現(xiàn)今但凡對計(jì)算機(jī)歷史有所了解的朋友，總能在第一時(shí)間想起一臺(tái)叫ENIAC的電子計(jì)算機(jī)，總多少聽聞過圖靈、馮·諾依曼這樣響當(dāng)當(dāng)?shù)拿郑瑓s鮮有人知早在他們一個(gè)世紀(jì)之前，就獨(dú)自開辟了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之路的傳奇人物——巴貝奇。
巴貝奇出生于英國一個(gè)富裕的家庭，父親是銀行家，所以他不愁吃不愁穿，一門心思鉆研各種感興趣的事物。他興趣廣泛，幾乎無所不能，他首先是位卓越的數(shù)學(xué)家，擔(dān)任過11年的劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位（這是一項(xiàng)極高的榮譽(yù)，前后都是由牛頓、霍金這樣的大神擔(dān)任），是皇家天文學(xué)會(huì)的領(lǐng)導(dǎo)成員、皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)的創(chuàng)始人，在光學(xué)、大氣觀測、電學(xué)、磁學(xué)、密碼學(xué)、地質(zhì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等諸多領(lǐng)域都有建樹，他甚至編寫過世界語辭典、研究過哺乳動(dòng)物的呼吸和脈搏、提高過蒸汽火車的速度、還在家里安裝了世界上第一臺(tái)空調(diào)系統(tǒng)……他仿佛已經(jīng)干完了別人好幾輩子才能干完的事，然而在其為計(jì)算機(jī)發(fā)展做出的貢獻(xiàn)面前，這些五花八門的成就甚至還顯得不值一提。
18世紀(jì)末，法國政府在開創(chuàng)米制之后，決定在數(shù)學(xué)中統(tǒng)一采用十進(jìn)制，竟奇葩地想把原本90度的直角劃分成100度、把原本60秒的1分鐘劃分成100秒，盡管從現(xiàn)在看來這樣的想法絕逼是一種倒退，但他們在當(dāng)時(shí)真就實(shí)施了。這一改制帶來的不光是人們在使用時(shí)直觀上的別扭，原本制作好的數(shù)學(xué)用表（如三角函數(shù)表）都需要全部重制。在上篇文章中，我們知道那個(gè)年代數(shù)學(xué)用表的計(jì)算全靠人力完成，所能用到的計(jì)算設(shè)備也相當(dāng)簡陋，只能做四則運(yùn)算。法國政府將這項(xiàng)喪心病狂的工程交給了數(shù)學(xué)家普羅尼（Gaspard de Prony），普羅尼正頭疼著要如何才能完成這項(xiàng)艱巨的任務(wù)，突然想起著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家亞當(dāng)·斯密（Adam Smith）的那本《富國論》，他決定采用書中提出的勞動(dòng)分工的做法，將制表的工作人員分成三組：第一組由五六名牛逼的數(shù)學(xué)家組成，他們負(fù)責(zé)制定運(yùn)算中所需的公式；第二組由九到十個(gè)擅長數(shù)學(xué)的人組成，他們負(fù)責(zé)計(jì)算出一些關(guān)鍵數(shù)據(jù)，并把第一組制定好的公式進(jìn)行簡化；第三組由約一百名計(jì)算人員組成，他們利用第二組提供的關(guān)鍵數(shù)據(jù)和公式，做最簡單的加減操作就能得出最終結(jié)果。第三組的工作簡單到什么程度，就是他們甚至都不知道自己正在算什么玩意兒，事實(shí)上他們的文化程度大部分都不高，里頭好多都是理發(fā)師、失業(yè)人員什么的。可見即便文盲都能完成的計(jì)算，在那個(gè)時(shí)代還是得依靠人力去做。
