形或古希臘人所說的“idea”，有多種含義，比如：形狀，這是和視覺有關的，比如風格、分類，這當然可以是和視覺有關的，但比如音樂也可以有風格，寫作也可以有風格，這就是和聲音有關的了。

和視覺有關的“形”是直觀的，我們無須論證，糾結于如何用語言表達，僅憑圖形，或者是靜態的，或者是想象中動態的，直接給出結果。對形的研究會導向幾何學，幾何本身是視覺的，而視覺是偏好靜的，偏好不動的，但一加“學”，幾何“學”就是個動的過程了。

我們如何學呢？或者演示，用圓規和直尺，或者像畢達哥拉斯那樣拿根木棍面對沙土。世界是一步一步地被展現出來的，一筆一劃本身就是個動態的過程。我們努力說：首先如何，其次如何，然后，又然后……

這本身是個動態的過程，所謂動態就是次序，我們首先只關注首先要解決的，其次，帶著對剛剛過去的對首先的記憶，來探討緊鄰首先要解決的問題，我們的思想沒法分叉，這就好像我們的視覺，當我們的視覺遭遇挑戰，看不清某物的時候，我們凝眼觀瞧，把視線使勁聚焦于某物，凝眼就是凝神，不受誘惑地專注于某物。

這個結構很像自然數：“0，1，2，3，……”，一步一步地展示給你看，我是如何用直尺和圓規作圖的，這種線性展開的結構就是時間，“學”的過程，對學的人是學，在Challenge，對展示的人來說是在“證”，在說服，這個過程是世界次第展開的過程，是敘事，是Chronicle。

“學”依賴語言，語言是一種聲音現象。

據說人能夠發出一個八度再加一個四度的聲音。

古代世界，天和地很近，音樂和人也很近。孔子聞韶樂“三月不知肉味”，這種沉浸在聲音里的境界和我們今天聽流行音樂，把音樂當做一種背景噪音，同時抑制住我們心的背景噪音，是完全不同的兩種聲音技術。

古代的音樂，古希臘的或古中國的，都很簡單。簡單到也許就是敲擊單音音叉發出的聲音，單音音叉是校音用的，在古代就是古中國的黃鐘律管或古希臘的單弦（Monochord）。

它們發出很純的音，基本上就是一個頻率。孔子一生關心禮，禮與樂相聯，樂就是音及音的混雜與排列。我們用音高，頻率，響度，音色等來描述聲音。音高就是頻率，是描述“音”諸參數中最重要的一個量。

人天生就是一個感知音高的靈敏動物，音高激越，使人振奮，低音嗚咽，讓人傷感。簡單的音樂莊重，使人入靜，而復雜變化的音樂也如一場“視覺的盛宴”一樣使我們好奇和沉迷。

聽覺和視覺一樣，是感官，同時也是思維，它們接受信息，同時也處理、歪曲信息以為我們人所用。古代的政治傳統，古代的教育家都注重音樂教育，這其中最重要的就是對音樂體系的保留和傳承。

我們唱歌的時候都要先定調，調可以定低點，顯得莊重，也可以定高點，顯得輕快。定好調后，一系列的聲音次第展開，它們的相對音高保持一個固定的法則，比如：

“低，低低，高，高高，低，中中，……”

在給定樂譜的前提下。基準音高的選取，或所謂定調是任意的。我們可以定高點，無非大家唱不上去而已。但因為有人唱不上去，這個定調就也不是完全主觀任意的了。

古代政治秩序大多由推崇勇猛進取精神的戰士集團建立，對戰士共同體而言，最重要的是要保持這種勇猛進取的精神，能夠保持這種精神的音樂會與特定音高有關，這是人群的共同經驗。

保持這種對聲音的共同經驗在古代政治傳統中是非常重要的，其中之一就是確定音調，或基準音的頻率，然后在此基礎上再給出其他音的定義，其他音是相對于基準音而言的，可以更高，也可以更低，排成一個階梯狀的結構。

這里要再次強調我的觀點，原子的“idea”其實是無所不在的，這里由人的聽覺經驗，我們再次得到了原子的概念，即存在著“音高”的原子，進一步細分不同音高的原子是多余的，因為在我們的音樂游戲中，現有的規則是夠用的。

保存音樂制度最簡單的方法就是造一套標準的樂器，然后后人反復向這些標準的樂器學習，第一套自然是由偉大的立法家們“鑄造”的了。禮樂制度大多會和樂器有關，并要詳細規定樂器是如何制作的，就是這個道理，否則音變了，就會動搖統治的基礎。

考慮到弦樂器與弦繃緊的程度有關，受濕度、溫度影響較大，青銅器制造的發音器會是理想的選擇，這是為什么“鐘”會成為“政權”符號的原因，塔可夫斯基電影《安德烈·盧布廖夫》記述的是俄羅斯帝國創旦的基礎，在影片的結尾就出現了工匠之子鑄鐘的奇跡。

