數學是一種哲學思想，是邏輯學，也是形而上學。運用數學這個哲學或邏輯學或形而上學的工具處理科學問題，是一種哲學智慧。今天說說“有效數字思維”，并用有效數字思維解決一個科學普及中的實際問題。全文有兩個部分，第一部分為引子，第二部分為正文，如果對有效數字的概念比較清晰，可以直接閱讀第二部分。
一
王志安在微博上說：“‘慶祝王局粉絲突破500萬四舍五入就是一個億’大型抽獎開始啦！”
500萬四舍五入就是一個億，哈哈，這不是惡搞嗎？當然是惡搞，王志安為了慶祝自己的粉絲突破500萬，搞抽獎活動，把500萬四舍五入說成一個億，就是玩幽默、要喜感。
不過我們可以分析一下，王志安的500萬，四舍五入為什么可以算成一個億，而不是別的數字？500萬這個數字，有三位數字，如果是個位、十位數四舍五入，都還是500萬，百位四舍五入，這才是一個億。可見，四舍五入是有規則的，王志安這里，他需要一個以億為基本單位的數字，這才會把500萬四舍五入得到一個億。我查看了一下，PC版，當前王志安的粉絲數是5068996個。微博上對用戶粉絲的統計是精確到1個的。但是手機版用戶信息中，超過10000的，以萬個為計算單位。超過1億個的，以億個為計算單位。萬個或者億個都是約數，微博使用的計算規則不是四舍五入，而是舍去零頭。比如王志安的5068996個，用萬個為單位就是506萬個。數字的修約規則不限于四舍五入，還有其他法則（如四舍六入五成雙）。但是常用的規則是四舍五入。
微博用戶的粉絲個數，最小為0，最高目前是謝娜的1.21億個。超過1億個的還有何炅和楊冪，分別是1.08億個和1.0億個。我們從用戶的粉絲數目，可以大致判斷哪個是大v。通常粉絲數超過一百萬的，可以視為大v。大v的粉絲數，從幾百萬、幾千萬到上億不等。我們不需要了解大v的精確到1個的粉絲數，只要知道一個大致的數目就行了，比如謝娜的粉絲數是121712659，我們沒有必要記著這個9位數，只知道1.21億個就行了，或者知道過億個就行了。王志安的粉絲數是506萬個，我們知道王志安屬于幾百萬數量級的大v就行了。
通常，在十進制數字中，每個位數都是一個數量級，可以用10的幾次方表示，位數相差幾個就可以說相差幾個數量級。比如10000，是10的4次方，那么，1萬到9萬的數字我們都可以稱之為10的4次方數量級。王志安的粉絲數就可以說是5百萬數量級。謝娜、何炅、楊冪的粉絲數都可以說是一億數量級。王志安和謝娜比，相差2個數量級。
我們遇到近似計算，就有一個數字的處理規則問題。比如圓周率π是個無理數，其位數是無窮無盡的，你的計算公式中如果出現π，就有一個π的位數的選取的問題。現在我們用一個鋼卷尺測量一個圓的直徑，首先得知道鋼卷尺的測量精度，我們發現尺子的最小刻度是1毫米，那么尺子的精度就是1毫米。1毫米之內，可以用肉眼大致估計一下，肉眼的測量精度大約為0.2毫米。現在測量的直徑d為111.4毫米，求周長。周長L=dπ。這時候π我們取幾位數好呢？因為d有四位數，且第四位是約數，因此，π取4位數即可，四合五入取π=3.142，則L=111.4×3.142=350.0188。這就完了嗎？肯定不行，你還得做四舍五入處理，因為兩個乘數的有效數字都是4位，積也只能是4位，第五位四舍五入，答案應該是L=350.0。你也可以用計算器計算，直接調用計算器儲存的π，積是一長串數字：L=349.97342160990296676473847289734。第五位四舍五入，L=350.0。
注意，這里的350.0不能寫成350，因為350.0有4位有效數字，你寫成350就成3位或者2位有效數字了（350，用科學計數法表示，如果是3.50×10的2次方，就是3位有效數字；如果是3.5×10的2次方，就是2位有效數字）。有效數字的表示法，有幾位有效數字就要寫滿幾位數字，末尾是0時，不能省略；有效數字，要用10的方次表示，這叫科學計數法。比如，1.0000是五位有效數字，你寫成1就只有一位有效數字了，這個1可以理解成0.95到1.4之間的任意一個數字四舍五入而得，跟1.0000的有效位數相距甚遠。1.0000的意義是0.99995到1.00004之間的任意數四舍五入而得。可見1與1.0000之間有天壤之別。有效數字的位數，大于等于1的，有幾位算幾位，比如12340.01或者1.234001×10的5次方，七位有效數字；小于1的，從第一個出現非0數字算起，比如0.0001060或者1.060×10的-4次方，四位有效數字。
乘除法的近似計算法則? 若干個數字相乘或除（除數不能是0）的積或者商的有效數字的位數跟有效數字位數最少的那個乘數、被乘數或除數、被除數相同。
二
加減法的近似計算法則? 先把小數點后位數最多的那個數字四舍五入，保留小數點后有效數字比最少的那個數字的有效數字多一位，相加后四舍五入，結果的有效數字的位數跟有效數字最小的那個近似數一致。
