在前面，我們對(duì)OpenGL中繪圖做了簡(jiǎn)單的介紹，還想繼續(xù)深入OpenGL的后面的內(nèi)容，就需要熟悉OpenGL中涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，本篇文章主要介紹OpenGL中的基本數(shù)學(xué)。（原博主鏈接：https://blog.csdn.net/wangdingqiaoit/article/details/51383052 ）
向量的概念
向量是研究2D、3D數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)工具。向量V是一個(gè)既有大小又有方向的量（聯(lián)系位移和速度的概念）。在數(shù)學(xué)上，常用一條有方向的線段來(lái)表示向量。例如下圖n維空間的向量v=AB→=(v1,v2,...,vn)v=AB→=(v1,v2,...,vn)如下圖所示，向量起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B：
注意：
- 向量的大小就是向量的長(zhǎng)度（模），向量的長(zhǎng)度是非負(fù)的；
- 向量的方向描述了向量的指向；
- 向量是沒(méi)有位置的，與點(diǎn)是不同的；
- 向量與標(biāo)量不同，變量是只有大小而沒(méi)有方向的量，例如位移是向量，而距離是標(biāo)量；
零向量與單位向量
向量的長(zhǎng)度即模，定義為:
模等于0的向量成為0向量，模等于1的向量叫做單位向量。注意零向量的方向是任意的。
由一個(gè)向量v求與它同方向的單位向量過(guò)程稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化(normalization）,這個(gè)單位向量成為標(biāo)準(zhǔn)化向量(normalized vector)。計(jì)算過(guò)程為:
三角形法則和平行四邊形法則
兩個(gè)向量a和b，當(dāng)將b的起點(diǎn)放在a的終點(diǎn)，連接a的起點(diǎn)和b的終點(diǎn)的向量成為向量a,b之和，記為:c=a+b,如下圖所示:
物理上力學(xué)求和經(jīng)常使用平行四邊形法則，表達(dá)的是向量加法運(yùn)算的結(jié)合律，即:a+b=b+a,如下圖所示:
與一個(gè)向量a大小相同，方向相反的向量，稱(chēng)為向量a的負(fù)向量，兩者相加得到零向量，即:
a+(?a)=0
向量夾角
兩個(gè)非零向量的夾角規(guī)定為不超過(guò)π的角度θ，即：0≤θ≤π，如下圖所示：
注意這個(gè)夾角的范圍。當(dāng)θ=π/2稱(chēng)兩個(gè)向量a與b垂直，當(dāng)θ=0或者π時(shí)，稱(chēng)向量a與b平行。
向量點(diǎn)積
向量點(diǎn)積，也稱(chēng)為向量的數(shù)量積，點(diǎn)積的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，其定義為: A.B=|A||B|cosθ，其中θ表示向量A和B之間的夾角。
向量點(diǎn)積的幾何意義
要理解點(diǎn)積的幾何意義，首先了解概念向量在軸上的投影(scalar projection )，這個(gè)投影計(jì)算得到一個(gè)標(biāo)量。向量A在B上的投影定義為: AB=|A|cosθ。如下圖所示：
則可以寫(xiě)為: A.B=|A|BA=|B|AB。
在空間幾何中，例如n空間中，向量的坐標(biāo)表示為: A=(a1,b2,?,cn) ，B=(b1,b2,?,bn), 則兩個(gè)向量的點(diǎn)積可以表示為:
向量點(diǎn)積的應(yīng)用
向量點(diǎn)積的一個(gè)重要應(yīng)用在于，可以快速求出兩個(gè)向量的夾角余弦。
兩個(gè)向量的夾角余弦計(jì)算公式為:
