要的原因即在于重復的遍數不夠。對于我個人來說，要學好一門課程我可能需要重復四五十遍（當然，伴隨著思維能力的迅速提升，需要重復的遍數也在相應地大幅度下降）；而且重復的遍數越多，得到的越是精華；進一步而言，不僅閱讀教材需要大量重復，做題也需要不斷重復。丘成桐曾說過，學習數學有四種境界：不懂，懂，真懂，真真懂，而如果想達到真真懂的境界，需要的恐怕就不止是一般的熟練，而是應當特別熟練、極其熟練。學習每門課程的最后境界是融會貫通，各種思想、方法與技巧都熟練以后即能達到這種美妙的總體境界，這門課程就會成為我們自身能量的一部分。[11]?很多理工科工作者都有相似的一種普遍感受，隨著重復遍數的增加，才發現原來自己并沒有真正掌握很多最簡單的知識細節，并且也遺漏了許多重要的思想，同時，課程體系的整體脈絡也逐漸浮現。總之，只有重復足夠的遍數，才能夠進入一門學科的思想深層；只有進入思想深層，才能夠把握一個領域的精神實質；只有把握了一門課程的精神實質，才能夠在各種場合中對相關知識加以很靈活的運用。概括地說，反復重復至少具有以下五個方面的基本價值：1捕捉到更多細節，許多重要的思想、技術枝節不斷涌現；2對問題的認識更加深刻；3對章節、問題的整體框架認識更加清楚、更加穩定，各種思想逐漸融合成為一個兼具深度與廣度的有機體系；4對思想、概念、方法與技巧的掌握更加熟練；5在解決與這門課程相關的很多具體問題中的創造力也在不斷提升。簡言之，在細節、深度、整體框架、熟練度和創造力這五個學習的核心方面，反復重復都有很大的意義。值得指出的是，熟練也是解題時產生直覺的必要基礎，只有對一門課程的所有重要方面都很熟練了，只有對一個問題相關的知識（這些知識通常是大量的、整塊的）有了足夠透徹的理解，才能在解決未知問題的時候產生正確的直覺。

（六）整體思維境界的升華與細節積累。

但是，正如上文所說，細節積累仍然是必不可少的，它是思維境界不斷升華的知識基礎；至少對于我自己來說，我從對細節的精雕細琢中體會到的豐富樂趣，要比宏觀整體思考得到的樂趣更大。數學學習的主要途徑是一點一滴的長期積累，因而只能腳踏實地，正如懷特海的精辟論斷：“企圖通過一種虛幻的方法做出高明的概括，學習上絕無此種捷徑。”[12]

當然，整體境界與細節積累之間也是互相促進、互相增強的——思維境界的升華能夠使得我們吸收具體的思想、方法與技巧變得更為輕松、自如，而細節知識的持續積累則能夠加快我們整體境界不斷升華的速度。做學問正是如此，“問渠哪得清如許，唯有源頭活水來”，只有每天不斷提升到新的高度，同時不斷吸收新鮮多樣的大量信息，才能始終保持思維的豐富活力。

（七）打牢基礎與接近前沿。本科、研究生的基礎課程對于我們以后的研究具有深厚的啟發性，因為，這些基礎課程中的知識都是千錘百煉的結晶，它們能夠幫助我們逐漸產生一種深刻的鑒賞力，哪些思想、方法、技巧與概念能夠經歷時間的淘洗而成為主流數學，這是一種最佳的判斷力的訓練。同時，基礎知識中包含了很多對數學本源性的理解，包含了現代數學中最為核心和本質的基本思想，所以基礎知識、基礎技能與基礎理論都很重要，沒有能忽略的內容。基礎課程中包含了一門學科中最原始的思想、問題，這一基本作用是前沿論文所無法替代的。就像在足球運動里，最重要的始終是停球、控球與傳球等基本功；巴塞羅那、西班牙等球隊的進攻之所以行云流水，原因自然在于它們隊員堅實的基本功。大家都在講需要提高整體能力，綜合能力的提高當然是很多渠道共同作用的結果，其中，打好基礎可能是必不可少的中間一環；具體知識的積累與整體能力的提高是同步的過程，高層次的能力是在堅實基本功的基礎上自然生長、發育的整體結果；基本功越堅實，后續課程掌握起來即會越發輕松、順暢。缺乏扎實的基本功，日后即不太可能做出有意義的創新；反過來，任何領域都是先模仿、再創造，基本功打扎實了，推導過程高度熟練了，基礎課程中的一切精華都吸收了，創新即是較為自然、水到渠成的結果。泛函分析、表示論大師Gelfand說過：“每當我進入一個新領域的時候，我進入的其實都是舊領域。”這自然是功底極其堅實、深厚的整體效應，做任何事情都已然觸類旁通。如所周知，數學分析奠定了整個分析學的研究主題、風格、理論框架和問題意識，從數學分析對復變函數、實變函數、偏微分方程、微分幾何、泛函分析與計算數學等課程無孔不入、極其強烈的直接滲透、影響中，我們可以感受到基本功的高度重要性；類似地，代數拓撲、黎曼幾何、現代偏微分方程等基礎課程，也必定會對我們未來的研究產生全方位的深遠影響。另外，當我們讀書的時候，應該去反復思考概念、思想、方法與技巧的引入過程；我們顯然無需等到科研開始的時候才能對研究規律、經驗進行思考、提煉與積累，本科、研究生基礎課的學習過程本身即能讓我們對數學中新思想、新方法、新技巧與新概念的建立過程有比較直接而深刻的體會；這一要點是值得特別強調的，即我們打好基本功的過程也應當是創造性掌握的一種過程，而不應僅僅是簡單、機械的模仿。另外，如所周知，數學研究中的主要方法是類比；舉例來說，偏微分方程的一般理論即是把本科時調和方程、波動方程、熱方程中的均值定理、最大值原理、系數介值性與Harnack不等式等基本性質推廣到高維的一般橢圓、拋物、雙曲方程，而調和方程的很多性質也源于與全純函數的類比。作為數學中最常用的一種基本思想，類比只能建立在堅實的整體功底基礎之上；因此，可以說，基本功是創新的基礎，是創新最重要的保障。Hilbert?擁有一種能夠將兩個距離遙遠的領域聯系起來的神奇能力，這自然來源于他廣博精深的知識功底。數學中可能有很多新潮、時髦的前沿理論，但是，最終數學的真正進步主要還是來自于原始問題；楊振寧曾總結了兩條成功的治學經驗，其中一條即是要面向原始的物理問題（另外一條是廣泛的應用數學，不回避復雜的數學運算）。[13]?至于哪些問題是原始的數學問題，基礎課程中蘊涵的知識應當是一個較為良好的向導。

