公式正常顯示版：奇跡號(hào)：斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)
有兩種講授量子力學(xué)的方法，一種是按照歷史的邏輯，介紹黑體輻射、關(guān)電效應(yīng)、康普頓散射、盧瑟福散射、玻爾模型、塞曼效應(yīng)等一系列著名實(shí)驗(yàn)，說明經(jīng)典物理是如何失效的，然后建立波粒二像性概念，即“像波一樣的粒子”，然后我們用波函數(shù)、薛定諤方程來描述電子。
以氫原子為例，我們需要求解這樣一個(gè)偏微分方程：
$i \hbar \frac{\partial }{\partial t} \psi (r, t) = \left[ -\frac{\hbar^2 }{2m} \nabla^2 + V(r) \right] \psi (r, t) $
還有一種講授量子力學(xué)的方法是直接從某一個(gè)實(shí)驗(yàn)出發(fā)引入量子力學(xué)。比如費(fèi)曼就是從假想的雙縫實(shí)驗(yàn)出發(fā)建立量子力學(xué)的，討論雙縫實(shí)驗(yàn)的好處是方便和費(fèi)曼發(fā)明的路徑積分方法對(duì)接。除雙縫實(shí)驗(yàn)外還有一個(gè)選擇，就是通過討論斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)引入量子力學(xué)。
（我們可以通過討論斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)直接引入量子力學(xué)。）
斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)是個(gè)充滿了意外的實(shí)驗(yàn)，斯特恩是愛因斯坦的第一個(gè)學(xué)生，但他卻是個(gè)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，他想證實(shí)玻爾-索末菲模型中的幾個(gè)關(guān)鍵概念。
玻爾模型是個(gè)大雜燴，為了解釋原子光譜他把很多并不相容的假設(shè)捏在了一起。比如他讓電子在一個(gè)軌道上圍繞原子核運(yùn)動(dòng)，這就是經(jīng)典力學(xué)。但他又引入了量子化條件，只允許電子在幾個(gè)分立的軌道上圍繞原子核運(yùn)動(dòng)，這就又不服從經(jīng)典力學(xué)了。
但既然玻爾模型能夠很簡單地解釋氫原子光譜，而且推導(dǎo)又很簡單，物理學(xué)家認(rèn)為這個(gè)對(duì)原子的描述還是很有潛力的，比如索末菲就對(duì)玻爾模型進(jìn)行了推廣。原子中電子和原子核之間符合庫倫力，一個(gè)平方反比的吸引力，原子核本身的質(zhì)量比電子質(zhì)量大很多很多，這些都使得原子就像是一個(gè)微小的太陽系，根據(jù)開普勒的運(yùn)動(dòng)定律行星在一個(gè)橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，而橢圓是可以有不同偏心率的（圓是一種特殊的橢圓，偏心率為0）。
索末菲把玻爾模型中的圓軌道推廣到橢圓軌道，同時(shí)他把玻爾的量子化條件也推廣了。他引入了兩個(gè)量子數(shù)，一個(gè)角量子數(shù)$n_\phi$，使：
$\int p_\phi d \phi = n_\phi h , n_\phi = 1, 2, ...$
這里$\phi$是電子在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)的方位角。
另一個(gè)是徑向的量子數(shù)$n_r$，使：
$\int p_r dr = n_r h , n_r = 0, 1, 2, ...$
$n_r + n_\phi = n, n = 1, 2, ...$，$n$就是原先玻爾模型中的量子數(shù)。
對(duì)$n = 1$而言，$n_\phi = 1$，$n_r$只能等于0。這是氫原子能量最低的態(tài)，稱之為基態(tài)。考慮到電子既可以是順時(shí)針圍繞原子核運(yùn)動(dòng)，也可以是逆時(shí)針圍繞原子核運(yùn)動(dòng)的，于是一個(gè)$n_\phi$就對(duì)應(yīng)兩個(gè)“狀態(tài)”，用角動(dòng)量的語言說就是$L = \hbar$，但角動(dòng)量在$z$方向上的投影只能取$L_z = \pm \hbar $兩種情況，即角動(dòng)量也是量子化的。
