目錄
- 1.查找問(wèn)題
- 2.表（數(shù)組、鏈表）
2.1 順序搜索（未排序的：線(xiàn)性時(shí)間）
2.2 二分查找（排序好的：對(duì)數(shù)時(shí)間） - 3.散列表（常數(shù)時(shí)間）
3.1 直接尋址表
3.2 散列表
??3.2.1 鏈接法解決沖突
3.3 散列函數(shù)
??3.3.1 除法散列法
??3.3.2 乘法散列法
??3.3.3 全域散列法（隨機(jī)選擇一個(gè)散列函數(shù)，在某次計(jì)算中一直用h，不要理解錯(cuò)了）
3.4 開(kāi)放尋址法
3.5 完全散列
3.6 可擴(kuò)散列 - 4.二叉搜索樹(shù)
- 5.平衡查找樹(shù)
1.查找問(wèn)題
給定一個(gè)n個(gè)元素的序列或集合，在該序列或集合里面查找一個(gè)特定的元素
2.表（數(shù)組、鏈表）
2.1 順序搜索（未排序的：線(xiàn)性時(shí)間）
2.2 二分查找（排序好的：對(duì)數(shù)時(shí)間）
時(shí)間分析：
可得：T(n) = Θ(lgn)
3.散列表（常數(shù)時(shí)間）
如果空間允許，可以提供一個(gè)數(shù)組，為每個(gè)可能的關(guān)鍵字保留一個(gè)位置，以利用直接尋址的優(yōu)勢(shì)。
當(dāng)實(shí)際存儲(chǔ)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)目比全部可能關(guān)鍵字總數(shù)要小時(shí)，采用散列表。在散列表里，根據(jù)關(guān)鍵字計(jì)算出相應(yīng)的下標(biāo)。
3.1 直接尋址表
當(dāng)關(guān)鍵字的全域U比較小時(shí)，直接尋址是一種簡(jiǎn)單有效的技術(shù)。
3.2 散列表
1）全域U很大
2）實(shí)際存儲(chǔ)的關(guān)鍵字集合K相對(duì)U來(lái)說(shuō)很小
因此，將散列表的存儲(chǔ)需求降至為Θ(|K|)
利用散列函數(shù)h，將關(guān)鍵字的全域U映射到散列表T[0..m-1]的槽位上：
3.2.1 鏈接法解決沖突
一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)關(guān)鍵字可能映射到同一個(gè)槽中，稱(chēng)之為沖突。
鏈接法：把散列到同一槽中的所有元素都放在一個(gè)鏈表中。
鏈接法散列的分析：
裝載因子：n個(gè)元素、m個(gè)槽位的散列表T，裝載因子為n/m
最壞情況：所有的n個(gè)關(guān)鍵字都散列到同一個(gè)槽中，查找時(shí)間為Θ(n)
散列方法的平均性能依賴(lài)于所選取的散列函數(shù)h，將所有的關(guān)鍵字集合分布在m個(gè)槽位上的均勻程度。
簡(jiǎn)單均勻散列假設(shè)：假定任何一個(gè)給定元素等可能地散列到m個(gè)槽位中的任何一個(gè)，且與其他元素被散列到什么位置上無(wú)關(guān)。
上面的分析意味著：如果散列表中槽數(shù)至少與表中的元素?cái)?shù)成正比，則有n=O(m)，從而α=n/m=O(1)，所以查找操作平均需要常數(shù)時(shí)間。
3.3 散列函數(shù)
1）用除法進(jìn)行散列——啟發(fā)式方法
2）用乘法進(jìn)行散列——啟發(fā)式方法
3）全域散列——隨機(jī)技術(shù)
一個(gè)好的散列函數(shù)應(yīng)（近似的）滿(mǎn)足簡(jiǎn)單均勻假設(shè)：每個(gè)關(guān)鍵字都被等可能地散列到m個(gè)槽位中的任何一個(gè)，并與其他關(guān)鍵字已散列到哪個(gè)槽位無(wú)關(guān)。
多數(shù)散列函數(shù)都假定關(guān)鍵字的全域?yàn)樽匀粩?shù)集，如果不是，就要找到一種方法將它們轉(zhuǎn)換為自然數(shù)。
3.3.1 除法散列法
h(k) = k mod m
當(dāng)應(yīng)用除法散列時(shí)，要避免選擇m的某些值。m不應(yīng)為2的冪。
一個(gè)不太接近2的整數(shù)冪的素?cái)?shù)，常常是m的一個(gè)較好的選擇。
m不應(yīng)為2的冪，因?yàn)槿绻鹠=2?，則h(k)就是k的n個(gè)最低位數(shù)字。
除非已知各種最低n位的排列形式為等可能，
否則在設(shè)計(jì)散列函數(shù)時(shí)，最好考慮關(guān)鍵字的所有位。
例子：
假定分配一張散列表并用鏈接法解決沖突，表中大約存放n=2000個(gè)字符串，
其中每個(gè)字符有8位。如果不介意一次不成功的查找需要平局檢查3個(gè)元素，
這樣分配散列表的大小為m = 701.