當(dāng)a和b都是單位向量時(shí)，兩單位向量的夾角余弦值為:
cosθ=a.b。
因此，我們能很快的計(jì)算出兩個(gè)單位向量的夾角余弦，在計(jì)算光照時(shí)經(jīng)常使用。
另外當(dāng)一個(gè)向量為單位向量時(shí):
向量的叉積
兩個(gè)向量a和b的叉積，結(jié)果是一個(gè)向量c=a×b，c的方向垂直于a和b，它需要根據(jù)右手規(guī)則來(lái)確定，c的大小等于：
叉積如下圖所示：
注意c的方向需要根據(jù)右手規(guī)則來(lái)確定。所謂右手規(guī)則是指，將向量a與b放在同一個(gè)起點(diǎn)時(shí)，當(dāng)右手的四個(gè)手指從a所指方向轉(zhuǎn)到b所指方向握拳時(shí)，大拇指的指向即為a×b的方向。如下圖所示：
尤其要注意 a×b≠b×a，事實(shí)上，a×b=?b×a。在利用以坐標(biāo)形式表示向量a和b時(shí)，在3D空間中，叉積的結(jié)果用矩陣表示為：
叉積的幾何意義
叉積的模可以視為以a和b為兩邊的平行四邊形的面積，如下圖所示：
其中|b|sinθ可以視為平行四邊形的高，計(jì)算后a×b的模即為平行四邊形的面積。
叉積的應(yīng)用
在OpenGL圖形編程中，叉積經(jīng)常在已知兩個(gè)方向時(shí)，用來(lái)確定第三個(gè)方向。例如已知相機(jī)的朝向dir和側(cè)向量side，則相機(jī)的頂部向量為: up=dir×side，后面再介紹相機(jī)矩陣時(shí)會(huì)用到。
投影向量的計(jì)算
一個(gè)向量a在另一向量b上的投影向量，包括與b平行的部分a1和與b垂直的部分a2。a1即是之前提到的scalar projection，不過(guò)這里a1是一個(gè)向量。具體過(guò)程如下圖所示:
上圖可知與b平行分量a1可計(jì)算為:
垂直分量a2計(jì)算為:
投影向量的應(yīng)用
投影向量的計(jì)算過(guò)程，是一個(gè)向量分解的過(guò)程，這種向量分解的思路在后面推導(dǎo)其他內(nèi)容時(shí)很有幫助，例如求解后面的物體旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)會(huì)派上用場(chǎng)。
矩陣的概念
矩陣從形式上就是一個(gè)數(shù)字表，以行和列的形式呈現(xiàn)，簡(jiǎn)單的矩陣如下圖所示:
矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n可以不相同，m行n列矩陣記為矩陣Am×n。當(dāng)行數(shù)和列數(shù)相等時(shí)，m= n ,矩陣A也稱(chēng)為n階方陣。例如下圖給出了3x4矩陣A3×4的抽象表示:
行向量和列向量
對(duì)于1xn的矩陣，我們稱(chēng)之為行向量，nx1的矩陣稱(chēng)為列向量。一般可以用列向量表示空間中的向量(以行向量表示也可以)，例如上面的向量a=(ax,by,cz)可以用列向量表示為:
注意：OpenGL編程中習(xí)慣用列向量表示點(diǎn)或者向量。矩陣在內(nèi)存中以列優(yōu)先存儲(chǔ)，但是具體傳遞參數(shù)時(shí)，一般函數(shù)提供了是否轉(zhuǎn)置的布爾參數(shù)來(lái)調(diào)整存儲(chǔ)格式。例如void glUniformMatrix4fv函數(shù)提供了布爾變量 GLboolean transpose 來(lái)表示是否轉(zhuǎn)置矩陣。
零矩陣和n階單位陣
mxn矩陣，如果所有元素都為0，則成為零矩陣。 對(duì)于一個(gè)n階方陣，如果主對(duì)角線元素全為1，其余元素都為0則稱(chēng)為n階單位陣。對(duì)于一個(gè)矩陣Am×n，存在單位陣滿足:ImA=AIn=A。 任意矩陣Am×n與對(duì)應(yīng)的零矩陣Bn×p相乘得到零矩陣。
矩陣轉(zhuǎn)置