鐘是要發音的，音高是有標準的，音高，高一些，低一些，很微妙，但人的耳朵，或某些人的耳朵天生就是辨別音高的靈敏儀器。只有能發出特定音高的鐘才是可以被接受的，否則就要被殺頭，這不是殘忍，這是觀念，一只發音不準的鐘在敲響的時候不嘹亮，不能激發人民激越的精神，這樣的政治秩序是不會長久的。

這里有個似是而非但很有趣的討論，人有時間感，但人的時間感是非常內在的，幾乎不存在什么可以相互交流的基礎。這是妨礙人產生運動觀念，在科學意義下研究運動的重要原因。但我們知道頻率（音高）是時間的倒數，人是辨別頻率的精良儀器，同時我們的發音器官，也能夠嫻熟地對不同音高的聲音進行模仿，這是我們具有語言和音樂能力的生物學基礎。

類似地，我們還可以討論位置和速度。人自然能在相當精確的意義下分辨位置，但我們對速度的分辨就要差許多，我們說某物比某物快，其實是置換到位置才下的判斷，即兩物同時出發，但某物先撞線，所以它更快。這是亞里士多德無法得到滿意的落體規律的原因，他受人本身的局限，而在那個時代實驗技術又沒有充分發展起來。實驗技術的充分發展與資本主義的生產方式有關，近代科學于資本主義生產方式同步爆發不是沒有道理的。如果回顧二者的歷史的話，即科學史和資本主義史，兩者講的是同一個故事，只是敘事的角度，主角發生了變換。

由“造鐘”故事，我們得到一個新關系，即：音高是與形有關。

對鐘來說這是大大地簡單化了，因為材質也很重要，但形狀確實決定了鐘振動的頻率。

這意味著：聽音可以定形，定形可以定音。

形就是形式，在畢達哥拉斯和柏拉圖的傳統里，形是與數緊密相連的。比如鐘的形由何而定呢？長、寬、高、是數字，鐘的厚度也是數字，但這一堆數字的集合又有什么意義呢？

當我滔滔不絕地羅列一堆數字的時候，這是沒有意義的。我們需要給出數字和數字之間的關系，才有意義。而且最好是只要給出一個關系（或最少關系），就能讓所有的數字各就各位，找到這樣的規律自然是對思維的獎勵，是可以向眾人夸耀的；同時這也是技術，有了技術我們就能鑄鐘，以前的人是會鑄鐘的，但技術失傳了，《安德烈·盧布廖夫》中的小孩是因為幸運，絕望中還有神的眷顧，并重新開始，這就是俄羅斯帝國的宿命，盧布廖夫受此感召，重新拿起畫筆開始畫那些注定會塑造俄羅斯民族性格的那些很平、很抽象的壁畫。

畫是形（idea），音是聲（logos）。形和聲都能塑造性格，前提是我們生活在某種生活中，或我們生活在某種歷史中。

“幾何學”（Geometry）是對形的規定，而“和聲學”（Harmonics）是對音的規定。所謂規定就是數字之間的聯系，最簡單的數字和數字間的聯系是“相等”，稍微高級點的是比例，是合乎比例。

比如人臉，人臉上五官的位置和尺寸是需要合乎比例的，這種合乎比例是我們天生可以判斷的，但很難說清楚，當然近一二十年隨著計算機對數據處理能力的提高，隨著神經科學的進步，這類問題有了很多具體技術的進展。但在這里我想強調兩點：首先確實比例在這里發揮了作用；其次這個比例也和觀念有關，比如古代東夷部族以扁頭為美，甚至不惜把小孩的頭骨弄扁以合乎比例。這個習俗在今天還有遺存，比如對新生兒，不少地方有端正小孩睡姿以把頭睡扁的說法。

我們可以舉出很多生活中合乎比例的例子。但我們從來沒有試圖去發現這中間的數字關系。人類社會尚沒有進步到按照數字關系嚴格定制自己的身形的階段。

但在音樂中我們很容易發現音高與數字的關系。這是畢達哥拉斯的貢獻。音樂的歷史一定很古老。在畢達哥拉斯之前人類就有音樂了，不但有音樂還有規定音高的一套體系，即有一套術語來說清楚“不同音高”的音之間的關系。

比如當我發出一個音后，讓你發出一個高四度的音，你就能發出這樣一個音，并得到我的認同。這套語言游戲能夠玩兒的起來。

這些當然都是基于感官經驗講的，本來和數字沒啥關系。傳說畢達哥拉斯在路過鐵匠鋪時，受到叮叮當當聲音的啟發，回去研究各種樂器的音高，比如弦樂。

所謂弦樂器就是一根繃緊的弦，兩端固定，中間可以快速振動起來，擾動空氣發出聲音，弦樂的頻率自然就是琴弦發出的聲音。這是典型的機械振動的問題，弦上會有波動，但因琴弦兩端是固定的，所以波傳播不出去，它只能被限制在琴弦上振動，并整體具有一個輪廓，琴弦就在這個輪廓內振動，這種振動叫駐波。

琴弦上的振動是波動，我們仍然可以把它表示為：

$A \cos kx - \omega t$

或：

$A \cos 2\pi \left( \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} \right)$

