人類進步通常是由認識自然的渴望所驅(qū)動的。這種探求事物的本質(zhì)、追根溯源的努力，遠遠超過了單純滿足生存需求和提高生活質(zhì)量的要求。當然，這并不是說所有人都會主動去追尋自然奧秘，研究抽象的數(shù)學命題。為了生存而整日奔波忙碌的蕓蕓眾生，幾乎不可能有時間奢侈地思考人生的意義。然而，人類歷史上卻始終不乏先驅(qū)來思考萬事萬物的根源，探尋自然界的構(gòu)成方式和法則。
摘錄自《數(shù)學沉思錄》，作者Mario Livio 1945年出生于羅馬尼亞，1950年定居以色列，耶路撒冷希伯萊大學本科畢業(yè)，魏茲曼科學院碩士，特拉維夫大學博士。
數(shù)學是對具象世界的抽象化表示，具象世界包含了萬事萬物。正如英國物理學家James Jeans表示：“宇宙好像是一位理論數(shù)學家設計的。”
我們先舉幾個例子：
l人類胚胎細胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度遞減，為什么？繁殖速度的函數(shù)關系和概率分布是怎么樣的？
l甲醛已經(jīng)被世界衛(wèi)生組織確定為致癌和致畸形物質(zhì)，是公認的變態(tài)反應源，也是潛在的強致突變物之一，誘發(fā)白血病。新裝修的房間吹吹風三四個月，就能安全入住嗎？甲醛衰減釋放到安全限值以下，需要多久時間？它的衰減函數(shù)是多少？空氣凈化器能夠加快甲醛衰減，還是能夠徹底去除甲醛？
l有一筆資金100萬，存入連續(xù)復利計算的銀行，年利率為4%，那么6年后，利息本金總余額為多少？
l如果你平均每個小時接到2次電話，那么你平均等待每一次電話的時間是多長時間？
l你的手機中電子元器件過了多少年不能正常工作，那么元器件的壽命分布是什么類型的？
l電蚊拍啪啪啪電死蚊子以后，放開開關，電蚊拍電網(wǎng)上殘余的電壓會多久變?yōu)?，它的函數(shù)是什么樣的？
以上問題看似各不相關，但是經(jīng)過物理學家，化學家，金融家，生物學家等科學家初步抽象化后，再最終經(jīng)過n層抽象化，發(fā)現(xiàn)他們背后的規(guī)律極其相似，都來到了數(shù)學家的大門。
這些規(guī)律都涉及到神奇的自然指數(shù)，也叫自然常數(shù)，自然底數(shù)，原名雙曲對數(shù)，是以e為底的對數(shù)，其中，e是一個無理數(shù)常數(shù)，近似于2.718281828459。
e是所有連續(xù)增長過程都共有的基本增長率，而負數(shù)-e，可以理解為所有連續(xù)衰竭過程都共有的基本衰減率。
也就是說常識上理解的生老病死等具象背后，有著一個神奇的數(shù)字，e在規(guī)劃著量的變化，直到質(zhì)的變化。
先用python畫一個自然衰減的概率分布曲線：
lam = 0.5
x = np.arange(0, 15, 0.1)
y = lam * np.exp(-lam * x)
plt.plot(x,y)
plt.title('Exponential: $\lambda$ =%.2f' % lam)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability density')
plt.show()
l人類胚胎細胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度遞減，為什么？繁殖速度的函數(shù)關系和概率分布是怎么樣的？
例如細胞或細菌的繁殖，也會經(jīng)歷指數(shù)增長期這個階段，大量快速繁殖，然而如果一直按照這個速度持續(xù)下去，可能地球都無法承擔一個成人的重量，如果沒有死亡，也無法承擔人口數(shù)量的指數(shù)增長。所以又有了新的限制性設計，即控制增長常數(shù)k來實現(xiàn)對生長繁殖的限制。