量子化條件會(huì)引入不同于經(jīng)典物理的陳述，比如能量分裂成一個(gè)一個(gè)能級(jí)——能量量子化；現(xiàn)在又導(dǎo)致角動(dòng)量只能取分立值（對(duì)氫原子基態(tài)而言是兩個(gè)），我們稱這種現(xiàn)象為空間取向的量子化。
對(duì)$n=2$而言，$n_\phi = 1, 2$，$n_r = 0, 1$……
雖然玻爾-索末菲模型能解釋不少物理實(shí)驗(yàn)，但對(duì)這么一個(gè)大雜燴式的理論，物理學(xué)家并不真的相信。比如電子是否真的會(huì)在原子里面按照?qǐng)A形或橢圓形的軌道運(yùn)動(dòng)？這樣的圖像輔之以量子化條件等也許能夠解釋實(shí)驗(yàn)，但如果電子真的這么行為的話，那也太神奇了。
斯特恩是學(xué)物理化學(xué)的，但他卻有幸成了愛因斯坦的第一個(gè)學(xué)生。一戰(zhàn)結(jié)束后，斯特恩又成了玻恩的助手，在那里他研究了原子束方法。所謂原子束方法就是用一個(gè)爐子給金屬加熱，使金屬原子從爐子里跑出來，通過準(zhǔn)直裝置后，然后再對(duì)射出來的金屬原子進(jìn)行各種操作和測量。
斯特恩知道要想驗(yàn)證氫原子的“空間取向量子化”，就要讓$L_z = \pm hbar$的基態(tài)氫原子分開，但如何把不同$L_z$的氫原子分開呢？斯特恩有一天醒早了，當(dāng)時(shí)是冬天，他怕冷于是就躺在被窩里想這個(gè)問題。他想到可以讓氫原子通過一個(gè)在$z$方向上的非均勻磁場$B(z)$，磁場的非均勻性可以通過磁場的梯度$\frac{d B(z)}{d z}$來描述，如果梯度足夠大的話，就有可能把不同角動(dòng)量的原子分開。
斯特恩很興奮，于是跑去向玻恩匯報(bào)，但玻恩并不認(rèn)為這個(gè)實(shí)驗(yàn)有價(jià)值，在他看來“空間取向量子化”無非是個(gè)象征，在它的背后還有我們暫時(shí)不懂的物理，而斯特恩竟然在字面上相信會(huì)有這么回事，……，這就是他自己的事了。
It took me quite a time before I took this idea seriously. I thought always that (space) quantization was a kind of symbolic expression for something which you don’t understand. But to take this literally like Stern did, this was his own idea… I tried too persuade Stern that there was no sense (in it), but then he told me that it was worth a try.
但斯特恩獲得了蓋拉赫的幫助，而蓋拉赫直到此時(shí)才第一次聽說“空間取向量子化”。實(shí)驗(yàn)很難做，花了斯特恩和蓋拉赫一年多時(shí)間。
他們使用的是銀原子，用爐子把銀加熱到1000多攝氏度，然后使跑出來的銀原子通過兩個(gè)只有0.03毫米寬的準(zhǔn)直裝置。磁鐵有3.5厘米長，磁場強(qiáng)度是大約0.1特斯拉，在$z$方向上的梯度達(dá)到了10特斯拉每厘米。最終他們成功了，銀原子確實(shí)分裂成了兩束，兩束的間隔只有0.2毫米，而準(zhǔn)直裝置或磁鐵的方位只要差0.01毫米就會(huì)把銀原子的分裂圖樣破壞掉。可想而知這是一個(gè)十分精細(xì)的實(shí)驗(yàn)。
最后積累在靶上的銀原子很少，起初蓋拉赫什么都沒看到，他把靶遞給斯特恩看，這時(shí)他們看到銀原子積累的痕跡逐漸顯現(xiàn)。他們把這個(gè)現(xiàn)象歸結(jié)為銀的硫化，由于斯特恩當(dāng)時(shí)的薪水很低，他在實(shí)驗(yàn)室里抽劣質(zhì)的雪茄，他們分析是劣質(zhì)雪茄里的硫太多了，使銀硫化，而硫化銀是黑色的，很容易被看到。
盡管如此，斯特恩和蓋拉赫仍然無法得到穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在證實(shí)和否定“空間取向量子化”之間搖擺。他們的同事們也質(zhì)疑他們的實(shí)驗(yàn)，比如德拜就認(rèn)為“空間取向量子化”根本就不可能被觀察到。
But surely you don’t believe that the (spatial) orientation of atoms is something physically real; that is (only) a timetable for the electrons.
