前言
int a=12;
int b=1.234;
問：a 和 b 在計算機中到底是如何存儲的？
答：轉為二進制？
問：轉成二進制就直接存儲了？
答：...
問：小數 b 如何轉成二進制的？
答：...
我們日常更多的時候都在使用十進制的數，要知道我們的祖先可厲害了，應該很長一段時間都在使用 16 進制。譬如一個成語叫“半斤八兩”，解釋：半斤、八兩輕重相等，比喻彼此不相上下。等等！半斤和八兩怎么相等，對的，宋代一斤就是等于十六兩，當然半斤等于八兩。
都知道計算機使用的是二進制，只用 0 和 1 就能表示數字，但是計算機到底是如何解決數字存儲的問題？下面分別討論整數和小數的存儲：
如何存儲整數
假設我們現在有一個 8 位的操作系統，最高位是符號位，1 表示負數，0 表示正數，所以能表示的最大的整數區間為 11111111 ~ 01111111 => -127 ~ 127。
但是在存儲表達的時候會遇到一個問題，10000000 和 00000000 兩個 0 的問題，+0 和 -0 應該也是相等的，這給電路設計上帶來了很多麻煩和多余的計算規則。
十進制轉成二進制
簡單點的記憶就是：除 2 取余再倒序。
- 12 / 2 = 6..0
- 6 / 2 = 3..0
- 3 / 2 = 1..1
- 1 / 2 = 0..1
0011 倒序 即為 1100，轉成八位即在前面補0，則結果為 0000_1100。
0000_1100 是 java8 中的寫法，我覺得看起來比較舒服且前后連貫，_ 是為了看起來比較清楚人為添加的，后面沿用這種寫法，0000_1100 = 00001100= 0000 1100
都是相等。
一個天才的設計師
看了很多的文檔沒有找到解決這個問題的作者是誰？不管是誰反正提出了補碼這個概念，真的是有效的解決了這個問題，不僅解決了 0 這個問題還帶來了一個更大的優點，后面補充。
正數的原碼、反碼、補碼
正數原碼 = 反碼 = 補碼
- 12 的原碼是 0000_1100
- 12 的反碼是 0000_1100
- 12 的補碼是 0000_1100
這里并沒有廢話，盡是科學。
負數的原碼、反碼、補碼
反碼 = 原碼符號位不變其他位取反
補碼 = 反碼 + 1
- -12 的原碼是 1000_1100
- -12 的反碼是 1111_0011
- -12 的補碼是 1111_0100
0 的存儲
+0
- 原碼：0000_0000
- 反碼：0000_0000
- 補碼：0000_0000
-0
- 原碼：1000_0000
- 反碼：1111_1111
- 補碼：0000_0000
這里應該把前面的問題都解決了吧，補碼不僅解決了 +0 和 -0 的問題，還神奇的把符號位都去掉了，計算機在運行的過程中從而可以更簡單的進行運算。
減法運算
為了效率，計算機底層計算的時候是沒有減法運算，減法運算都轉成加法運算。
12 - 12 => 12 + (-12) => 0000_1100 + 1111_0100 => 0000_0000
- 0000_110
0+ 1111_0100= 0 + 0 = 0 - 0000_11
00 + 1111_0100 = 0 + 0 = 0 - 0000_1
100 + 1111_0100 = 1 + 1 = 0 進 1 - 0000_
1100 + 1111_0100 = 1+ 0 + 進1= 0 進 1 - 000
0_1100 + 1111_0100 = 0+ 1 + 進1= 0 進 1 - 00
00_1100 + 1111_0100 = 0+ 1 + 進1= 0 進 1 - 0
000_1100 + 1111_0100 = 0+ 1 + 進1= 0 進 1 -
0000_1100 +1111_0100 = 0+ 1 + 進1= 0 進 1
因為只能存儲 8 位，最后一個進 1 爆掉就剩下 0000_0000 了。
這里都是以 8 位計算機進行舉例，現在的 32 位或者 64 位計算機都是同理的。
如何存儲浮點數
相信很多人小數轉成二進制都是不知道如何運算的，更別談存儲了，下面我就娓娓道來。
文章剛開始編輯的時候將浮點數稱為小數，由于發現這樣不專業，其實小數不一定都是浮點數，在那個沒有標準各自為政的早計算機時代其實還是有定點數，感興趣可以看參考文檔。
浮點數轉成二進制
1.234 在計算機中轉成二進制是按照是分整數部分和小數部分進行的，整數部分上面以前講到，這里說下小數部分 0.234 為例：
簡單點的記憶就是：乘 2 取整再順序。
- 0.234 * 2 = 0.468 => 整數部分為 0 => 取 0
- 0.468 * 2 = 0.936 => 整數部分為 0 => 取 0
- 0.936 * 2 = 1.872 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.872 * 2 = 1.744 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.744 * 2 = 1.488 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.488 * 2 = 0.976 => 整數部分為 0 => 取 0
- 0.976 * 2 = 1.952 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.952 * 2 = 1.904 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.904 * 2 = 1.808 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.808 * 2 = 1.616 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.616 * 2 = 1.232 => 整數部分為 1 => 取 1 (并將整數部分抹去)
- 0.232 * 2 = 0.464 => 整數部分為 0 => 取 0
- ...