????當然，數學要向前看，打下堅實的知識基礎本身肯定不是最終目的，終極目標還是為了日后更好的創新；因而，我們需要隨時思考新的研究方向[14]?；譬如，1940年代，Weyl預見到代數幾何在不久的將來會有極大發展，后來的數學發展進程也證實了他的深刻預見。[15]?另外，Weinberg?在《給科學家的四條黃金忠告》這篇短文里寫道，一位工作者并沒有必要在學完全部所需的知識以后再開始研究，這自然是一條很合理的經驗之談；很多情況下，研究某個具體的問題需要的相關知識其實并不多，邊做邊學可能要比純粹打基礎的學習方式效率更高。創新無疑是科研的本質特征，就像藝術一樣，我想沒有真正的藝術家只想欣賞其他人的作品而不想創作出屬于自己的精美的藝術品，數學自然也是較為類似的，只有新思想、新觀點、新方法與新技巧才能真正打動我們的心靈。基礎深厚只是第一步，只有進入前沿領域、從事創造性的研究活動，才能真正振奮人心。總結來說，高質量的研究一定是堅實的基礎與強烈的創新意識這兩個基本方面的完美融合。

（八）感情、進取心、興趣（好奇心）與耐心（平常心、毅力）。深厚的情感是研究中一種真實的要素，它能夠令我們在學習、研究的過程中產生濃厚的直覺；同時，我們做學術的可能會經歷很多人生的低谷，數學又是一種高強度的腦力活動，它有時會產生巨大的心理壓力；此時，深厚的情感、對數學的熱愛是我們在科研的旅途中克服眾多困難最重要、最可靠的基本保障。我們的學習、生活既需要強有力的思想的指引，也需要深厚的情感的慰藉，對一件事物深摯的熱愛在某些情況下能夠產生多方面的神奇影響，長期浸泡在自己鐘愛的領域我們的水平能夠自然而然地得到總體提高。

? ??進取心也是非常重要的，我見過太多這樣的例子，一些天資深厚的學生由于沒有雄心壯志，缺乏強烈的進取心，結果他們身上非常寶貴的潛力、才華都沒有被充分挖掘出來，這一點自然令人深為惋惜。不想當元帥的士兵絕對不是好士兵，每個學數學的人都需要有做出登峰造極的成就的遠大抱負。

但是，數學研究需要的又不僅是高遠的目標、宏大的追求；也不僅是對自己極其嚴格的整體要求，或者如Hilbert 所說的“鋼鐵般的意志力”；很多情形下，它最需要的其實是單純的好奇心。譬如，Atiyah 和Serre等依靠的主要即是好奇心，他們都說過，大量情況下，問題并不是靠正面進攻解決的，而是繞到后面去，利用一些新思想揭示問題的實質，進而將它們解決；對Atiyah、Serre來說，興趣、好奇心要比其他任何要素都更為根本和重要。陳省身在接受一次采訪時也說：“我做學問，不趕熱鬧，有自己的想法，只選擇最適合自己的工作去做”，“我讀數學沒有什么雄心，我只是想理解數學。”興趣、好奇心是一種非常真實的思想、性格特點，我們中國學生對這一點的體會是較為薄弱的。許多情形下，我們被某些數學理論、思想深深吸引，情不自禁地思索它們；或者，一道題目的關鍵技巧困擾我們很長時間以后，答案忽然在一剎那間閃現出來，會令我們感受到直接的樂趣，這些基本現象都是普遍存在的。數學本身是非常豐富多彩、引人入勝、美不勝收的，我們在學習、研究的過程中感受到了巨大的樂趣，它的大量概念、思想、方法、技巧、題型與體系都妙不可言、趣味盎然，這是我們做數學最主要的原因，這比諸如遠大理想等要素更能帶給我們以深刻的慰藉。數學中有無數難以置信的巧合、不可思議的技巧和驚人的奇跡，這自然能夠激發起我們強烈而持久的興趣；它像一個極其有趣的巨大的拼圖游戲，里面閃耀著高度智慧的光芒。愛因斯坦說過，科研的一種基本動機是因為它能夠帶給我們生動活潑的經驗，學習、研究的過程中新思想與新觀念如潮水般涌來，這種令人振奮的精神狀態是興趣的基本根源之一，也是大多數數學家工作的一個核心推動因素。（愛因斯坦和Grothendieck都表達過類似的基本思想，即：科學研究的精神狀態類似于談戀愛的狀態）。只有一個人對數學懷有強烈的興趣，他才能夠持續不懈、積極主動地學習數學，這與主觀強迫自己學習是兩種很不相同的精神狀態。