這里機械波傳播的速度是：

$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu$

$\lambda$是波動的波長，因為琴弦的兩端已經被限制住了，琴弦的長度$L$可以取半波長，一個波長，一個半波長，……，簡單說就是半波長的整數倍$\frac{n \lambda}{2}$。這其實就是合乎比例，進一步講，如果我們考慮一個符合兩端被限制住的琴弦的一般運動，這個一般運動總是可以被分解為一系列不同$n$取值的，波長為$\frac{2L}{n}$的振動的疊加。

換成頻率的語言，就是$\nu = \frac{n v}{2 L }$的一系列波動的疊加。這里$v$是波動在琴弦傳播的速度，這個數字是常數。我們管$n = 1$的音叫做基音，這個頻率的聲音是最主要的，但弦上也會有$n= 2, 3, ...$的成分，這些音叫做泛音。

撥動長度$L$的琴弦，我們聽到的是基因和泛音的混合，最主要的是基因，頻率為$\nu_1 = \frac{v}{2L} $，其次是第一個泛音，頻率為$\nu_2 = 2 \nu_1$，它們之間是1: 2的關系。

假如我們把琴弦的長度減半，其實就是用手在弦長的一半按住琴弦，此時我們會有新的弦長$L/2$，同時新的基因頻率$2 \nu_1$，但此時，因為弦長只剩下一半了，我們撥動琴弦發出的聲音里就沒有$\nu_1$的成分了。

我們聽起來的感覺是這樣的，首先$L/2$琴弦發出的音和$L$琴弦發出的音很像，其次$L/2$琴弦發出的音當然要比$L$琴弦發出的音要高，這就好比是一個人沿螺旋形的樓梯升高，每個臺階都對應一個特定音高的音，在螺旋式升高了幾個音之后我們又回到了起始位置，只是高了一些，我們還可以繼續螺旋升高，每提升一個臺階都會感覺和曾經的一個臺階很像，只是更高了。

在音樂理論里面，我們管這個結構叫“八度”，當音高由$\nu_0$提高一倍到$2 \nu_0$的時候，我們就說“升了八度”。類似地，當音高由$nu_0$降一倍到$\nu_0 /2$時，我們就說“降了八度”。對于人來說我們一般能發出一個八度再加一個四度的音。

畢達哥拉斯研究的就是音和形的關系，并發現這個關系可以被數字很精確地描述。

現在我們就得到了第一個關系，當弦樂器的琴弦長度比是1：2時，頻率比是2：1，或用音樂的概念講是“八度音程”。

八度關系本來就存在于音樂體系中，可以說這是人的日常經驗，這種日常經驗是內置于人的生物能力中的。現在發現一個八度就是精確的數字比1：2，這個數字比其實是對形的描述，因為弦是一維的，我們對形的描述是比較簡單的。

一個日常經驗可以對應于一個數字的比例關系是足夠讓人興奮的，畢達哥拉斯講“萬物皆數”，其實講的是萬物皆合乎比例，只有合乎比例萬物才能存在，只是這些比例有待我們的發現。當然，合乎比例是個很靜態的世界觀。

除了1：2，畢達哥拉斯還發現當弦長比是2：3時，音的關系是音樂理論中的五度音程。而弦長比是3：4時是音樂理論中的四度音程。

據說畢達哥拉斯就發現了這幾個關系。它足夠優美，但顯然不夠解釋音樂體系中的所有音高。但這已經足夠他嘚瑟的了。更重要的是他開辟了一個用數字、用比例關系去研究音樂的方法，進而是研究整個宇宙萬物的方法，可以說今天的理論物理學家都是畢達哥拉斯的信徒。

畢達哥拉斯方案的缺陷是他被簡單數字迷住了，1：2，2：3，3：4確實解釋了八度音程、五度音程、和四度音程。但再要想把人對聲音的感官經驗，極其靈敏的感官經驗和簡單數字比建立聯系就是不可能的了。

根據近代的十二平均律，我們在八度音程里面做12均分，這個均分是合乎比例地分（作為人，我們當然是憑我們的耳朵來分的，這里我們必須贊嘆人聽覺器官的精密），我們要找到某個合適的比例因子$q$，使得：

$1 \nu_0$，$q \nu_0$，$q^2 \nu_0$，……$q^{12} \nu_0 =2 \nu_0$

這里難的是對2開12次方，2開2次方就已經是無理數了，即2開二次方就已經沒辦法表示成一個簡單數字的比例了！這是畢達哥拉斯方案失敗的原因。

我們解出：$q \approx 1.059463 $，以此制表：

\begin{table}[htdp]
\caption{十二平均律}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
n & $q^n$\
\hline
0 & 1 \
1& 1.059463 \
2 & 1.122462 \
3 & 1.189206 \
4 & 1.25992 \
5 & 1.33484 \
6 & 1.414213 \
7 & 1.49831 \
8 & 1.5874 \
9 & 1.6818 \
10 & 1.7818 \
11 & 1.8877 \
12 & 2 \
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{default}
\end{table}%

四度音程對應的弦長比是3：4，計算出來的頻率比是：$\frac{4}{3} = 1.33333$，對應十二平均律表格中是$n = 5$的情形，$1.33484$和$1.33333$相當接近。