除此之外，他們還碰到很嚴(yán)峻的財(cái)務(wù)危機(jī)，當(dāng)時(shí)德國正處在困苦中，玻恩竭盡一切辦法為斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)籌款。他利用公眾對(duì)相對(duì)論的興趣在學(xué)校最大的演講廳內(nèi)為愛因斯坦辦系列公共演講，并對(duì)參加的聽眾收取門票。但通貨膨脹太厲害了，靠這筆錢也就支持了幾個(gè)月。最后多虧了美國的銀行家Goldman（金人）出手寄了幾百美元給玻恩。于是，實(shí)驗(yàn)繼續(xù)。
盡管如此，實(shí)驗(yàn)進(jìn)展得仍不如意。1922年，斯特恩去羅斯托克做教授了，他和蓋拉赫在哥廷根碰頭決定放棄實(shí)驗(yàn)。但一次鐵路罷工改變了這個(gè)實(shí)驗(yàn)的命運(yùn)，當(dāng)時(shí)蓋拉赫正坐著火車在回法蘭克福的途中，因?yàn)榱T工他在火車上又把實(shí)驗(yàn)的種種細(xì)節(jié)回顧了一遍，他想到了如何改進(jìn)準(zhǔn)直的新主意，回到法蘭克福后他繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，這一次他獲得了非常清晰的分裂條紋。進(jìn)一步的計(jì)算表明，條紋的分裂確實(shí)對(duì)應(yīng)$\pm 1$個(gè)玻爾磁子（$\mu_B $）磁矩的區(qū)別，誤差在10%左右。
表明看這是對(duì)玻爾-索末菲理論的直接證實(shí)，但其實(shí)只是巧合。求解氫原子的薛定諤方程，我們可以得到三個(gè)量子數(shù)：
主量子數(shù)：$n$，$n = 1, 2, ...$
角量子數(shù)：$l$，$l = 0, 1, 2, ... n-1$
磁量子數(shù)：$m$，$m= 0, \pm 1, \pm 2, \pm l$
氫原子的基態(tài)，對(duì)應(yīng)$n=1$，$l = 0$，$m = 0$，換句話說氫原子的基態(tài)應(yīng)該是沒有角動(dòng)量的，也沒有磁矩。當(dāng)然斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)里用的是銀原子，銀原子正好只剩一個(gè)5s電子在最外層，其他電子在內(nèi)層，其磁矩都相互抵消掉了。對(duì)5s電子而言，$n =5$，$l = 0$，$m = 0$，也沒有角動(dòng)量和磁矩。
那么斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)應(yīng)如何解釋呢？實(shí)際上它是表明電子具有新角動(dòng)量——自旋角動(dòng)量的證據(jù)。自旋（spin）這個(gè)名稱來自與經(jīng)典圖像的類別，但實(shí)際上這個(gè)對(duì)比又是不成立的，換句話說這個(gè)名字取錯(cuò)了，但名字無非是個(gè)指稱，物理學(xué)家似乎不太在乎這個(gè)名字會(huì)給門外漢的誤導(dǎo)，他們只要自己明白是怎么回事就完了。
仿照玻恩的句式，我們可以這么說：
自旋只是個(gè)符號(hào)，你要是做字面理解那你可就太Naive了。
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自旋不是真實(shí)的，但無論如何斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)是真實(shí)的。我們可以忘掉玻爾-索末菲理論，繼續(xù)挖掘這個(gè)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)涵。
我們把具有$z$方向上的非均勻磁場的斯特恩-蓋拉赫裝置記做$SGz$，銀原子通過$SGz$后將在$z$方向上分裂為兩束。分別對(duì)應(yīng)磁矩為$\pm \mu_B$，磁矩是在$z$方向上的，我們稱$- \mu_B$的那束為$s_z = \frac{1}{2}\hbar$，$\mu_B$的那束為$s_z = - \frac{1}{2}\hbar$（假設(shè)自旋的朗德因子是2，$g_s = 2$，負(fù)號(hào)很討厭，這是因?yàn)殡娮訋У氖秦?fù)電）。
非均勻磁場的取向是任意的，如果我們?cè)O(shè)法使銀原子通過一個(gè)$x$方向非均勻的磁場，即通過$SG_x$，我們會(huì)觀察到銀原子在$x$方向上的分裂，分裂成對(duì)稱的兩束，對(duì)應(yīng)$x$方向上的磁矩$\pm \mu_B$，$- \mu_B $對(duì)應(yīng)的那束是$s_x = \frac{1}{2} \hbar$，$\mu_B $對(duì)應(yīng)的那束是$s_x = - \frac{1}{2} \hbar$。
類似地，我們讓銀原子通過$y$方向上的非均勻磁場$SGy$，我們會(huì)觀察到銀原子在$y$方向的分裂，也是對(duì)稱的兩束，我們稱$- \mu_B$對(duì)應(yīng)的那束是$s_y = \frac{1}{2} \hbar$，$\mu_B$對(duì)應(yīng)的那束是$s_y = - \frac{1}{2} \hbar$。