而為了保證用表的正確性，普羅尼要求每個(gè)數(shù)至少算兩遍，并且要在法國的不同地點(diǎn)用不同的方法計(jì)算。這項(xiàng)勞民傷財(cái)?shù)墓こ陶M(jìn)行了十年才完成，然而不幸的是，最終的表里仍然有錯(cuò)。說到這一點(diǎn)，可以說，那個(gè)時(shí)代基本沒有一版數(shù)學(xué)用表是完全正確的，有些版本甚至錯(cuò)誤百出，要知道數(shù)學(xué)用表出錯(cuò)有時(shí)后果會(huì)很嚴(yán)重，比如航海表一出錯(cuò)就可能直接導(dǎo)致船毀人亡。
巴貝奇在了解到普羅尼的事跡后淚流滿面，決心要做一套完全正確的數(shù)學(xué)用表，為達(dá)目的，他嘗試了各種減少錯(cuò)誤的手段，比如調(diào)整紙張和墨水的顏色以提高數(shù)字的識(shí)別度，直接拿現(xiàn)有的多個(gè)版本的表進(jìn)行謄抄、比對、讓不同人員反復(fù)校對，在1827年出版了一個(gè)版本，結(jié)果里頭還是有錯(cuò)。只要是人為的就沒有完美的，巴貝奇徹底跪了，他發(fā)誓要造一臺(tái)機(jī)器，讓機(jī)器去生產(chǎn)數(shù)學(xué)表。
那就是史上著名的差分機(jī)。
差分機(jī)（Difference Engine）
其實(shí)早在巴貝奇出生前，有個(gè)叫米勒（Johann Helfrich von Müller）的德國工程師就提出了差分機(jī)的思想，但僅僅是提了一下，并沒有進(jìn)行具體設(shè)計(jì)和制造，他最終還是把研制差分機(jī)的歷史重任讓給了巴貝奇。
之所以叫差分機(jī)這個(gè)名字，是因?yàn)樗?jì)算所使用的是帕斯卡在1654年提出的差分思想：n次多項(xiàng)式的n次數(shù)值差分為同一常數(shù)。舉個(gè)簡單的例子（以筆者撰寫該部分時(shí)的日期——12月12日——為例），對于函數(shù)F(x) = 12x+12，x取自然數(shù)：
對于一次多項(xiàng)式，每個(gè)相鄰的x所對應(yīng)的F(x)之差都是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)很明顯就是x的系數(shù)。那么二次多項(xiàng)式呢？依然以今天的日期（15年12月12日為例），對于函數(shù)F(X) = 15x^2+12x+12，x取自然數(shù)：
對于二次多項(xiàng)式，每個(gè)相鄰的x所對應(yīng)的一次差分之差都是常數(shù)，我們可以導(dǎo)出這一常數(shù)的通用公式：
在上述的例子中，a=15，確實(shí)二次差分常數(shù)為2a。三次、四次、乃至任意多次的多項(xiàng)式都遵守這樣的差分規(guī)律。
差分規(guī)律是一項(xiàng)偉大的發(fā)現(xiàn)，有了差分，在計(jì)算多項(xiàng)式時(shí)就可以用加法代替乘法，我們只需要算出幾個(gè)初始值，后頭任意x所對應(yīng)的F(x)值均可通過加法得出。仍以上面的二次多項(xiàng)式為例，根據(jù)x=0所對應(yīng)的第一列中的數(shù)據(jù)，第二列（x=1時(shí)）的函數(shù)值可由第一列的函數(shù)值和一次差相加所得、一次差可由第一列的一次差和二次差相加所得，第三列（x=2）的函數(shù)值和一次差又可由第二列的相應(yīng)數(shù)據(jù)相加所得，以此類推，我們能得到x任意取值時(shí)的F(x)。
學(xué)過高數(shù)的朋友應(yīng)該知道，一個(gè)函數(shù)在滿足一定條件的情況下可以用多項(xiàng)式逼近（冪級(jí)數(shù)展開），于是常用的三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)都可以通過多項(xiàng)式來計(jì)算的，而機(jī)械時(shí)期的計(jì)算設(shè)備最擅長的就是做加法，有了差分思想，巴貝奇看到差分機(jī)的前途一片光明。