雄心壯志當然是需要的，但真正能引導出有意義、影響深遠的學問的從來都是好奇心，我個人認為，對做好的數學來說，興趣、好奇心要比雄心壯志、責任感、深厚的情感來得更為重要。數學研究的動力是感情、興趣、進取心與耐心等至少這幾個基本要素的交織、組合，在一位數學研究者的實際研究過程中，這幾種基本要素會交替發揮積極的作用。一位數學家的成材過程需要的不僅僅是智力因素，個性亦是很重要的，上述幾種基本要素自然都屬于個性的核心部分。

（九）功底、直覺與偶然性、靈感。整體功底、直覺在數學中的作用是容易明白的，我們掌握的所有知識、思想、方法、意識、直覺與經驗等基本要素融為一體構成了我們的總體功底。大多數情況下，我們解題時靠的正是在整體功底的基礎上涌現出的清晰直覺。直覺在數學中的重要性是無可替代的，不僅解題需要直覺，開創嶄新的領域，提煉嶄新的概念最需要的也是直覺，Klein即說過：“應力求一個數學主題變成直觀上顯然，才可以透徹研究”。關于整體功底的基本價值，Grothendieck曾有一個精彩而恰當的說明；他將某些正面強攻的數學研究比喻為拿著錘子和鑿子去敲核桃，而他則寧愿將核桃放在水里將核泡軟，或者將它放在陽光和雨水中，等待核桃自然爆裂的恰當時機；他認為：只有當我們的整體功底深厚到看出一個問題是顯然成立的時候，我們才真正理解了這些問題，一個問題的證明必須可以分解成為一系列細小而自然的步驟，問題的答案涌現出來的時候應該是完全直接的。大數學家與我們的差別本質上即是整體功底的差別，他們懂得更廣，更深，因為具有極其深厚、寬廣堅實的基本功底，自然能夠做出重大的貢獻。總之，每個人最終的數學貢獻其實是自身數學功底的自然體現，做好的理工科研究并沒有多少秘密可言；進一步而言，一個人對數學的整體理解，其在數學上的整體視野，都會在他研究的每一個特定問題上自然地體現出來。

另外，我想強調一條自己很鐘愛的基本思想——數學是一個發育的整體，分析、代數、幾何、拓撲與計算數學等之間的相互聯系都很緊密，它們并不是互相割裂、支離破碎的知識門類；相反地，它們的方法、技巧、思想與概念都有著強烈的相互啟發性。主流數學一直以來都是解方程、函數等相關問題，抽象代數、代數拓撲等現代學科的產生是數學“對于問題的日趨困難與復雜所做出的自然反應”[17]?。每門數學課程都是一個有機的整體，其中的大量思想、方法、概念與技巧交織成了一幅美麗的整體圖畫，而所有的數學課程融為一體組合成了一個更為宏大的有機體系，其中的相互交叉、滲透是無處不在的；因此，我們的數學研究需要以整體數學作為思想背景，我們的整體功底也需要覆蓋數學的各個分支。對此，Alain Connes曾論述道：“數學的主體猶如一個完整的生命體，只有在結為一體的情況下才能生存，如果被分割成若干不相連的部分則就會消亡。”[18]

但是，與此同時，我們也不能忽略靈感在數學創造過程中的巨大重要性。我們都較為了解，在研究的復雜過程中，一些最好的想法往往不可規劃、不可預料，它們來自于一些思想上幸運的突變；在一些時刻，一些嶄新的思想、觀念會突然閃現在腦海中，使我們對某些題目、理論的理解發生本質性的突變。Poincare、Atiyah、楊振寧、Heisenberg、Hayek等都提到過偶然性的重要意義。[19]?我們共有的一種簡單經驗是，一些好的idea可能在公交車上、在Walmart超市購物的過程中、在去九寨溝、杭州、芝加哥旅行的途中忽然出現，這是做研究最大的樂趣之一；進一步來說，數學學習、研究的很大一部分樂趣即來自于長時間絞盡腦汁、苦思冥想以后靈感忽然爆發時心理上的愉快感。因而，每天，我們都需要敏銳地捕捉突然而至的各種靈感；簡言之，數學研究需要跳躍性思維。

需要指出的是，沒有深厚的總體功底，也很難有出色的idea，好的idea必然來源于對數學整體的深刻理解。數學研究的過程，從某種程度上說，即是在深厚功底的基礎上追逐有意義的、重要的靈感的思想旅程。

