- 定義：
分支限界算法是按照廣度優先的方式對解空間樹（狀態空間樹）進行搜索，從而求得最優解的算法。在搜索的過程中，采用限界函數（bound function）估算所有子節點的目標函數的可能取值，從而選擇使目標函數取極值（極大值或者極小值）的節點作為擴展結點（如果限界值沒有超過目前的最優解，則剪枝）進行下一步搜索（重復 BFS -> 計算所有子節點限界 -> 選擇最優子節點作為擴展結點的過程），從而不斷調整搜索的方向，盡快找到問題的最優解。
（ps：回溯算法求出滿足約束的所有可行解，分支限界求出滿足約束的解中使得目標函數達到極值的最優解）
分支限界的思想類似于：圖的廣度優先搜索，樹的層序遍歷。
- 分支限界算法和回溯算法的不同點：
（1）分支限界算法與回溯算法在子結點的擴展方式上不同：
回溯一般采用輪流遍歷子節點的方式擴展結點。
分支限界則采用活結點的方式，一次性對所有的可行子節點進行擴展，估算子節點目標函數的可能值，如果該子節點的目標函數值差于當前最優解，則丟棄；否則將其加入活葉子表，依次從表中選取使目標函數取極值的節點作為當前的擴展結點。重復這一過程，直到找到最優解。
（2）分支限界算法與回溯算法在解空間樹的搜索方式上不同：
回溯采用深度優先搜索的方式去搜索解空間樹。搜索過程中，對所有的子節點輪流進行深度優先搜索，一旦發現有不滿足約束的子節點，則對該子節點為根的子樹進行剪枝；否則就從該子節點深度優先搜索，直到搜索到一個滿足約束條件的葉子節點，即求得一個可行解。
分支限界采用廣度優先搜索的方式去搜索解空間樹。搜索過程中，先生成所有的子節點（分支），然后對所有分支計算一個函數值（限界），并根據這些函數值（計算出的上界或者下界），從中選擇一個使目標函數最優（限界最優）的子節點作為擴展結點，使得搜索朝著最優解的方向快速推進，從而很快求得一個最優解。（ps：我的理解是每次從所有子節點中找出一個最有潛力的，作為擴展結點進行下一次的BFS）
- 分支限界算法的一般步驟：
（1）將問題的解空間轉化為圖或者樹的結構表示，維護一張活葉子表（可以是優先隊列）。
（2）初始將根節點計算一個限界后加入活葉子表。
（3）當活葉子表不為空時，從活葉子表中取出一個限界最優的結點作為擴展結點，并將該節點去除出表。當活結點表為空時，算法結束。
（4）判斷當前的擴展結點是否可以滿足所有約束，并且得到一個可行解（該擴展結點是葉子節點）。
如果是，判斷優于當前最優解后，記錄并更新最優解，隨后將當前最優解與所有活葉子節點的限界做比較，對于限界差于最優解的活葉子結點，去除出活葉子表，并返回（3）。
如果不是，則進入（5）。
（5）計算擴展結點的所有子節點是否滿足約束條件，對于不滿足約束條件的子節點，將以該節點為根的子樹剪枝（丟棄）。
（6）根據限界函數，計算該節點滿足約束的所有子節點的限界。對于限界差于當前最優解的子節點（ps：廢了，沒潛力），將以該子節點為根的子樹丟棄；對于限界優于當前最優解的子節點（ps：還有潛力），將這些潛力節點作為活葉子結點添加到活葉子表，并返回（3）
（ps：對于上述步驟的推導，參考了《算法分析與設計基礎》12.2 分支限界法 ）
- 分支限界算法應用的難點：
（1）解空間的構造，即狀態空間樹的構造方法（節點的生成順序）
（2）剪枝函數的確定，即約束規則的確定
（3）限界函數的確定，邊界的評估方法