舉例說明。125.05和0.00500相加，得125.05500，取兩位有效數字應為125.06。因為125.05小數點后只有兩位有效數字，因此，加和之后只能保留小數點后2位。再比如，1,250025和0.0020相加，1,250025小數點后有六位有效數字，而0.0020小數點后第三位才是有效數字且只有兩位有效數字，答案只能保留到小數點后第4位，結果是1.252025，四舍五入為1.2520。五十年前的課本說北京猿人距今有五十萬年，現在是不是可以說五十萬零五十年呢？顯然不能，50萬是個約數，誤差以數萬年計，跟50相加，后者忽略不計，仍然是五十萬年。
下面我們用有效數字原理解決一個科學中的實際問題。某甲黃曲霉素暴露量問題。
黃曲霉素幾乎無所不在，不論是主糧還是調料還是嗜好性食品，都很難避免黃曲霉素的存在。
現在的問題是，存在不一定對你構成威脅。比如說，兩個人，都是以大米為主食，一個人是大飯桶，一天能吃1000克大米，另一個人吃飯像小貓，一天只吃50克大米，這樣，同樣黃曲霉素含量的大米，兩個人的暴露量就是大不相同的。
現在定義一個新概念，進入體內的黃曲霉素的量叫黃曲霉素暴露量（基本上就是吃進去的，糧食加工企業從業人員可能會有吸入）。相對暴露量是指單位體重每天的暴露量（單位可以是：納克每千克每天/ng/kgBM·d）。
實驗研究結果證明，黃曲霉素本身并非致癌物質，但是有極少量的黃曲霉素B1跟體內的氧化合，生成黃曲霉素B1-8,9-環氧化物（AFBO）。可以通過測定尿中的AFBO-N7-鳥嘌呤來間接推算體內的AFBO。我這里計算的是黃曲霉素B1的暴露量，僅作為有效數字原理分析方法的示例。
我們現在舉例說明相對暴露量的計算。某甲體重60千克，每天吃300克大米，求某甲的黃曲霉素B1相對暴露量。
大米黃曲霉素B1的平均含量按照國家標準規定的限量10μg/kg的一半計算，即5μg/kg，那么，某甲的黃曲霉素B1相對暴露量是：5×0.300/60=0.025[μg/（kgBM·d）]=925[ ng/（kgBM·d）]。
現在你說，某甲不可能光吃大米，對啊，他每天的相對暴露量是每種食物相對暴露量的總和。
我們現在就計算他的總相對暴露量。某甲除了吃大米，還吃蔬菜水果，蔬菜和水果通常不含黃曲霉素，但是他炒菜用的是花生油，用量是20克，黃曲霉素B1含量是1.0μg/kg；醬油用了5克，黃曲霉素B1含量是1.0μg/kg；辣椒粉用了1克，黃曲霉素B1含量12μg/kg。飯后，他喝了一壺普洱茶。已知他的普洱茶黃曲霉素B1含量是2.7μg/kg，他用了2克茶葉；假定某甲把2克茶葉吞吃了。含量數據均來自文獻。
計算結果見表。
合計計算的初步結果是25.662，取2位有效數字，四舍五入得26[ ng/（kgBM·d）]。我們從某甲的食物結構看，他的黃曲霉素B1的主要來源是大米，其他都是零頭，因此，這個人要想顯著降低黃曲霉素B1暴露量，首先應該是降低大米的黃曲霉素暴露量。如果他覺得大米是主食，滿不在乎，而把精力用在降低花生油、醬油、辣椒粉、普洱茶中的黃曲霉素，他就是事半功倍，甚至是白費了，因為你即便不吃醬油、辣椒粉、普洱茶，也降低不了多少黃曲霉素B1的暴露量。國家標準中大米的黃曲霉素B1限量是10μg/kg，他如果能找到黃曲霉素B1含量只有2μg/kg的優質大米，那么他的黃曲霉素B1暴露量就能降低一大半。繼續降低大米的黃曲霉素B1含量，難度很大。如果他已經食用優質大米了，那就沒辦法了，他只能坦然面對每天必須暴露的黃曲霉素B1。人不能不吃飯啊。至于花生油，他現在用的是大工業生產的優質產品，黃曲霉素B1含量只有1μg/kg，但是他如果改吃土法壓榨的花生油，黃曲霉素B1含量則可以高達40μg/kg或相對暴露量13ng/(kgBN·d，那就不可小覷了。
即便是黃曲霉素B1含量只有2μg/kg的優質大米【上海大米平均黃曲霉素B1含量約為1.9μg/kg，見上海交通大學學報（醫學版）2011年第10期）】，他的黃曲霉素B1相對暴露量仍然高達10 ng/（kgBM·d），跟花生油、醬油、辣椒粉、普洱茶比，仍然是獨占鰲頭。所以，我們遇到若干數字相加的問題時，就要有四舍五入和有效數字的數學思維，知道哪個是重點，哪個可以忽略不計，不能面面俱到，更不能本末倒置，逮著可以忽略不計的數字不放，而把大頭視若敝屣。正如食品中的黃曲霉素，你對大米中的黃曲霉素視而不見，或者不知道大米中的黃曲霉素在自己的總黃曲霉素暴露量中的占比之大（95%以上），卻對黃曲霉素含量微不足道的醬油（小于0.2%）、辣椒粉（小于0.8%）、普洱茶（小于0.3%）耿耿于懷，咬牙切齒，必欲“斬盡殺絕”，那你可真是大戰風車的唐吉可德了。
最后順便說明，國家標準黃曲霉素B1含量的測定方法有幾種，允許誤差分別是20%和60%。見附圖。
國家標準的意思是說，假如你去檢測大米中的黃曲霉素B1含量，分析部門給你報告的數據是10μg/kg，如果用的是高效液相色譜法，意思是8到12μg/kg之間;如果用的是酶聯免疫吸附篩查法，意思就是4到16μg/kg之間。數據就是這么八卦，誤差很大的。換言之，你不要在意醬油或者辣椒粉中的那一點比大米小了兩個數量級的黃曲霉素B1。