（十）人文修養。我讀到過的所有偉大的數學家，他們的文筆都非常生動優美，諸如Weyl、Weil、Atiyah、E Cartan、Poincare、Grothendieck、Gauss、Cayley、Serre等[20]?，這并不是偶然的；因為，理科與工科有著顯著的差異，理科追求的是理論體系，是思想的優美、深刻與簡潔，而不僅僅是實用，因而，就需要相當程度的藝術修養；同時，許多微妙、高級的思維能力也需要建筑在高雅的文化修養的基礎上才能產生，如同幼芽長在綠枝上一樣（歌德語）。譬如，Dyson曾經寫道：“Weyl最核心的性格特點是一種審美感，這主導了他對一切事物的觀點”[21]?，“楊振寧對數學美的品味照耀了他的一切作品”。概括地說，深厚的人文修養能夠滲透到我們學習、生活的一切方面。在推理的過程中對數學內在美感的體會是一種很真實的力量，它能夠強有力地指引我們走向正確的思想道路。數學在相當程度上是一門藝術，雖然是一門高度復雜的藝術，我們的學習過程也是在接受一種高雅藝術的精神熏陶。現代數學有一幅寬闊美麗的總體圖景，從局部到整體，從微觀層面、中觀層面到宏觀層面都非常精美，閃耀著高度的美感，它兼具優美與壯美兩重氣質；其中大量的細節刻畫精致，令人流連忘返；而整體框架則恢宏壯闊，令人嘆為觀止。舉例來說，復變函數中的?Cauchy?積分公式即較為優美簡潔，它也是整個復變函數理論的一塊基石，全純函數的冪級數展開、導數介值性、均值定理與留數定理等基本性質都可以從它簡捷地推出；偏微分方程的Lax-Milgram?定理也是一個很好的例子，它的形式很簡單，但是卻能夠解決一大類橢圓形偏微分方程弱解的存在唯一性問題；微分幾何中的Gauss-Bonnet定理也較為類似，它涵蓋了如此眾多的特殊情形，而定理卻又高度simple，不能不給人留下強烈而恒久的印象。這些定理都清晰透徹、優雅深刻，令人心蕩神馳，難以忘懷。Maxwell說過：“Fourier?分析是一首數學的優美的詩篇”，諸如Galois理論基本定理、Gauss絕妙定理等極端重要的定理都有一種令人永難忘懷的動人的美感；很多情況下，數學中那驚心動魄的美、思想的巨大光輝都使我深受觸動。對我個人來說，對美的追求，對數學中優雅宏遠意境的追尋，是我研究數學的主要思想動機之一。正像數學中的技巧無處不在一樣，數學中的美也是無處不在的，平時的學習中我們也有很多類似的心理經驗，一個丑陋、呆板、復雜的證明與一個優雅、靈活、簡潔的證明之間的強烈對比，足以使我們體會到數學里深刻思想的威力，以及數學中那難以言傳、銷魂蕩魄的豐富美感。一個簡單的基本事實是，我國學生的文化修養是有所不足的，這也是我們的一大內在缺陷；因而，我們需要強化這一基本方面的訓練和熏陶，希望對數學美感的直覺欣賞和不懈追求能夠照亮我們未來的研究道路。[22]

(十一)回憶學習。大家都有一種基本體會，一部分知識當我們第一次讀到的時候，其實并沒有被我們真正吸收；只有在丟下課本，在我們的頭腦中重新過一遍，自然地融入我們有機的思想體系以后，它們才能被我們逐漸掌握。對于每門課程來說，知識和材料本身是一方面，對它們的反思、整理則是更為重要的另一基本的方面。我的個人經驗是，很多定理的證明細節只有在離開課本，在我的頭腦中重復一遍的時候，它們才能被我真正領悟。與此同時，回憶學習也是檢驗我們有沒有理解到位的一個很好的方式：考試來臨之際，我們拋開課本，回憶一下眾多細節問題，看看它們究竟有沒有被自己徹底掌握了，能不能熟練地回憶起來，這是一個很好的檢驗方式，它能夠幫助我們更加明確地定位自己的薄弱環節，對于這一條學習經驗，我受益匪淺。因而，每天我都會強迫自己留下一定的空余時間，去回憶一下實變函數、偏微分方程、泛函分析與抽象代數等全部所學課程的整個理論框架、重要細節，所以，我對這些學科從未遺忘過，而是對它們的整體領悟一直在不斷深化，歷久彌新。另外，在每學了一個小時的時間以后，我總是停下來，進行一定的總結，梳理其中相關知識的整體脈絡與技術關鍵，有時也到外面去散散步，這個過程中也總會有一些好的idea不斷產生（尼采說過，只有在散步的過程中產生的思想才是有價值的）；我不太喜歡一天到晚悶在自修室里不停地學習，適當的中斷、反思，可能更提高了工作效率。同時，漫步在欣欣向榮的春天的林蔭道上，本身也放松了身心，舒緩了各方面的壓力，在開闊的環境中人的思想也容易變得寬廣明朗，有一舉多得的基本價值。總之，我們做數學的需要一定的室外活動。

（十二）學習與生活。作為一個成年人，學習與生活是我們思想體系中的兩個主軸。生活在當代中國這個經濟狀況不甚理想的時代，我們每個人身上的生活壓力都比較大；如何在艱辛的生活中突出重圍，獲得較好的經濟基礎，這是一個很困難的基本問題；同時，中國人在復雜的人際關系上也耗費了太多的寶貴時間、精力，學習需要一種平靜的心態，需要擺脫各種雜亂信息的侵擾，當代中國生活上的艱難確實加大了集中精力學習、研究的整體難度。集中精力研究自然是較為重要的，但我們的學習、研究過程也會受到諸如搬家、世界杯（我至今記憶猶新的一個場景是：2010年6月底，我們在進行大學夏季學期的期末考試，與此同時，也在進行著激動人心的世界杯的比賽，很多學生在二者之間有些難以取舍）以及歐洲冠軍杯、瀏覽Facebook、人人網等社交網站、同學聚餐、觀看《新三國演義》等連續劇、到美國中西部或者云南旅游（比如，在繁忙緊張的學習中間，2008年4月時，我所在的班級曾經到杭州的一個景點旅游）等紛紜復雜的日常生活事件的不斷干擾，這些事件也并非只是對學習有負面影響；因為，我們也需要不斷地吸收很多必要的基本生活經驗。保持學習與生活的有機平衡并不容易，這是一個比較微妙的問題，需要很高的智慧。比較可能的是，每天我們在這兩大基本方面上都發現自己有大量不懂的地方，有很多需要吸收、消化、整合的新信息與新思想。顯然，生活上的成熟是內在心智成熟的一個有機組成部分。只有處理好每天生活中發生的各種事件，將生活梳理得井井有條，不遺留下沒有解決的生活中的繁瑣問題，才能為全身心地投入到學習、研究過程中打下堅實、良好的整體基礎。當然，學習和生活經驗的積累也并非是水火不容的，在眾多情形下，二者其實完全可以相互啟發、相互促進，它們是我們的思想體系中水乳交融的兩大基本的組成部分；大部分情況下，我們關于學習和生活經驗的思考在我們的頭腦中是混合在一起的，這種混合狀態能夠增加我們思想的豐富多彩性，使我們的思考效率得到進一步的增強。