五度音程對應的弦長比是3：2，頻率比是：$\frac{2}{3} = 1.5$，對應十二平均律是$n=7$，$1.49831$和$1.5$也很接近。

~

音樂與舞蹈相聯系，古人總是載歌載舞，而載歌載舞是對“天”，對想象中“絕對秩序”的模仿，通過模仿來表達對“天”和人格化的“天”——神的親近和虔敬。

根據古人的觀念，天是天球，有幾重天球，離地球最遠的是恒星天，它們構成了一個背景，一個不動的背景。還有行星，金木水火土，太陽和月亮，它們相對于不動的背景穿行。每個行星都有自己的天球，以自己獨特的方式運動。

天體運行的很慢，在沒有燈光污染的古代，天體運行是很合適的研究對象，對恒星而言就是繪制星表，把所有可見的，相對而言都不運動的那些恒星的方位表達出來，所謂方位就是方向，所有恒星離我們是一樣遠的，它們居于最外層的天球。在此之外是什么都沒有的，我們也就無需費神討論了，這些說詞很類似今天宇宙學里的說法，因為今天宇宙的圖像也是有限的。

在這種敘述下，每個恒星對應一個傾角和一個方位角，我們需要某種制圖技術把天球上的恒星投影到平面上，這種制圖技術和制作世界地圖的技術沒有什么區別。我們得到的星圖，簡單說就是星座。

恒星天以下還有土星天球，木星天球，火星天球，太陽天球，金星天球，水星天球和月亮天球。這是按照由外到內的次序，月亮天球離我們最近，月亮之下就是凡俗世界了，萬物變化不定，沒有規律。但自月亮天球及以上就是神圣的所在，天球莊嚴地運轉，超脫于朽壞和變化，被神圣的數學描述。

數字關系是不朽的，諸天也是不朽的，研究天體運行是研究數學，即像畢達哥拉斯在音樂中曾經找到的那樣，找到簡單的比例，天球的運行需要合乎比例，并作為一個整體和諧地存在，所謂和諧就是和聲（Harmonics）。

這是“萬物皆數”理念在天球運行領域內的運用，古希臘的哲學家們已經能夠計算太陽的大小，月球的大小，太陽和地球的距離，以及月亮到地球的距離，各個行星運轉的周期等等。

諸天各有各的半徑，這是宇宙的形，而諸天各以不同的速度運轉將會發出聲音，速度越快音高就越高，月音低沉，土星離地球最遠，運行最快因此也是最激昂的。

傳說樂器是阿波羅神給人的禮物，它是理性的象征，樂器因形的合乎比例而發出和諧的聲音，和諧的聲音使人的心靈柔和、敏感，function well成為一架理性的機器。

宇宙是造物主理性的設計（據柏拉圖《蒂邁歐篇》），在比喻的意義下，我們把宇宙的整體想象為一把里拉琴，諸天對應不同弦長，我們無法想象這天體的音樂是不合乎比例的，雖然我們誰都沒有聽過天體的音樂（天籟之聲），但諸天發出的音樂，有的如男低音，有的如男高音，又有的如女低音，有的如女高音。并整體符合某種比例，某種和諧關系。就好像畢達哥拉斯發現的弦樂中的1：2：3：4。

這里整體和諧的思想是首要的，它或者體現為音樂之悅耳清晰（孔子一定是沉浸在這種樂音之中，才會說出“三月不知肉味”這樣的話），或者干脆就體現為一種數學關系的簡單和優美（比如1：2：3：4），人對音樂的欣賞和想象是可以閉上眼睛的，任隨自己的思緒伴隨著音樂的節奏奔跑，這就擺脫了日常經驗對思維的限制，成為一種純內在的，只與不朽的形式相關的理性思維。

西塞羅在《國家篇》中讓西庇阿夢見自己身處宇宙之中，

“由各個天體自身的運動和沖擊產生出聲音，這種聲音是那些按恰當比率嚴格區別開來的各個不相等的音程劃分出來的；它由高音和低音混合而成，將各種不同的和音造成統一的音程；……在處于最高點的星天（恒星天）歷程上，那里的運動無比地迅速，就發生尖銳的快速的聲音；而月球的歷程（那是最低的）則以厚重的聲音運動著；”

我們誰都沒有聽到過天體發出的音樂，西塞羅說這是因為我們從小聽習慣了，反而聽不見了。畢達哥拉斯的說法更高明，他說除了他自己誰也聽不見天體的音樂，畢達哥拉斯說：

“他既不創作也不演奏任何人類演奏的那種豎琴或歌的旋律，而只使用一種神秘的、莫測高深的神圣方法，全神貫注于他的聽覺和心靈，使他自己沉浸在流動的宇宙諧音之中。……只有他才能聽到并理解這種諧音，以及由這些天體激發起來的和聲。”