因?yàn)?01接近2000/3，并且不接近2的任何次冪的素?cái)?shù)。
3.3.2 乘法散列法
3.3.3 全域散列法（隨機(jī)選擇一個(gè)散列函數(shù)，在某次計(jì)算中一直用h，不要理解錯(cuò)了）
任何一個(gè)特定的散列函數(shù)都可能出現(xiàn)將n個(gè)關(guān)鍵字全部散列到同一個(gè)槽中。唯一有效的改進(jìn)方法是隨機(jī)地選擇散列函數(shù)，使之獨(dú)立于要存儲(chǔ)的關(guān)鍵字，這種方法稱(chēng)之為全域散列。
全域散列函數(shù)的定義：
全域散列函數(shù)類(lèi)的平均性態(tài)是比較好的：
全域散列法：通過(guò)在運(yùn)行時(shí)聰明地隨機(jī)選擇散列函數(shù)，就可以確保每一個(gè)操作序列都具有良好的平均情況運(yùn)行時(shí)間。
設(shè)計(jì)一個(gè)全域散列函數(shù)類(lèi)（數(shù)論相關(guān)）
3.4 開(kāi)放尋址法
所有的元素都存放在散列表里面。導(dǎo)致裝載因子α不會(huì)超過(guò)1.
1）探查probe
假定不會(huì)刪除元素：
刪除（必須刪除時(shí)，一般采用鏈接法來(lái)解決沖突）：
均勻散列假設(shè)：每個(gè)關(guān)鍵字的探查序列等可能地為m!種排列的任一種。
2）線(xiàn)性探查
若一個(gè)空槽前有i個(gè)滿(mǎn)的槽時(shí)，該空槽為下一個(gè)將被占用的概率(i+1)/m。
證明：若T[h'(k)]若等于這個(gè)i個(gè)槽或者該空槽時(shí)，該空槽都將被填滿(mǎn)，因此概率為(i+1)/m
使用線(xiàn)性探查插入關(guān)鍵字{89,18,49,58,69}：
第一次沖突：49，放到下一個(gè)空閑地址0
第二次沖突：58，與18,89,49沖突
第三次沖突：69，與89,49,58沖突
3）二次探查（平方探查）
選擇二次形式為：i2
第一次沖突：49
第二個(gè)沖突：58，與18,89沖突（比線(xiàn)性查找少）
第三個(gè)沖突：69，與89,48沖突（比線(xiàn)性查找少）
這里證明的核心是：
1）從i取值0..ceil(TableSize/2) 個(gè)備選中，T[h'(k) + i2]均不相同（超過(guò)一半各不相同）
2）因此，若此時(shí)表中至少有一半是空的時(shí)候，則必有一個(gè)空位可以插入
注意：表的大小是素?cái)?shù)非常重要
1）如果表示16，那么備選單元只能在距離散列值1,4,9
因此i取值0-15，i2mod16取值為(0, 1, 4, 9, 16:1, 25:9, 36:4, 49:1, 64:0 ... )
備選單元銳減
2）如果表的大小是4k+3，且使用二次型為±i2，那么整個(gè)表均可被探測(cè)到
4）雙重散列
h2(k)的選擇：
a.函數(shù)一定不能算得0值
b.保證所有單元都能被探測(cè)到
如下例子中選擇h2(k) = R-(k mod R)，T為小于TableSize的素?cái)?shù)，選擇R = 7.
第一次沖突：49， （7 - （49 mod 7）） = 7
第二個(gè)沖突：58， （7 - （58 mod 7）） = 5
第三個(gè)沖突：69， （7 - （69 mod 7）） = 1
這三個(gè)元素分別只有一個(gè)沖突，比二次和一次都要少很多
5）開(kāi)放尋址散列的分析
另一種理解方法：
一次不成功查找中探查的期望次數(shù)，正是知道我們找到一個(gè)空單元的探查的期望次數(shù)。
由于空單元所占的份額是1-α，因此要探測(cè)的單元數(shù)是1/(1-α)
另一種理解方法：
6）再散列
對(duì)于使用平方探測(cè)的開(kāi)放定址散列法，如果表的元素填的太滿(mǎn)，那么操作的運(yùn)行時(shí)間將開(kāi)始消耗過(guò)長(zhǎng)，且插入操作可能失敗。
再散列法：一種解決方法是建立另外一個(gè)大約兩倍大的表（且使用一個(gè)相關(guān)的新的散列函數(shù)），掃描整個(gè)原始散列表，計(jì)算每個(gè)（未刪除）元素的新散列值并將其插入到新表中。
由于不是經(jīng)常發(fā)生，因此實(shí)際效果根本沒(méi)有這么差。
實(shí)現(xiàn)方法：當(dāng)表到達(dá)某一個(gè)裝填因子時(shí)進(jìn)行再散列。
3.5 完全散列
