作者：tracholar鏈接：https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/26047106來源：知乎著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。2017年更新：將這個答案整理了一下，寫了篇博客，加了一些理解和圖示，可以參考 深入理解傅里葉變換**
曾經和同學上課時深入探討過此問題，占坑，有空再來回答！！
我來說些不一樣的東西吧。
我假定樓主對這些變換已有一些了解，至少知道這些變換怎么算。好了，接下來我將從幾個不同的角度來闡述這些變換。
一個信號，通常用一個時間的函數
x(t)
x(t)=\Sigma_\omega X(\omega ) e^{i \omega t}
H(w)=Y(w)/X(w)
e^{2t} sin(t)
x(t)=\Sigma _s X(s) e^{st}
H(s)=Y(s)/X(s)
來表示。所以，從這里可以看到將信號分解為正弦函數（傅里葉變換）或者 復指數函數（拉普拉斯變換）對分析線性系統至關重要。
如果只關心信號本身，不關心系統，這幾個變換的關系可以通過這樣一個過程聯系起來。
首先需要明確一個觀點，不管使用時域還是頻域（或s域）來表示一個信號，他們表示的都是同一個信號！關于這一點，你可以從線性空間的角度理解。同一個信號，如果采用不同的坐標框架（或者說基向量），那么他們的坐標就不同。例如，采用
{\delta(t-\tau )|\tau \in R}
x(t)
{e^{i w t}|w\in R}
X(w)
。線性代數里面講過，兩個不同坐標框架下，同一個向量的坐標可以通過一個線性變換聯系起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個矩陣，在這里是無限維，這個線性變換就是傅里葉變換。
如果我們將拉普拉斯的
s=\sigma+j w
X(s)
j w
X(jw)
X(jw)
-B<w<B
）不為0。
根據采樣定理，可以對時域采樣，只要采樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號還原出來。那么采樣對信號的影響是什么呢？從s平面來看，時域的采樣將
X(s)
沿虛軸方向作周期延拓！這個性質從數學上可以很容易驗證。
z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個代換
z=e^{sT}
\sigma
2k\pi\le\theta \le 2(k+1)\pi
X(z)
是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進行z變換，將會得到一個多值的復變函數！所以一般只對采樣完了后的信號做z變換！
這里講了時域的采樣，時域采樣后，信號只有
-f_s/2\rightarrow f_s/2
間的頻譜，即最高頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個信號，仍然需要無限大的存儲空間，可以進一步對頻域進行采樣。如果時間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號，那么通過頻域采樣（時域做周期擴展）可以不失真地從采樣的信號中恢復原始信號。并且信號長度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么我要說DFT呢，因為計算機要有效地對一般的信號做傅里葉變換，都是用DFT來實現的。除非信號具有簡單的解析表達式！
總結起來說，就是對于一個線性系統，輸入輸出是線性關系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個系統的特性，比單純從時域分析要強大得多！兩個著名的應用例子就是線性電路和傅里葉光學（信息光學）。甚至非線性系統，也在很多情況里面使用線性系統的東西！所以傅里葉變換才這么重要！你看最早傅里葉最早也是為了求解熱傳導方程（那里其實也可以看做一個線性系統）！
傅里葉變換的思想還在不同領域有很多演變，比如在信號處理中的小波變換，它也是采用一組基函數來表達信號，只不過克服了傅里葉變換不能同時做時頻分析的問題。
最后，我從純數學的角度說一下傅里葉變化到底是什么。還記得線性代數中的代數方程
Ax=b
{v_i,i=1..n}
\lambda_i,i=1..n
x=\Sigma_i x_i v_i, b=\Sigma_i b_i v_i
\lambda_i x_i = b_i
y'+ay=z(x)
y=e^{sx}
\Lambda y = z
\Lambda y = \lambda y
編輯于2017-03-12