美國學者海爾弗利在1961年提根據(jù)實驗研究發(fā)現(xiàn)動物胚胎細胞在成長過程中，其分裂的次數(shù)是有規(guī)律的，到一定階段就出現(xiàn)衰老和死亡。2009年的諾貝爾醫(yī)學獎獲得者是三位長期從事染色體研究的科學家，發(fā)現(xiàn)了端粒(telomere)和端粒酶(telomerase)，端粒酶的作用是維持端粒的長度。出生前端粒酶很活躍，到四、五歲時就基本停止活動，端粒開始隨著時間而退化，導致細胞衰老并最終停止分裂。
l甲醛已經(jīng)被世界衛(wèi)生組織確定為致癌和致畸形物質(zhì)，是公認的變態(tài)反應源，也是潛在的強致突變物之一，誘發(fā)白血病。新裝修的房間吹吹風三四個月，就能安全入住嗎？甲醛衰減釋放到安全限值以下，需要多久時間？它的衰減函數(shù)是多少？空氣凈化器能夠加快甲醛衰減，還是能夠徹底去除甲醛？
例如甲醛污染物的濃度隨時間的變化符合指數(shù)函數(shù)的變化趨勢:
ct=c0*exp(-k*t)
通過實際測量，可以通過回歸分析，計算出甲醛的k衰減常數(shù)，得出甲醛污染物隨時間t的曲線。而空氣凈化器本質(zhì)上是通過改變k衰減常數(shù)，加速甲醛污染物的衰減速度，經(jīng)過比較短的時間后，如果產(chǎn)品能力足夠強大，使得人們在相對有限空間的房間內(nèi)能夠相對安全的居住。而不是從根本上殺死或去除污染物，所以如果新裝修的房間檢測出甲醛等污染源，而又無法通過其他方式從根本上降解轉(zhuǎn)化為安全化學物的化，凈化器要常開常用才能實現(xiàn)“消除”污染物的目的。
l有一筆資金100萬，存入連續(xù)復利計算的銀行，年利率為4%，那么6年后，利息本金總余額為多少？
對比下兩者復利計算的差異：
簡單復利計息的計算公式：本利和=本金×（1+利率）^期數(shù)。如果是簡單復利計算，F(xiàn)V=126.53萬。
如果連續(xù)復利計息，即無時無刻不在計息，也就是時間進行無線細分后，在有理數(shù)和無理數(shù)的t數(shù)軸上連續(xù)計息。
連續(xù)復利計息的計算公式：投資的終值FV=C0×e^(rt)，這里r=0.04，t=6，C0=100萬，則六年后127.12萬，比簡單復利計算多了5900。
其他兩個問題或類似問題，基本上也都是按照類似函數(shù)關系進行展開分析。
我們可以將指數(shù)函數(shù)進行泰勒級數(shù)展開，或加入歐拉公式，發(fā)現(xiàn)將e拆分后，是有極有規(guī)律的數(shù)值合成的，可以由冪函數(shù)展開。
而在復數(shù)平面空間，則可以將指數(shù)函數(shù)展開為三角函數(shù)，也就是正弦和余弦函數(shù)，
如果將x的n次方作為一組函數(shù)基底，即相互垂直的n維坐標軸，而將1/n!作為系數(shù)，則e^x函數(shù)可以看作是矩陣[0,1/1!,1/2!,…1/n!]和[x^0,x^1,x^2…x^n]的乘積。
其中第一個矩陣也可以成為n維行向量，第二個矩陣看作n維列向量，即轉(zhuǎn)換為向量空間的數(shù)量積（又叫內(nèi)積、點積）。
如果將n設定為無窮大，則e^x函數(shù)可以展開為無窮維空間的向量運算，數(shù)學家們對無限維度函數(shù)空間的概念和運算，展開為一門新的數(shù)學分支，泛函分析（functional analysis），從而打開了另外一個天地。
泛函分析研究的主要對象是函數(shù)構(gòu)成的空間，是由對變換（如傅立葉變換等）的性質(zhì)的研究和對微分方程以及積分方程的研究發(fā)展而來的。
那么問題來了，如果將e^x函數(shù)作為第一層抽象，而將泰勒冪函數(shù)展開作為第二層抽象，將向量空間和其算子作為第三層抽象的話，那么泛函分析這種經(jīng)過n重抽象之后的純數(shù)學計算有什么價值和意義呢？
泛函分析是
舉一個最簡單的具象例子：
一個圓球在重力加速度作用下，從A點到不在它垂直下方的另一點B點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短。
也就是著名的最速曲線問題。