進一步而言，如果我們將視野放寬，數學其實是整個人類的科學文化乃至整個人類社會的一個有機組成部分，我們不能搞一些太脫離實際的純理論，這樣沒有意義的純理論最終都會被修剪掉；幾十年前，Weyl和Von Neumann等就擔心數學成為一門只追求美感的、脫離經驗背景的純理論，這種憂慮在今天仍然具有較高的價值；數學工作者容易脫離社會，閉門造車，這個基本問題應該引起我們的重視和反思。[23]

生活在今天的中國可能是較為艱辛的，所以無論學習也好，生活也好，都需要較高的智慧，都需要分秒必爭；只有自立自強，才能夠在劇烈競爭的市場經濟中站穩腳跟。現代社會往往較為混亂，所以更加需要明確思想的整體引導，每天，我們都需要竭盡全力開闊自身的思想視野，又需要注意少而精，形成穩定的思想內核；簡言之，需要廣度與精度的有機結合。我們每天都會卷入生活中的一些事件，在其中也能不斷地積累許多寶貴的人生經驗；同時，每天在學習上也能接觸到眾多的嶄新思想，這兩個基本過程是交織在一起的。最重要的是應當永遠不要停止工作和思考。

(十三)?困難、深度與容易、簡單。如所熟知，數學上學習具體課程可能不算困難，但是，要獨立研究、取得創造性的突破就較為艱難了；即使對大師來說，如Langlands、Milnor等,他們也都說過做數學很難[24]?。數學上的主要突破可以區分為兩類。一類是困難的，譬如，微分幾何中的Gauss?絕妙定理的發現過程即經過了大量復雜繁瑣的計算,抽象代數中Galois理論基本定理中反映出的中間域與自同構群之間的深刻、和諧關聯,代數拓撲的創立,以及實變函數中測度論的建立等，這些重大發現確實需要巨大的洞察力與堅實的基本功。但是，另外一些領域里劃時代的突破則只是來自于很簡單的觀察和想法：譬如，留數定理能夠解決廣泛的問題，但它的基本思想并不復雜，可以說非常簡單；偏微分方程中的分離變量法的idea?也較為簡單；希爾伯特空間只是將高等代數中內積空間理論直接移植過來的結果，簡單而有趣，Fredholm?交錯原理也很直觀；在純理論、應用學科里影響極廣的Fourier變換的基本思想更是顯而易見的，所有這些里程碑式的突破在技術上都不太困難，關鍵是走出那決定性的的思想上的一步。因而，數學知識也并不是越困難才越重要，很多時候最基本的東西反而最重要；譬如，抽象代數中的同態、置換群、正規子群、群作用等就極端重要，因為，它們的影響面最大，在其他領域中使用的最多[25]?。事實上，數學中一些驚天動地的基本成就，如黎曼幾何的創立等，原始思想都非常自然，樸實無華。概言之，我們不需要把數學想象的那么高深莫測、極其困難，一直以來，我們都把數學研究想象的過于困難了，要做高質量的數學研究當然很困難，但也并非就是那么遙不可及；上面列舉的幾個經典例子已經充分證明，數學研究并沒有我們想象中的那么難乎其難；數學其實是一門很平實的學問，并不是很多人錯誤認為的那樣高深莫測。愛因斯坦說過：“如果你不能用極其簡單的方式向大街上的普通人解釋清楚一個問題，那就說明，你還沒有真正理解它”，JP Serre?也表達過類似的看法，即：常常是一些極其簡單的思想打開了局面[26]?；總之，數學研究的這一重大基本特征值得我們的充分重視。我們的學習過程也是類似的，只有我們將一門課程學到十分顯然、十分清晰、十分簡單的總體境界，才表明真正學懂了這門課程。另外，困難與容易并非是固定不變的，而是往往處在相互轉化的過程中，很多題目初看起來較為困難，但是被我們真正掌握以后，又會感覺它們很平實、自然和親切。

與此同時，正如在段首所指出的，數學研究的進展無時無刻離不開有深度的新思想，很多情況下復雜、困難、有深度的思想才真正新穎而富于啟發性，譬如，微分幾何中的Gauss-Bonnet公式、測地線的Liouville公式等即需要繁復的計算和強韌的想象力。對此，懷特海曾說過富于教育經驗的一句話：“我們必須提防在選擇上避難就易的錯誤”，“這肯定會以失敗告終，而失敗的原因正說明教育藝術難乎其難。”[27]?總結而言，數學研究始終是深度與簡單的辯證統一。