畢達哥拉斯的高明之處在于點明依靠感官——耳朵——是聽不見“天體音樂”的，他需要的（但這次沒有明說）是數學，是合乎比例。柏拉圖在《理想國》中的嘲笑仰望星空者是觀星迷，并擺明自己研究天文學的方法是幾何學。研究天文學也并非是簡單地應用數學-幾何學，按照柏拉圖的說法，研究是要發現理念，現象被理念（光）照亮，新的理念就是新的形式，就是新的類。換言之就是要發現具有表現力的新的數學-幾何學，或數學-幾何學的新的應用對象。

西庇阿之夢也是西方藝術中的常見母題，往前自然是畢達哥拉斯的天體音樂和柏拉圖的“厄爾神話”，往后則是比如庫布里克的《2001太空漫游》，在影片開始的時候，節奏非常緩慢，人（猿）生活在自然中，直到他們憑視覺洞見了一個抽象的幾何形體，這是對“數學-幾何學”的符號化表達，在“數學-幾何學”光芒的照耀下，鏡頭一轉人類就進入了太空時代。這就是理性的力量，但首先你需要像那只人（猿）一樣被理想的幾何打動，為之著迷，這就像畢達哥拉斯發現1：2：3：4可以解釋音程一樣，瞬間被理性的力量擊中并宣稱“萬物皆數”！

而當影片即將結束的時候，我們看到類似西庇阿之夢的夢境，變換的色彩，抽象的幾何形體，流動沖撞，這其實是對天體音樂的視覺再現。而隨之進入的是更為具象的人類生活，所有美好或可以激發起美好與和諧感覺的畫面，西方歷史中值得尊敬和記錄的種種視覺切片，向偉大的西方文明致敬，從畢達哥拉斯和柏拉圖始到太空時代終，影片推出的1968年正是人類進軍太空的英雄時代，一年后的1969年人類首次登月成功。（與此同時，在影片中我們聽到的是《藍色多瑙河》。）

~

開普勒是位承前啟后的人物，一方面他像托勒密、西塞羅一樣醉心于天體音樂的概念，希望能夠發現宇宙整體和諧的規律，另一方面他關于行星運動的三個定律直接導致了牛頓的經典力學，在牛頓的體系里萬有引力$F = G M m /r^2$和牛頓運動定律$F = ma$取代了整體和諧，微分和積分取代了數字之間的合乎比例，運動的軌跡取代了靜止的天球。

從托勒密到開普勒都研究過天體的音樂。托勒密是古代天文學的集大成者，托勒密天文學的核心是勻速圓周運動，他把行星的運動分解為數個勻速圓周運動的疊加，并很好地與當時的天文學觀測數據相對應。這是一種描述性的理論，表面看起來簡單，但進入細節后就會覺得很繁復。即便是今天，我們也很難憑腦子去想哪怕是幾個勻速圓周運動的疊加。

從整體和諧的觀念出發，就需要找到更簡單清晰的數學規律，具體說就是某種比例關系。開普勒的出發點和畢達哥拉斯很類似，都是整數。在開普勒的年代，哥白尼的體系已經逐漸為人們接受，太陽不再是行星，地球取代了它的位置，已知行星按距離太陽由近到遠排列是：水星、金星、地球、火星、木星和土星。它們的軌道半徑比是：

8：15：20：30：115：195

為什么太陽有6顆行星，不多不少正好6顆，而它們的半徑比又正好是以上的整數比。在今天看來開普勒的問題是完全沒有意義的，因為根據萬有引力定律，行星實際上可以出現在距離太陽的任何距離上，而今天已知的大小行星的數目也遠遠超出6顆。換句話說，開普勒的問題只有放到“整體和諧”觀念下才有意義。

柏拉圖在《蒂邁歐篇》中曾用四種正多面體與“水氣土火”四種元素對應，但實際上有五種正多面體，這讓人感到很不完美。現在開普勒把五種正多面體與行星所在的天球對應，具體過程是這樣的：

水星天球在最里面；在水星（1）天球之外構造一個正8面體，使之與水星天球相切，在正8面體外再構造一個外接球，這個球就是金星天球（2）；在金星天球外構造一個正20面體，地球天球（3）就在這個正20面體的外接球上；在地球天球外構造一個正12面體，火星天球（4）就位于這個正12面體的外接球上；在火星天球外構造一個正4面體，木星天球（5）就位于這個正四面體的外接球上；最后在木星天球外構造一個正立方體，土星天球（6）就位于這個正立方體的外接球上。

這樣我們就用五種正多面體，得到了6個行星天球，而我們可以根據立體幾何嚴格地證明只有5種正多面體，我們現在不多不少各用一次，使之外接內切得到了正好6個行星天球，而在當時人的知識里，太陽只有只有6顆行星，不多不少6個天球，每個天球上鑲嵌上1顆行星。

更加令人贊嘆的是，根據開普勒的天球套天球模型，我們能精確地計算出6個天球的半徑比，它們正好是：

8：15：20：30：115：195

誤差有，但不大。

這個結果太完美了，可謂是畢達哥拉斯“萬物皆數”綱領下的巔峰之作。日后開普勒雖然有更為人稱道的行星運動三定律，但他本人仍然最鐘愛這個“整體和諧”觀念下的理論。

~

開普勒的這個“古典理論”并沒有受到當時學術圈的重視，但他樹立了他作為優秀數學家的名譽。第谷·布拉赫當時最了不起的實驗家主動尋求和他的友誼，與他的合作。

第谷積累了當時最豐富的對行星觀測的資料（也有恒星的），但僅僅是觀測就已經耗費了他一生的精力，現在他死了，把資料留給一位優秀的數學家——開普勒——期待他能有所發現，給他帶來名聲。