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現(xiàn)在我們使這些實(shí)驗(yàn)組合起來，比如：
先讓銀原子通過SGz，銀原子分成對(duì)稱的兩束，我們用隔板擋住$s_z = -\frac{1}{2} \hbar$的那束，只讓$s_z = \frac{1}{2} \hbar$的那一束出射，這個(gè)動(dòng)作就是一個(gè)選擇或過濾的動(dòng)作。這就好比我們?cè)谝粋€(gè)籃子里放了一堆水果，有香蕉也有蘋果，我們現(xiàn)在做一個(gè)選擇，丟掉香蕉，把蘋果留下來。
我們把這種專門選擇$s_z = \frac{1}{2}\hbar$的斯特恩-蓋拉赫裝置記為SGz+，類似地還有SGz-，專門選擇$s_z = - \frac{1}{2}\hbar$的銀原子。類似地我們還可以定義SGx+，SGx-，SGy+和SGy-。
現(xiàn)在我們來做這樣的組合實(shí)驗(yàn)：
$Ag \to SGz+ \to SGz+ \to ?$
我們現(xiàn)在使用狄拉克的記號(hào)，把$s_z = \frac{1}{2}\hbar$的銀原子用記號(hào)$\left| z+ \right\rangle$表示。我們把用括號(hào)$\left| {} \right\rangle$叫做一個(gè)量子力學(xué)的態(tài)，括號(hào)里面放上可以描述這個(gè)態(tài)的參數(shù)，現(xiàn)在就是z+，這和銀原子束如何在$z$方向上發(fā)生偏轉(zhuǎn)有關(guān)。
讓銀原子束先通過SGz+，即把$\left| z+ \right\rangle$的態(tài)選擇出來，然后再通過一次SGz+，還是選擇$\left| z+ \right\rangle$，最后出射的還是$\left| z+ \right\rangle$。
$Ag \to SGz+ \to SGz- \to ?$
這個(gè)組合的作用是先選擇$\left| z+ \right\rangle$，再試圖從$\left| z+ \right\rangle$中選擇$\left| z- \right\rangle$，這是不可能的，最終沒有任何銀原子出來。
$\left| z+ \right\rangle$和$\left| z- \right\rangle$是兩個(gè)不相容的態(tài)，$\left| z+ \right\rangle$里面完全沒有$\left| z- \right\rangle$，$\left| z- \right\rangle$里面完全沒有$\left| z+ \right\rangle$。這就好像是兩個(gè)互相垂直的矢量$A, B$，A向B投影，或B向A投影都是0，我們可以說A里面完全沒有B的成分，同時(shí)B里面完全沒有A的成分。
同時(shí)把任意的態(tài)$\left| \alpha \right\rangle$分解為$\left| z+ \right\rangle$和$\left| z- \right\rangle$的線性組合又是完備的，因?yàn)槲覀兪广y原子通過SGz時(shí)只得到了對(duì)稱的兩束，換句話說在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下對(duì)銀原子分類只能得到兩類。
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需要提醒的是，以上陳述都是對(duì)實(shí)驗(yàn)的陳述，雖然我們有時(shí)會(huì)用推測式的語氣。
下面我們?cè)赟Gz+和SGz-之間插入一個(gè)SGx+：
$Ag \to SGz+ \to SGx+ \to SGz- \to ?$
$x$方向上的非均勻磁場意味著變換了篩選法則。當(dāng)然我們還可以推測，比如我們把$SGz \pm$想象為對(duì)水果種類的篩選，而$SGx \pm$想象為對(duì)水果顏色的篩選，那么我們有可能從“紅蘋果”中找出“香蕉”嗎？在這種推測下，我們會(huì)認(rèn)為沒有銀原子束出射。但最終結(jié)果只能實(shí)驗(yàn)說了算，實(shí)驗(yàn)表明有$\left z- \right\rangle$態(tài)的銀原子出來。
類似地，我們還可以做這樣的實(shí)驗(yàn)：
$Ag \to SGz+ \to SGx - \to SGz- \to ?$
$Ag \to SGz+ \to SGy + \to SGz- \to ?$
$Ag \to SGz+ \to SGy - \to SGz- \to ?$
$Ag \to SGx+ \to SGy - \to SGx- \to ?$
……
它們都會(huì)有銀原子出來。
我們管這樣的實(shí)驗(yàn)叫“連續(xù)的斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)”（sequential Stern-Gerlach experiment）。
