問題描述：

求兩個字符序列的公共最長子序列。

最長公共子串

在回到子序列問題之前，先來了解一下子串的問題。
例如，HISH和FISH兩個字符序列的公共最長子串就是：ISH。很容易理解。

繪制網格

通過上一次背包問題的學習，給了我一些很重要的啟示：

• 每種動態規劃解決方案都設計網格。
• 動態規劃可以幫助你在給定約束條件下找到最優解。
• 問題可分解為彼此獨立且離散的子問題時，就可以使用動態規劃法來解決。

那么，要解決這個問題的網格長什么樣呢？要確定這一點，你首先得回答：

• 1.單元格中的值是什么？
• 2.如何將這個問題劃分成子問題？
• 3.網格的坐標軸是什么？

在動態規劃中，你要將某個指標最大化。在這個例子中，你要找出兩個單詞的最長公共子序列。hish和fish都包含的最長子序列是什么？hish和vista呢？這就是你要計算的值。

別忘了，單元格中的值通常就是你要優化的值。在這個例子中，這很可能是一個數字：兩個字符串都包含的最長子串的長度。

如何把這個問題劃分成子問題呢？你可能需要比較字符串：不是比較hish和fish，而是先比較his和fis。每個單元格都將包含著兩個字符串的最長公共字符串的長度。或許有了一些線索：

填充網格

現在，你很清楚網格應是怎么樣的。填充該網格的每個單元格時，該使用什么樣的公式呢？由于你已經知道了答案——hish和fish的最長子序列為ish，所以可以作點弊。

幾遍如此，你還是不能確定該使用什么樣的公式。計算機科學家有時會開玩笑說，那就使用費曼算法（Feynman algorithm）。這個算法是以注明物理學家理查德·費曼命名的，其步驟如下：

實際上，根本沒有找出計算公式的簡單辦法，你必須通過嘗試才能找出管用的公式。有些算法并非精確的解決步驟，而只是幫助你理清思路的框架。

最終的網格

可以從其中總結出以下的規律：

實現這個公式的偽代碼大概長這樣：

if (chars1[i - 1] == chars2[j - 1]) {
    array[i][j] = array[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    array[i][j] = 0
}

需要注意的一點是，這個問題的最終答案并不一定在最后一個單元格中！對于前面的背包問題，最終答案總是在最后的單元格中。單對于LCS問題來說，答案為網格中最大的數字——它可能并不位于最后的單元格中。例如單詞hish和vista的最長公共子串時，網格如下：

最長公共子序列

假設Alex不小心輸入了fosh，那么它原本是想輸入fish還是fort呢？我們使用最長子序列來比較它們。

最長公共個子串的長度相同，都包含兩個字母。但fosh與fish更像。

這里比較的是最長公共子串，但其實應該比較最長子序列：兩個單詞中都有的序列包含的字數。如何計算最長公共子序列呢？

下面是用于計算fish和fosh的最長公共子序列的網格：

下面是填寫這個網格的公式：

偽代碼大概長這樣：

if (chars1[i - 1] == chars2[j - 1]) {
    array[i][j] = array[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    array[i][j] = max{array[i -1][j] , array[i][j - 1] };
}

代碼實現：

整個程序是從自己的算法學習程序中直接扒下來的，inputList保存的是從文本文件中一行一行讀取到的數值，outputList保存的是要輸出到文本文件中的數據。由于要輸出，所以定義了一個boolean類型的isRowBig標志位，用來判斷哪一個字符串的長度更長，然后獲取更長的那個輸出。雖然實現了代碼，但是感覺自己寫得很丑陋。

/**
 * 獲取數據之后返回數據到輸出Array中
 */
private void getResult() {
    // 獲取數值
    int rowSize = inputList.get(0).length();
    int colSize = inputList.get(1).length();
    int[][] array = new int[rowSize + 1][colSize + 1];
    char[] chars1 = inputList.get(0).toCharArray();
    char[] chars2 = inputList.get(1).toCharArray();
    String temp = new String();

    // 初始化數組
    for (int i = 0; i < rowSize; i++) array[i][0] = 0;
    for (int i = 0; i < colSize; i++) array[0][i] = 0;

    // 填空
    boolean isRowBig = true;
    if (rowSize >= colSize) {
        isRowBig = true;
    } else {
        isRowBig = false;
    }   // 雖然實現了代碼，但是感覺寫得特別丑陋。
    for (int i = 1; i <= rowSize; i++) {
        for (int j = 1; j <= colSize; j++) {
            if (chars1[i - 1] == chars2[j - 1]) {
                array[i][j] = array[i - 1][j - 1] + 1;
                if (isRowBig) {
                    temp += chars2[j - 1];
                } else {
                    temp += chars1[i - 1];
                }   // end if:正確向temp中添加了字符
            } else if (array[i - 1][j] >= array[i][j - 1]) {
                array[i][j] = array[i - 1][j];
            } else {
                array[i][j] = array[i][j - 1];
            }
        }
    }   // end for:array和temp中已經保存了正確的數據

    outputList.add(temp);
 }

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