第谷的觀測數據中尤其以火星的數據，特別詳盡，但當開普勒試圖用哥白尼的體系對這些數據進行處理時，比如假設一個勻速圓周的軌道圍繞太陽運動，理論計算和第谷的實驗數據差別較大。本來這個差距可以通過假設更復雜的圓周運動體系來處理的，即假設火星同時參與幾個勻速圓周運動，這是托勒密和哥白尼體系中都允許的技巧。

這么做帶來的是概念上的簡單，即只使用更容易讓人理解的勻速圓周運動來模仿行星的運動，但從技術的角度，當面對越來越精確的觀測數據的時候就會顯得太繁瑣。開普勒開始嘗試更多曲線來模仿行星的運動，而不僅僅是限于勻速圓周運動，這可以解釋為開普勒作為優秀數學家的思維傾向。

開普勒關于行星運動的第一個定律說：行星按橢圓軌道圍繞太陽運動，太陽在橢圓的一個焦點上。

這仍然是一種靜態的觀點，因為它并不涉及快慢。

開普勒關于行星運動的第二個定律說：行星在離太陽最近的時候運動速度最快，離太陽最遠的時候運動速度最慢。并且可以表示為一個比例關系：

$r v = R V$

這里$r$表示行星離太陽最近時候的距離，$v$表示此時行星運動的速度；而$R$表示行星離太陽最遠時候的距離，$V$表示此時行星運動的速度。

這里有快慢，但仍然采取“合乎比例”這一靜態觀點下的語言（和杠桿定律采用的是相同的語言）。如果不看$v$，而看角動量（定義為$J = r \times p$）的話，角動量是不隨時間變化的。

開普勒關于行星運動的第三個定律說：行星做軌道運動半徑——嚴格說應該是行星離太陽最近距離加行星離太陽最遠距離之和的一半——的立方與行星做軌道運動周期的平方之比是個常數。

即：$\frac{R^3}{T2} $是個常數。

這其實也是在講運動要合乎比例，只是這個比例更復雜，涉及了立方和平方，但考慮到它對所有的行星都適用，這是個強大的、令人耳目一新的定律。

如此優美普適比例關系的背后一定存在著個解釋，就好像畢達哥拉斯的“1：2：3：4”關系的背后是關于琴弦振動的理論。

~

開普勒定律的背后是牛頓的經典力學。我們現在來勾勒其輪廓：

1.物體不受外力，物體將保持勻速直線運動或靜止狀態。

2.物體運動狀態的改變正比于物體所受的外力之和，反比于物體本身的質量。

即：$F = ma$，物體運動狀態的改變這里就是物體的加速度$a = \frac{d v}{d t}$

質量被定義為物體維持物體原先運動狀態難易程度的量度。

3.兩個具有質量的物體之間會有萬有引力，萬有引力正比于兩個物體質量的乘積，同時反比于兩物體間距離的平方。

$F = \frac{G M m}{r^2}$

假設A、B兩個物體之間存在著引力相互作用，A給B多大的力，B就給A多大的力，只是方向反了。

仔細讀的話，這里有兩種定義質量的方式，一種是通過運動定義的，物體保持原運動狀態的難易程度，這個叫慣性質量，另一種是通過引力定義的，叫做引力質量。我們假設引力質量和慣性質量是相同的，這里并沒有太多道理可講，或者看做是實驗（比如落體實驗）的結果，或者干脆講就是個假設，一個迄今不會給理論帶來麻煩的假設，不但不會帶來麻煩，還會帶來好處，比如它是研究廣義相對論的出發點。

牛頓的體系和古典的“天球音樂”模型相比差距很大。在牛頓的體系里力是核心概念，力驅動行星運動，相比于太陽，行星很小，我們可進一步把行星抽象為具有質量的點，它在萬有引力的驅動下沿橢圓軌道運動。我們要想了解行星的運動，需要發展求解微分方程的技巧，即如何求解

$F=ma$

這是一個關于位置$x$的二階微分方程，從數學的角度，這當然要比列等式，加減乘除、乘方、開方要難。并且這里真正具有運動的概念了，或者說變化，時時刻刻的變化是個逃不掉的概念。

這甚至可以從對速度的定義看出：

$v = \frac{d x }{d t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

如果僅僅把速度定義為

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ x(t_2) - x(t_1) }{ t_2 - t_1 }$