（十四）如何解題？這自然是數學學習、研究中的一個核心問題，解題與學習知識、理解課本很不相同，后者需要的只是被動地理解特定內容，而解題則需要創造性地發現思路，它的要求要高出不少；很多情況下，我們可能自以為自己閱讀教材已經很透徹，但是做題的時候卻發現無法解出相應的問題，這自然說明我們掌握的并不到位；顯然，在自以為學懂一門課程和能夠解決其中的習題之間，間隔著較長的距離。一般來說，很多思想、技巧與概念只有通過做題才能真正煥發出強大的生命力，我們也只有通過做題才能體會到它們真正精妙和靈活的地方。我以前聽不少人說過解題不重要，理解更為重要，這種想法當然較為荒謬，不會做題自然是對課程的具體知識與深層思想理解不夠深刻的直接標志；因而，我們不僅要做題，而且要做比較多的題，同時還需要做一定量的難題，只有做的題目多了，積累起大量的相關經驗，遇到嶄新的問題的時候才能夠適時地涌現出正確的直覺和技巧；同時，只有對一門課程接受充分而嚴格的基本訓練，在實際問題中使用它們時才能夠感覺到熟悉和親切。只有在做題的時候能夠靈活運用某些概念、技巧與思想，在實際問題中深刻地運用它們，有了這樣一重心理上的豐富體驗之后，這些知識才會真正成為我們整體思想體系的一個有機組成部分。我們所以無法解答題目，原因自然較為復雜，概括地說，至少有三個方面的原因：其一，某個知識點我們根本就不知道，它完全不在我們的視域之內；其二，相應的知識點雖然我們知道，但熟練程度不夠，理解的也不夠深刻；其三，某道題目需要多個知識點的綜合、交叉運用，我們意識不到這些知識點雜交而產生的整體解題思路。從深層次來講，上述三種不同類型的不會解題的原因的根源都在于對課程的整體理解不夠深刻。數學學習的成熟階段的一個表征是執行力，是能不能靈活運用學到的具體知識，解題當然是執行力的基本體現，這只有在對相應的知識點有了整體把握、高度熟練、理解深刻的較高境界下才能達到。做題自然要比單純閱覽教材痛苦很多，但是，也正是通過解題中絞盡腦汁、痛苦思索的掙扎摸索過程，才讓我們的內在能力產生實質性的提高；如果我們只是看課本，那么無論我們重復多少遍，這些知識都很難成為我們自己的；只有在做題的過程中，靈活地運用它們之后，這些知識才能夠真正內化為我們自身思想本能的一部分。（數學學習在這里的特征和計算機編程是類似的，我們都比較了解，如果缺乏大量的實際上機編程經驗，而只是看書，那么無論看多少遍，一個人也不太可能有較佳的編程能力）

創造性地解決問題的基本路徑至少有以下幾條：一，類比，通過對定理證明過程、具體例子的類比，我們能夠解決很多問題；二，借助深厚的功底，敏銳的觀察，豐富的想象，明確的直覺，進而解決某些問題；三，靈感，很多情況下，問題的關鍵性突破來自一些突然而至的靈感；四，與其他人交流碰撞出的思想火花。當然，以上四種情況并非相互獨立，實際情況中的解題過程常常是多種方法的混合。值得強調的是，對每一門數學課程來說，會做題僅僅是必需的第一步，但這是遠遠不夠的，能不能創造性地把握它們、使之成為自身思想體系的一個有機組成部分則重要得多。

（十五）一般與具體。在數學里，最好的理論一定是抽象與具體的有機、完美融合。譬如，希爾伯特空間雖然較為抽象，但是，它最重要的應用實例始終是Fourier series；抽象代數的整體理論也始終沒有脫離有理數域Q、整數環Z、矩陣環以及多項式理論等豐富的具體例子；這些學科里，抽象觀念與具體實例渾然一體、高度統一。抽象、推廣當然是數學的一大生命力所在，但我們抽象、推廣得到的理論必須能夠解決很多的實際問題，必須有大量明確的實例，否則，就不太可能是好的理論。譬如，抽象代數如果只有群、環、模、域這些空洞的一般概念，沒有置換群、可解群、PID、素理想、自由模、射影模等這些具體生動的豐富特例，即不太可能有旺盛長遠的生命力。另外一個簡單的例子是點集拓撲與代數拓撲的基本差別，如所周知，點集拓撲來自對數學分析的抽象，對連通性、緊性、連續性與分離性等基本分析性質作了一般的討論，但這個過程并沒有引入多么深刻的思想；反觀代數拓撲，它使用的是代數手段研究大范圍的幾何性質，無論同倫論還是同調論，都運用了全新的思想，因而，它的威力要比點集拓撲大得多。數學分析中的Stokes公式也是一個較佳的例子，如果我們只有用外微分表示的Stokes公式，沒有聯系曲線、曲面積分的Green公式、Gauss公式與Stokes公式，那么該部分理論也不會具有很大的影響力。總之，眾多情形下如果只是進行一般的抽象，則意義不會很顯著，關鍵是要在這個過程中引入嶄新的思想。平時我們的學習過程也是抽象理論與具體知識的有機融合，課本上的一般理論是抽象的部分，而課后的習題則是抽象知識的具體化，正是這些大量的習題才使得整門課程成為了有血有肉的一個有機整體（自然而然地，課程中的一般、抽象理論應用在習題中的具體問題時，往往需要具體、特定的技巧）。