如果任意作圖，A點到B點之間可以畫直線，也可以做任意的曲線，這些曲線如果用函數(shù)表示，則可以為無窮個函數(shù)。
那么這無窮個函數(shù)中，圓球沿著哪個函數(shù)的曲線，時間最短呢？
通過泛函分析，計算得出歐拉－拉格朗日方程。這個方程稱為極值函數(shù)。
泛函分析也廣泛應用于圖像降噪處理等現(xiàn)實商業(yè)技術(shù)領域，在理論學科例如數(shù)學物理方程、概率論、計算數(shù)學、信號與系統(tǒng)、連續(xù)介質(zhì)力學、量子物理學等學科有著廣泛的應用。
我們再回到這個函數(shù)，這里自然對數(shù)函數(shù)是由x^n函數(shù)，即冪函數(shù)組合而成。
冪函數(shù)在自然和社會現(xiàn)象中，又有哪些應用呢？
股市中有80％的投資者只想著怎么賺錢，僅有20％的投資者考慮到賠錢時的應變策略。但結(jié)果是只有那20％投資者能長期盈利，而80％投資者卻常常賠錢。
著名的20/80原則，也稱為帕累托分布，長尾分布就是冪函數(shù)分布，也就是冪律分布，其廣泛存在于物理學、地球與行星科學、計算機科學、生物學、生態(tài)學、人口統(tǒng)計學與社會科學、經(jīng)濟與金融學等眾多領域中,且表現(xiàn)形式多種多樣.在自然界與日常生活中,包括地震規(guī)模大小的分布、月球表面上月坑直徑的分布、行星間碎片大小的分布 、太陽耀斑強度的分布 、計算機文件大小的分布 、戰(zhàn)爭規(guī)模的分布、人類語言中單詞頻率的分布 、大多數(shù)國家姓氏的分布 、科學家撰寫的論文數(shù)的分布、論文被引用的次數(shù)的分布、網(wǎng)頁被點擊次數(shù)的分布 、微博的粉絲數(shù)量、不公平社會中的財富分配、書籍及唱片的銷售冊數(shù)或張數(shù)的分布、每類生物中物種數(shù)的分布、甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數(shù)的分布等,都是典型的冪律分布。
既然提到了分布，我們不能不提大名鼎鼎的正態(tài)分布（高斯分布）。這個分布和e又有什么關系呢？
我們看一個簡單的標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，就知道它的底依然是e，也就是自然對數(shù)。這里函數(shù)依然可以通過泰勒展開為冪函數(shù)的組合。
同樣有關分布，我們再回到這個問題：
l如果你平均每個小時接到2次電話，那么你平均等待每一次電話的時間是多長時間？
對于接電話這個事件發(fā)生的頻率和次數(shù)，經(jīng)研究任務是泊松分布。而等待一次電話的平均間隔時間，則又變成了指數(shù)形式。
當一個隨機事件，例如某電話交換臺收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質(zhì)發(fā)射出的粒子、顯微鏡下某區(qū)域中的白血球等等，以固定的平均瞬時速率λ（或稱密度）隨機且獨立地出現(xiàn)時，那么這個事件在單位時間（面積或體積）內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)或個數(shù)就近似地服從泊松分布P(λ)。
p(τ)=λe^-λτ
而時間間隔，則呈現(xiàn)指數(shù)形式，而且底數(shù)為e!
如果耐心看到這里，也許會有一個直觀的疑問，即這些復雜的各種各樣的分布背后，函數(shù)背后，既然都和e有關，是否存在一種或若干種變換，或一個空間，能夠?qū)⑺蟹植己透怕蕟栴}統(tǒng)一為更一般性或簡單化的規(guī)律呢？
這個問題有賴于數(shù)學家們的進一步抽象化和創(chuàng)新，也有賴于人們對數(shù)學工具的應用。
小結(jié)：
數(shù)學因其高度抽象思維的特征，廣泛應用于各種理論學科和現(xiàn)實實踐當中，數(shù)學理論工具的應用和遷移，也帶來了更多的創(chuàng)新。
引申閱讀：