這還是一個靜態的圖像，即我們在時刻$t_2$和時刻$t_1$各拍攝一張快照，分別凝神觀瞧，用尺子做測量，然后帶進公式里計算。

我們怎么說這個速度$v$才不過分？它不屬于$t_2$，也不屬于$t_1$，它是$t_1$到$t_2$之間的平均效果。

那我們還能說時刻$t$時的速度$v(t)$嗎？如果不能加速度$a$的定義就成了空中樓閣。在牛頓的體系里，速度必須對每一個點都有意義，但如果我們把眼光只聚焦在一點上是不可能有速度的，速度是變化，對一個點怎么能說變化呢？此時我們考慮的是一個點，但這一點的近鄰也必須考慮，否則就不會有變化，不會有速度。

記號：$\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{ x(t + \Delta t) - x(t) }{\Delta t}$

表示的是一系列的操作，我們先測$\Delta t = 1$秒，然后0.1秒，0.01秒，0.001秒……

如此構造出一個無窮的序列，就像我們曾經討論過的0，1，2，3……，這是一個用自然數標記的序列，它是可數的（countable），但無限延伸，沒頭兒。從技術的角度，我們會發現這個序列往往會很快收斂在某個穩定值上，這個就叫極限，某時刻t的速度$v(t)$因此就有了定義，它是在極限下得到定義的，這個極限可能存在，可能不存在，但我們物理上只討論那些極限存在的情況。所謂微積分就是要發展出一套這么做的技巧，更重要的是邏輯體系，把它說嚴謹，用公理、定義和定律的體系。

現在我們就有了經典力學。

經典力學里就一條不太讓我們放心，這里面似乎只有引力，而引力是個太弱的力。兩個人面對面站著，吹口氣的力都比他們之間的引力大。

在我們的生活中，除重力外，其他力基本上都不是引力，比如彈簧的彈性回復力，比如我們倆親切地抱著的壓力，比如摩擦力……

這些力的來源是電磁相互作用。

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電現象、磁現象和光現象都是人類很早就發現并研究的現象。其規律被麥克斯韋總結成一組非常優美也抽象的數學公式（麥克斯韋方程組）：

\begin{eqnarray}
\nabla \cdot E & = & \frac{\rho}{ \epsilon_0}\
\nabla \cdot B & = & 0 \
\nabla \times E & = & - \frac{\partial B}{\partial t} \
\nabla \times B & = & \mu_0 j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}
\end{eqnarray}

這里第一個式子說的事情和引力很類似，寫成力的形式：

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

即兩個電荷之間的力與電量的乘積成正比，與兩個電荷之間距離的平方成反比。

這個結果和萬有引力幾乎是一模一樣的，有兩點不同：（1）我們這里討論的靜電力（也叫庫侖力）比引力要強的多；（2）有兩種電荷，相同電荷是斥力，而相異電荷是引力。

第二個式子說的是，在自然界中不存在磁單極子，但物理學家早就準備好了一套磁單極子存在的理論了，只等哪天找到它，就在方程的右側加上一項。

第三個式子和第四個式子說的是變化的磁場也會感生電場，而變化的電場會感生磁場；前者是發電機的原理，而后者是電磁鐵的原理。它們在一起可以解釋電磁波或光波的存在。

在電磁學的研究中，由于電磁相互作用太強了，力反而不是重點，重點是場，是電場和磁場在時空中的分布和傳播。比如對一個電的振子，能量會以電磁波的形式向外輻射，這是必須考慮的物理過程。而對引力，我們就根本不需要考慮引力波。

假設一個質子和一個電子，相距$0.5 \times 10^{-10}$米，這個距離就是氫原子中電子和質子的距離。我們可以先計算他們之間的電磁相互作用，代入計算得：$F_e = 8.25 \times 10^{-8}$，看起來很小，但要看和誰比。現在計算電子和質子之間的萬有引力，還是這個間距，代入計算得：$3.63 \times 10^{-47}$，它們的比值是$2.27 \times 10^{39}$，即電磁相互作用要比引力大的多得多。引力對研究原子尺寸的物理問題是完全可以忽略不計的。

現在只考慮電磁相互作用，但問題是電磁場會向外外輻射電磁波，它損失能量的速度太快了。估算的結果是只需要$10^{-11}$秒數量級的時間電子就會掉到質子上，即原子是不穩定的。

這就是經典理論應用到原子現象時碰到的困難。

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一個成功的原子理論應該能夠描述原子物理學中的典型現象，原子是穩定的存在，這當然是其中很重要的一個現象。但除此之外還有更獨特地屬于原子的現象——光譜現象。

光譜現象分為兩類，發射光譜和吸收光譜。

所謂發射光譜就是炙熱原子發射的光通過三棱鏡分光形成的譜分布，吸收光譜是當熱光源發出的光通過冷原子氣體時，部分光被原子吸收后形成的譜分布。發射光譜和吸收光譜都是光強相對于波長的分布，我們發現發射光譜中原子發出的特定波長的光，在吸收光譜中也出現，只不過發射變成了吸收。

通俗地說原子就是一個愛戴戒指的人，但她只戴特定尺寸的戒指，戴膩了她就扔，扔掉的戒指的尺寸和她拿來戴的尺寸完全一樣。對這個現象的解釋倒也簡單，因為她有5個手指，每個手指粗細不同，但都有確定的尺寸。