顯然，抽象推廣與具體特例對數學研究來說都是極為重要的；Atiyah?和Whitney都一再強調過，在抽象理論中，我們需要對其中某些具體特例非常熟悉，反復玩味，通過這些有代表性的特例我們才能形成對理論更完善的整體認識[28]?。在數學（其實是所有的自然科學）中，理論的抽象總是需要建筑在大量唯象理論的基礎之上，比如隱函數定理、Fourier分析、李群等知識之所以很重要，是因為這些基本現象在自然界中普遍存在；因而，沒有堅實經驗基礎的抽象、推廣不太可能有很大的意義。對于代數幾何這個具體的研究領域而言，Deligne在一次訪談中說過，和Grothendieck一起卷入一般性中是很危險的，他需要去聽Serre的講課（里面充滿了很多優美的特例）以便讓自己腳踏實地。

需要說明的是，以上所有的學習規律并不是相互割裂的，在實際學習、研究的過程中，它們都強烈地依賴著其他規律。學習是普遍規律與具體知識的有機融合，兩大方面水乳交融，我們都需要高度留意。

附記：若干學習、科研規律小節：1復雜與簡單。現代數學的復雜性與古典數學不可同日而語，現代數學的大量計算是難以避免的；譬如，偏微分方程理論中一般拋物、雙曲方程的能量估計就有些復雜，幾何分析也需要巨大的計算量；很多情況下，不做大量計算很難得到深入的結果，在數學中，算功是高度重要的，每門課程都是只有做了大量的計算才能領悟出其中的眾多精萃，而且在這個過程之中，我們的計算能力也會有一個不斷增長的過程。另外一些涉及到復雜計算的例子是：調和函數雖然與全純函數性質上非常相似，但調和函數的導數介值性等性質要比全純函數復雜很多；一般橢圓方程Harnack不等式的證明過程要比調和函數的證明復雜得多；同調代數的概念也遠比抽象代數中的基本概念復雜；這種復雜性的增加是數學在深度與廣度兩個方向上不斷發展必然會遇到的整體內在問題。但是數學的奇妙之處就在于，復雜的計算可以導出很簡單的結果，指標定理等即是較佳的例證。概言之，數學是深刻思想與大量計算的交融，兩者都極其重要，缺一不可。

2大問題與小問題。關于這個常見問題，我想Fermi的看法是很正確的：大部分時間做小問題，小部分時間做大問題；因為數學研究中無論是計算、證明，亦或是創造性思考的過程等，都需要積累大量的經驗，這些珍貴的研究經驗大部分時候都是通過不斷做小問題才能逐漸地累積起來，陳省身也說過：“我不認為我能高瞻遠矚。我只是在做一些小問題。”[29]?當然，另一方面，我們也不能終日沉迷于解決一些瑣碎的小問題，而從不去想好的大問題，這種面對困難問題的畏難情緒可能導致我們永遠也做不出優秀的結果，丘成桐就曾經批評過這一浮薄的研究態度。

一直以來，我都強烈地認為，我們上幾代老師的研究觀點較為僵化一些，反復強調的主要是“耐得住寂寞”，“不好高騖遠”，“一步一個腳印”,“嚴師出高徒”等道理，這些久經檢驗的治學經驗自然都很正確；但是數學學習、研究遠遠沒有這么簡單，它的實際過程要比這種簡化了的模式、圖景復雜、深入得多，這是我闡述上面這些觀點的其中的一個內在動機。總的說來，這些規律雖然帶有個人特定經驗和特定學科的印記，但我們認為對于大部分理工科工作人員都具有一定的適用性；當然，它們需要以創造性的方式進入具體理工科從業者的實際工作過程之中。理工科的范圍自然極其廣闊，但是背后竟然有些簡單的普遍性規律，這一點是令人驚異的。與此同時，自覺地運用這些研究規律可以在一定程度上提高我們的工作效率，起到事半功倍的效果；但是，每個理工科專業包涵的信息量都浩瀚復雜，因而，我們自然還是需要長時間的點滴積累，理工科研究的路比較漫長，提煉盡可能多的學習規律只是能夠加快我們行走的速度，但是路本身還是很綿長的。

當然，最后必須說明的是，以上的各種方法未必適合每個理工科學生；以數學家來說，不同的數學家的風格可能存在著巨大的差異（如Hilbert、Sylvester的記憶力很差，即使自己證過的定理都記得不是太清楚；而Cayley、Poincare的記憶力則特強）[30]?；顯然，理工科從業人員的個人風格是千差萬別的，每個人的豐富想象力都有著自己獨特的工作方式，因而，在面對高度復雜的經驗知識時，我們所概括的規律只能起到一般層面的指導意義；在復雜的實際工作過程中，我們需要發揮自身的想象力來賦予大量的具體知識以特定的形狀和明艷的色彩。總之，不同人的治學方法是千門萬戶的，各具特色，關鍵是要找到適合自己的方法。

[]摘自《懷特海文錄》中的文章《自傳》，頁7，浙江文藝出版社，1999年。

[]?這個例子的討論可參看《陳省身文集》收錄的訪談文章《接受張奠宙訪問時的談話》，頁59，華東師范大學出版社，2002年。

[]?如Milnor在一次訪談中所說:“Mathematical conversations are definitely very important. Talking to people, reading other people’s work, and getting suggestions are usually very essential.” “If you are explaining something to someone else, it helps you understand it better. And certainly, if someone is explaining something to you, it can be very important.”?見,?Notices of the AMS,?March 2012, p. 407。

[]?其實情況尚不止如此，不僅學習需要不斷交流，生活經驗的積累最重要的也是與人不斷交流，譬如，懷特海曾指出：“我認為，從人群中間學習遠比從書本中間學習（得到的思想）多得多”。見前引書《懷特海文錄》收錄的文章《永恒的宇宙與暫時的觀念》，頁316。