下面就不寫下去了結果是 0.001110111110...，寫的越長精度越高。
可見浮點數存儲必將是一個頭疼的問題，浮點數底層的邏輯肯定也是比整數更為復雜。
IEEE754 標準
電氣電子工程師學會（英語：Institute of Electrical and Electronics Engineers）簡稱為 IEEE，IEEE754是專門規定浮點數該如何存儲的一個標準，規定了四種表示浮點數值的方式：單精確度（32位）、雙精確度（64位）、延伸單精確度（43比特以上，很少使用）與延伸雙精確度（79比特以上，通常以80位實現）。
任意一個浮點數都可以表示為：
(-1)^s 表示符號位，當 s=0，V 為正數；當 s=1，V 為負數。
M 表示有效數字，大于等于 1，小于 2。
2^E 表示指數位。
例子：V = 0.234(十進制) = 0.001110111110(二進制) = 1.110111110 * 2^-3 ，則 s=0 ，M= 1.110111110，E=-3。
IEEE754 規定：
對于 32 位的浮點數，最高的 1 位是符號位 s，接著的 8 位是指數 E，剩下的 23 位為有效數字 M。
對于 64 位的浮點數，最高的 1 位是符號位 s，接著的 11 位是指數 E，剩下的 52 位為有效數字 M。
IEEE754 還有一些特殊的規定：
針對 M
由于 1<= M <=2 ，所以 M 始終為 1.xxxx 形式，xxxx 表示小數，那些對于計算機底層嚴苛的設計師這時候又要將 1 這一位舍掉，只保留 xxxx 部分，這樣的好處是可以多儲存一位有效數字。
針對 E
由于 E 是一個 8 位的無符號存儲，只能表示 0 ~ 255，現實中的指數還存在負數，所以規定：E必須再加上一個中間數，對于 8 位的 E，這個中間數是 127；對于 11 位的 E，這個中間數是 1023，這樣就可以將指數的表達范圍擴大到 -127 ~ +128 和 -1023 ~ +1024。
實際中的取值范圍是 -126~+127，-127 和 128 被用作特殊值處理，雙精度同理。
阮一峰的博客中寫的是 減去一個中間數 應該是有誤的。
舉個例子，如果 E=17，則 17+127 =144 ，實際的存儲指為 144。
針對 E 還有一些特殊值的情況
- 如果指數 E 是 0 并且尾數的小數部分是 0，這個數是 ±0（和符號位相關）。
- 如果指數 E 是 1 并且尾數的小數部分是0，這個數是±∞（同樣和符號位相關）
- 如果指數 E 是 1 并且尾數的小數部分非0，這個數表示為不是一個數（NaN）。
計算
V = 0.234(十進制) = 0.00111011111001110110110010(二進制) = 1.11011111001110110110010 * 2^-3 ，則 s=0 ，M= 1.110111110，E=-3。
根據 IEEE754 標準轉化 :
以 單精度為例
s 不變
E=-3+127=124(十進制) = 0111_1100(二進制)
M=110_1111_1001_1101_1011_0010
結果將他們連接 0_0111_1100_110_1111_1001_1101_1011_0010(s_E_M)
可以在線校驗結果
小結
這篇文章詳細介紹了計算機如何存儲整數以及浮點數，個人也是從朦朧狀態到理解透徹，參考了眾多大佬的文章，在此表示感謝。有問題的朋友可以通過郵箱聯系到我 jake.zou.me@gmail.com。
計算機之美妙不可言啊！