我們有理由猜測光譜與原子的本性有關，實驗也確實支持我們的這種想法，每種原子都有不同的光譜，它們的譜線出現在不同波長的位置上，就好像是指紋，人人不同，成為我們的標識。

即便是對最簡單原子的光譜，比如氫原子的光譜，乍看起來都是很復雜的，但感覺它們是有規律，或用老話講，看起來它們是合乎比例的，只是這個比例有待我們的發現。

就好像畢達哥拉斯發現和聲學里的1：2：3：4，原子物理早期的突破也來自于人們找到了一個簡單、優美的數學式子，這個式子解釋了氫原子光譜的譜線位置：

$\frac{1}{\lambda} = \frac{4}{B} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

這個是巴爾末公式，它解釋了氫原子光譜中最顯著的幾條線，很快被推廣為里德堡公式：

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right)$

這個公式就解釋了氫原子光譜中所有的譜線位置。

原子的穩定性當然是很重要的問題，或說仍然是很重要的問題。但現在首先要解釋為什么會有譜線的規律，這個簡單的公式強烈地提示我們在氫原子的問題里存在著更為簡單清晰的概念體系和數學結構。

某種意義上說，我們從牛頓的經典力學又重新退回了畢達哥拉斯的“天球的音樂”，而天球之所以只奏響這特定的音，是因為整體的和諧，是形的制約，使天球只能發出特定音高的音。

氫原子就是個小天球，它只發射（或吸收）特定波長的光，特定波長的光就是特定頻率的光，它也是形制約的結果，形的制約就是幾何關系，好比兩端固定的弦就是一維振動的形。現在我們需要發現的是氫原子的形。

這里有個概念需要澄清，我們說是說氫原子，但其實這里我們研究的是電子，因為質子比電子質量大太多了，質子運動的速度比電子運動的速度要小很多，或者說質子很難跟得上電子的運動，所以我們這里只需要研究電子的運動就可以了，而質子則作為固定的背景考慮。

現在假設有一個畢達哥拉斯的信徒來研究原子中電子的運動，他會真么說呢？

首先電子仍然會受質子的吸引，這個力是：

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r^2 }$

假設電子處在某個半徑為$r$的正圓軌道上，電子的勢能是：

$V(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子的動能是：

$K = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子的總能量是：

$E = K + V = - \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子只能在特定的軌道上運動，這就好像畢達哥拉斯派把宇宙想象為一把里拉琴，只允許能奏響整體和諧樂音的位置上可以放置天球，讓行星在天球上沿正圓軌道呼嘯而過，發出特定頻率的聲音，行星的速度越快，頻率也越高……

現在我們只需要把這幅圖像套用過來即可，電子也只能出現在特定半徑的軌道上，到底是哪些半徑允許，這是有標準的，類似于弦上駐波的整體和諧的標準。

但電子怎么能和波聯系起來呢？假如要聯系起來又應該怎么聯系呢？

硬要往下講就是假想的歷史了。因為玻爾確實不是按這個思路思維的，而物質波概念的提出又在玻爾之后，是受玻爾原子模型的啟發。

我們現在要求自己有如神助，假想一個能代表電子和諧運動的波沿著電子的軌道運行，運轉一圈正好是波長的整數倍，首尾相接形成圓軌道上的駐波。

$2 \pi r = n \lambda$

我們又想到行星運轉越快對應發出的聲音就越高，頻率$\omega = 2 \pi /T$是時間上的調制，還有波矢$k = 2 \pi / \lambda$，反映的是空間上的調制。

假如我們讓電子運行的速度乘以質量（即動量）正比于波矢$k$會有什么結果呢？

假設比例因子$\hbar$，這個比例因子是研究原子尺度物理問題必須出現的。

$p = m v = \hbar k = \hbar \frac{2 \pi }{\lambda}$

因此：$m v r = \hbar \frac{2 \pi r}{\lambda} = \hbar \frac{ n \lambda }{ \lambda} = n \hbar$

即：$mvr = n \hbar $

這就是我們猜測出的對氫原子而言，整體和諧的條件。

電子只能處在由$mvr=n \hbar$（在量子力學里叫角動量量子化）規定的$r$上，$n = 1,2,3,...$，由這一系列$r_n$，我們可以得到一系列的能量$E_n$。

因為整體和諧條件的限制，電子只能占據那一系列軌道，因此能量的取值也是一系列分立的取值，這一系列分立取值的電子能量就叫做能級。

電子離質子越近，電子的能量越低，反之電子離質子越遠，電子的能量就越高。但記住，氫原子里只有一個電子，假設這一個電子處在比較高能量的軌道上，它可以向下躍遷，電子的能量將降低，多余的能量將以光子的形式放出，假設較高能級用$n'$標記，較低能級用$n$標記，我們就將得到里德堡公式。

原子的穩定性還是問題嗎？在整體和諧的觀念下其實已經沒有問題了。我們急需澄清的是那個與電子的運動狀態相聯系的波到底是什么？此刻——玻爾模型的出現——說明替代范式已經出現，與其苦苦執著于老范式，不如發展新范式，而在新范式下，很多老問題是沒有意義的，它們被更急迫的問題所替代。