超現實數，Surreal-Number。
區別于另一個很接近的數學概念：超實數Hyperreal-Number。
超現實數是到目前為止唯一一個在科幻小說中誕生的嚴肅且全面的數學概念。
PS：那本書的嚴謹程度大概已經遠超一般的“數學科幻小說”的范疇了，基本就是一本用對話的形式寫的數學論文。。。當然，我們不要在意這些細節。
PS又PS：當然這個概念也不是這本書完全地憑空想象出來的，此前另一位數學家Conway已經有了類似的想法，不過還沒有系統整理，接著Knuth就給寫成小說了。。。Conway很開心地從此一直沿用了Knuth在小說中所給的“Surreal Number”這個名詞，從而誕生了我們現在所看到的超現實數。
上面不過是周邊介紹，還是來說說這貨吧。
超現實數的定義依賴于下面這三條：
- 每個超現實數都可以寫作< A | B >，其中A和B是兩個超現實數集合，且B中不存在元素小于等于A中的某個元素；
- 所謂一個超現實數a=< a_L | a_R >小于等于超現實數b=< b_L | b_R >，是指a_L中不存在元素使b小于等于它，且b_R中不存在元素小于等于a；
- 如果超現實數a和b滿足a小于等于b且b小于等于a，則稱a和b屬于同一個等價類。
這是一個循環定義的有序集，且在配合上恰當的加法與乘法運算后，可以利用等價類構成最大的有序域，即沒有任何有序域能比超現實數域更大。我們的實數域是其一個子域，而且是非常非常小的一個子域。
在超現實數中，每個數具體是多少我們其實從定義來說并不清楚。
事實上，通過上述定義，我們首先可以證明的應該是a小于等于a（于是a大于等于a）——這一顯而易見的結論其實還是需要證明一下的。
通過小于等于的證明，這個顯而易見的結論可以顯而易見地被證明（這似乎是一句廢話。。。）。
隨后，我們可以證明超現實數a=< a_L | a_R >不小于等于其左集a_L中的任何元素。
因為如果a小于等于a_L中的某個元素b，那么按照小于等于的定義，我們就可以推出a_L中沒有元素可以使b小于等于它，但b顯然小于等于自身，于是矛盾。
同理，a_R中的任何元素也必然不小于等于a。
也就是說，a是介于其a_L中最“大”的元素與a_R中最“小”的元素之間的元素。
用等價類來說，a = < a_L | a_R > ～ < {a_L_max} | {a_R_min} >
但這樣的想法本身卻也是不對的，比如下面這幾個：
a=<|>
b=<a|>
c=<|a>
上面這三個都是合法的超現實數，但卻不能被視為上面所提到的那種“介于左集最大和右集最小”之間，因為其左集或者右集是空集。
這就是定義有趣的地方了——“沒有元素”，對空集來說當然是“沒有元素”了。
所以，超現實數可以寫為以下幾種形式：
<|>
<{a_L_max}|>
<|{a_R_min}>
<{a_L_max}|{a_R_min}>
其中，第一個是最特殊的。
就和自然數可以通過序數的方式來構造一樣：
0={}
1={0}={{}}
2={1}={{{}}}
以此類推。
我們同樣可以利用特殊元素<|>構造出超現實數中的“自然數”（以下采用左最大或者右最小來表示整個左集或者右集）：
0=<|>
1=<0|>
2=<1|>
3=<2|>
...
-1=<|0>
-2=<|-1>
-3=<|-2>
...
很容易驗證這樣的做法的有效性，比如：
0小于等于1，因為0的左集（空集）中沒有元素大于等于1，這是顯而易見的；而1的右集（也是空集）中也不存在元素小于等于0。
是不是頓時感到“空集”和“沒有元素”這一對活寶真的很逆天？
事實上，由于很容易證明1不會小于等于0，于是1和0也不構成等價類，即使0不等于1，于是我們事實上證明了0小于1。
同理可以證明0小于2、3、4......
1小于等于2也是很容易證明的：1的左集只有元素0，而0顯然不大于等于2（利用上面證明0小于1的技巧）；另一方面，2的右集是空集，于是，你懂的。
事實上，利用數學歸納法，我們可以證明如上構造的所有1,2,3,4...和自然數一樣構成一個有序數列，而-1,-2,-3,-4...也是如此。
因此，我們就在超現實數中構造了和自然數等價的系統。
游戲到這里還沒有結束。
讓我們假定，存在一個特殊的超現實數w，其比如上定義的所有大于<|>的數都要大，即：
n=<n-1|>，n小于等于w在limit(n->無窮）。
這樣的數的存在會導致什么呢？
比如我們考慮<w|>，然后就發現這貨比w大，可以記為w+1。
接著，就可以構造w+2=<w+1|>。
于是，如果說w是自然數的正無窮，那么在超現實數中，我們可以安心地構造正無窮+1、正無窮+2這樣離經叛道的數。
我們甚至可以和構造limit(n->無窮; n=<n-1|>)一樣，構造limit(n->無窮; w+n=<w+n-1|>)。
在我們引入超現實數的加法和乘法后，就會發現這貨等于2w。
然后，還有w2甚至ww乃至www....^w這樣大得無法想象的數。
而，這在實數域中是不能定義的東西。
所以我們才會說，超現實數是比實數大得多得多的存在。
嗯，今天就先簡單介紹到這里吧。