轉(zhuǎn)置操作即是將矩陣的行和列互換，即原矩陣A的第一行變?yōu)檗D(zhuǎn)置矩陣AT的第一列，原矩陣A的第二行變?yōu)檗D(zhuǎn)置矩陣AT的第二列，其他部分依次類(lèi)推。
則其轉(zhuǎn)置矩陣為:
矩陣的運(yùn)算
矩陣加減法
兩個(gè)矩陣A和B要能執(zhí)行加減法，必須是行和列數(shù)目相等的，計(jì)算過(guò)程，即對(duì)應(yīng)的元素相加(Aij+Bij)或者相減(Aij?Bij)，如下圖所示:
標(biāo)量和矩陣乘法
用一個(gè)數(shù)k乘以矩陣A，結(jié)果為矩陣A中每個(gè)元素乘以數(shù)k。例如:
矩陣和矩陣乘法
兩個(gè)矩陣Am×n和Bn×p要執(zhí)行乘法操作，需要滿足: 左邊矩陣的列數(shù)和右邊矩陣的行數(shù)相等，并且結(jié)果矩陣為Cm×p。
計(jì)算過(guò)程如下圖所示:
其中
,即C中第i行第j列的元素，即為矩陣A的第i行和第j的對(duì)應(yīng)元素相乘后的和。例如:
注意矩陣乘法不滿足交換律，一般而言矩陣乘積AB≠BA（當(dāng)然存在特殊情況下滿足），因此在OpenGL中應(yīng)用變換矩陣時(shí)注意變換應(yīng)用的順序。變換的例子后面會(huì)介紹。
矩陣和矩陣相乘舉例
給定兩個(gè)矩陣相乘，過(guò)程如下圖所示：
熟悉了矩陣相乘后，則上述向量的點(diǎn)積公式可以重新表示為:
則兩個(gè)向量的點(diǎn)積可以表示為:
矩陣不滿足交換律舉例
這里AB≠BA，提醒我們注意矩陣相乘時(shí)的順序。
矩陣和向量相乘
矩陣和向量相乘是矩陣和矩陣相乘的特例，給定矩陣A和列向量v，相乘過(guò)程如下所示:
行列式
行列式是n階方陣的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)的行列集合，例如2階方陣A表示為:
關(guān)于矩陣行列式計(jì)算的更多方法可以參考線性代數(shù)教材。
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總結(jié)：OpenGL中向量與矩陣的簡(jiǎn)要介紹大概就這些了，要想了解全部的內(nèi)容或者更詳細(xì)的內(nèi)容，可以參考一下資料：
- 《3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：圖形與游戲開(kāi)發(fā)》清華大學(xué)出版社
- 線性代數(shù)》武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 高等教育出版社 齊民友主編
- 《交互式計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-基于OpenGL著色器的自動(dòng)向下方法》電子工業(yè)出版社 Edward Angle等著
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系列連載
OpenGL入門(mén)（一）-- 圖形API簡(jiǎn)介與作用
OpenGL入門(mén)（二）-- 快速了解OpenGL下的專(zhuān)業(yè)名詞
OpenGL入門(mén)（三）-- OpenGL坐標(biāo)系解析與坐標(biāo)變換
OpenGL入門(mén)（四）-- OpenGL坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換
OpenGL入門(mén)（五）-- OpenGL渲染流程圖解析
OpenGL入門(mén)（六）-- OpenGL 固定存儲(chǔ)著色器的理解使用
OpenGL入門(mén)（七）-- 圖形圖像渲染中的深度緩沖區(qū)
OpenGL入門(mén)（八）-- OpenGL向量和矩陣簡(jiǎn)介
OpenGL入門(mén)（九）-- OpenGL 紋理簡(jiǎn)單介紹