[]?見《當代數學大師》關于Whitney的介紹，頁51，北京航空航天大學出版社，2005年。

[]?如叔本華所論述道的：“單純習得的真理，如同一條假肢，一顆假牙，或者一只蠟質的鼻子；至多，像一個用別人的皮肉制成的鼻子；只因它是假的，才被粘附與我們。但是，經過我們獨立思考而獲得的真理，則好比一條與生俱來的肢體，只有它才真正屬于我們。”見《叔本華論說文集》，第四卷，第五章《論獨思》，頁348，商務印書館，2000年。

[]如懷特海所說：“凡有實際經驗的教師都知道，教育是一種掌握種種細節的需要耐心的過程，一分鐘，一小時，日復一日的循環。”參見《教育的目的》收錄的名篇《教育的目的》，頁11，三聯書店，2002年。

[]?值得注意的是，這個問題自然不是絕對的，如大數學家JP Serre說過，他從來沒有研究綱領，他只做自己立時感興趣的問題。見< An Interview with Jean-Pierre Serre>,?Mathematical Intelligencer?8(4),1986, 8-13。

[]?正如懷特海所強調的：“人類的頭腦只能研究有限的幾個問題，這些問題不可能包羅大自然中模糊不清的泱泱萬象”，見前引書收錄的文章《哈佛大學走向未來》，頁157。另外，關于這一“堅韌而深刻的思考”的高度重要性，可參考馮·卡門的文章《玻爾、費米、愛因斯坦印象》。

[]?這一觀點來自楊小凱的論文《也談張五常》。

[11]這一思想來源于張晟。

[12]?見前引書《教育的目的》，頁11、12。

[13]?如楊先生所說：“要取得實質性的進展，就必須面對原始的簡單的物理問題，而不是別人的猜想。”見《楊振寧文集》收錄的訪談文章《楊振寧和當代數學》，頁738-739，華東師范大學出版社，2000年。

[14]?楊先生即曾講道：“一個年輕人，把他的眼睛，他的視角向各個地方去注意，多注意一些新發展的東西，不要整天死鉆人家已經做過的東西。”見上引書收錄的文章《我對統計力學和多體問題的研究經驗》，頁666

[15]?關于這個例子的相關討論見《陳省身文集》中的文章《接受張奠宙訪問時的談話》，頁59。

[16]?見前引書《陳省身文集》，頁56。

[17]?參看Atiyah的《純粹數學的歷史走向》一文，見《數學的統一性》，頁13-31，大連理工大學出版社，2009年。

[18]?《給初學者的建議》，收錄在《與數學大師面對面》一書，頁126，浙江大學出版社，2007年。

[19]?如Hayek曾論述道：“科學的進步，既源于有計劃的努力，又同樣源于純偶然的機遇，兩者所占的分量是相等的。”《自由憲章》第二章，頁58，中國社會科學出版社，1999年。又可參看Poincare關于富克斯函數的發現過程的著名例子，見龐加萊著《科學與方法》第一編，第三章，頁29、30，遼寧教育出版社，2001年。Atiyah也有很類似的描述：“（靈感）是一種或然性的結果：思想在你的腦海中飛舞，而有成果的相互作用產生于某些隨機的、幸運的突變”，見前引書，頁121。機遇和偶然性在科學研究中的作用在《科學研究的藝術》一書第三章中得到了較為詳細的討論，書中的幾十個例子有助于我們加深對這一基本研究特點的理解，見貝弗里奇著《科學研究的藝術》，頁28—43,165-173，科學出版社，1979年。

[20]?關于Serre對普魯斯特、福克納、納博科夫、卡爾維諾等人的閱讀經驗可參看胡作玄的《數學大師塞爾的文學閱讀》一文，收錄在《數學與生活》，頁166-170，浙江大學出版社，2007年。關于Cayley對莎士比亞、司各特、簡·奧斯汀等人的閱讀經驗可參看E.T.貝爾著《數學大師》第二十一章，頁458，上海科技教育出版社，2004年。

[21]?見，收錄在Notices of the AMS, Volume 56, Number 2. (2009), p. 217。

[22]?正如惲之瑋在一次訪談中所正確指出的，我們應該花一半的時間做題，另外一半的時間用來思考整個數學體系的內在豐富思想與美感。

[23]?Atiyah對該問題的反思可參看前引書《數學的統一性》收錄的訪談文章《阿蒂亞訪問記》，頁107。

[24]?Milnor曾說道:“ I find that working on mathematics is hard enough without trying to be an expert in everything else.”見前引文,?Notices of the AMS, March 2012, p. 408

[25]?可參看前引書《數學的統一性》，頁125。

[26]?參見前引文< An interview with Jean-Pierre Serre>。

[27]?見《懷特海文錄》中的論文《普通教育中的科學教學》，頁132。

[28]?如Atiyah在一次演講中說道：“我愿意向學數學的學生提出來的最有用的建議，就是對于響當當的大定理總要問一問它是否有一種特殊情形，這種特殊情形既是簡單的而又不是無聊的。”見前引書收錄的綜論文章《數學的統一性》，頁87。

[29]?陳先生的這一觀點見前引書《陳省身文集》，頁67。

[30]?如孔涅所說：“每一位數學家都是一個獨立的個體，而從總體上來看，數學家們的表現行為都傾向于‘費米子’般的特征，即避免在一個太大眾的領域上研究，然而物理學家們的表現卻更像‘玻色子’”。見前引文《給初學者的建議》，收錄于《與數學大師面對面》，頁126。