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現(xiàn)在的問題是如何解釋實(shí)驗(yàn)。
如果我們認(rèn)為$\left| z+, x+ \right\rangle$這樣的態(tài)存在的話，即存在一個(gè)對(duì)自旋態(tài)（我們從現(xiàn)在開始不說銀原子了）的陳述，我們可以同時(shí)說$s_z = \frac{1}{2}\hbar$而且$s_x = \frac{1}{2}\hbar$，那么我們就沒法從$\left| z+, x+ \right\rangle$中篩選出$\left| z- \right\rangle$。
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我們還是使用蘋果、香蕉的語言：
設(shè)想我們先篩選出蘋果，然后換個(gè)篩選標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)蘋果按顏色篩選，篩選出所有“紅色的蘋果”，注意！問題就在這里，一旦你說出了“紅色的蘋果”這一陳述，我們就沒法從“紅色的蘋果”中篩選出香蕉了。
正確的陳述是：
我們首先篩選出蘋果，然后換個(gè)篩選標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)蘋果按顏色篩選，但這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是相克的，我們一旦知道了顏色，我們就完全喪失形狀的信息，現(xiàn)在我們只知道是紅色的，但完全不知道到底是蘋果和香蕉，最后我們對(duì)紅色的水果篩選出香蕉。
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我們現(xiàn)在來建立對(duì)連續(xù)斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)描述，或者說我們現(xiàn)在給出一個(gè)對(duì)自旋的數(shù)學(xué)描述。
考慮：$Ag \to SGz+ \to SGx+ \to SGz- \to ?$
假設(shè)銀原子從SGz+出來的比例是100%，通過SGx+后就只剩下50%，然后通過SGz-還剩25%銀原子。
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我們可以通過與光偏振現(xiàn)象的類比來建立自旋的理論。光有線偏振光，還有圓偏振光。
比如我們使偏振片的偏振方向與x軸平行，它的作用就是使電矢量垂直于x軸的光統(tǒng)統(tǒng)被吸收，而電矢量平行于x軸的光全部通過。這樣我們就得到一個(gè)x偏振的光，這也是篩選。
對(duì)一束x偏振的光而言，沒有任何y偏振的成分，相反亦然，這可以類比態(tài)$\left|z+ \right\rangle $和$\left| z- \right\rangle$，它們都是互相排斥的分類標(biāo)準(zhǔn)。
現(xiàn)在使偏振片旋轉(zhuǎn)$45o$，我們稱之為x'偏振片，它篩選出x'方向的偏振光，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)$90o$得到y(tǒng)'偏振片，篩選出y'偏振光，x'和y'是垂直的，因此x'偏振光中不會(huì)有任何y'的成分，反之亦然。
并且如果我們讓一束光先通過x偏振片再通過x'偏振片，最后通過y偏振片的話，我們會(huì)看到出射光，而且百分比和剛才連續(xù)的斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。
因此，我們就可以用x'偏振光來類比態(tài)$\left|x+ \right\rangle$，y'偏振光來類比$\left|x- \right\rangle$。
但我們還有態(tài)$\left| y+ \right\rangle$和$\left| y- \right\rangle$，它們應(yīng)和什么樣的偏振光來類比呢？
我們還有圓偏振光，R右旋光和L左旋光是互相排斥的分類標(biāo)準(zhǔn)，正好可以對(duì)應(yīng)態(tài)$\left| y+ \right\rangle$和$\left| y- \right\rangle$。
現(xiàn)在我們的問題就轉(zhuǎn)換為如何描述偏振光了，假設(shè)光沿$z$方向傳播，光是橫波，電矢量只能在$x-y$平面上振動(dòng)，因此我們可以用一個(gè)二維的列向量來描述任意一束偏振光，但為了描述圓偏振光，列向量中必須出現(xiàn)純虛數(shù)$i$，換句話說我們是用一個(gè)復(fù)系數(shù)的二維列向量來描述沿$z$方向傳播的光的偏振態(tài)的。
由于我們把自旋的態(tài)類比為光的偏振態(tài)，因此我們可以嘗試把自旋的態(tài)表示為一個(gè)復(fù)系數(shù)二維向量空間中的一個(gè)向量。