從1812年到1822年，巴貝奇克服重重困難完成了一臺(tái)可以計(jì)算六位數(shù)二次多項(xiàng)式的模型機(jī)，他給皇家學(xué)會(huì)的主席寫信，希望政府可以出資，贊助他建造真正可用的大型差分機(jī)。政府也覺得這事兒很有意義，尤其對海軍很有價(jià)值，于是在1823年撥款1500英鎊，巴貝奇如魚得水，號(hào)稱只要兩三年時(shí)間就能完工。誰知實(shí)行起來要比想象中困難得多，那個(gè)時(shí)代的機(jī)械制造水平實(shí)在落后，差分機(jī)是十分精密的儀器，巴貝奇跑遍了歐洲都沒找到多少能用的零件，于是在制造差分機(jī)之前，他還要先想著怎么制造各類零件。在英國當(dāng)時(shí)一個(gè)牛逼的機(jī)械師克萊門特（Joseph Clement）的幫助下，他們真的在提高機(jī)械制造方面下足了功夫，不但做出了差分機(jī)能用的零件，還培養(yǎng)出大批優(yōu)秀的技師。本來這兩人強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合勢必能把差分機(jī)做好，但是巴貝奇是個(gè)精益求精的人，經(jīng)常改動(dòng)設(shè)計(jì)方案，導(dǎo)致工程時(shí)常要返工，工作量大大增加，外加親人的相繼去世，后來又和克萊門特鬧掰，到了1833年，十年都過去了，巴貝奇只做出了機(jī)器的一小部分，卻已經(jīng)花費(fèi)了3萬英鎊（遠(yuǎn)超最初預(yù)算）。政府對巴貝奇大失所望，終于在1842年正式宣布不再出資，到頭來巴貝奇給后世留下的就只有一個(gè)半成品，以及在1839年修訂好的一大堆設(shè)計(jì)圖紙，現(xiàn)存于倫敦科學(xué)博物館。
值得一提的是，巴貝奇做不出差分機(jī)實(shí)在不是客觀原因所致，與他同時(shí)代的瑞典人喬治·舒茨（Per Georg Scheutz）就根據(jù)他的設(shè)計(jì)在1843年做出了切實(shí)能用的差分機(jī)，巴貝奇倒是提供了不少指導(dǎo)和幫助，也算是了卻了自己一樁心愿吧。
150年后，為了紀(jì)念巴貝奇200年誕辰，從1989到1991年人們根據(jù)巴貝奇的設(shè)計(jì)圖紙建造了第一臺(tái)真正的巴貝奇差分機(jī)，機(jī)器完美運(yùn)行，工程師們驚奇地發(fā)現(xiàn)，巴貝奇的圖紙里只有極少的錯(cuò)誤，而且這些錯(cuò)誤八成是當(dāng)時(shí)為防止圖紙被盜用而刻意為之的。這臺(tái)差分機(jī)被保護(hù)在倫敦科學(xué)博物館的玻璃柜里，后來又造了一臺(tái)，放在美國硅谷的計(jì)算機(jī)歷史博物館，每天由導(dǎo)游給參觀者講解和演示，人們得以近距離膜拜。
實(shí)景地圖展示平臺(tái)xRez為計(jì)算機(jī)歷史博物館的差分機(jī)做了超高清攝像，機(jī)器的各個(gè)部位都能看得非常清楚。
我們接著來了解一下差分機(jī)最簡單的工作原理。在巴貝奇1839年的設(shè)計(jì)中，差分機(jī)可以支持七次多項(xiàng)式的計(jì)算。以F(x) = x^7+x為例，其7次差分值為常數(shù)5040。
由前文可知，表中任意一列的數(shù)據(jù)均可根據(jù)其前一列的數(shù)據(jù)計(jì)算得到，為此需要的初始數(shù)據(jù)就是第一列，計(jì)算下一列函數(shù)值的過程分7步：
F(x)+?F1(x) = F(x+1) 下一列的函數(shù)值
F1(x)+?F2(x) = ?F1(x+1) 下一列的一次差分值
……
F6(x)+?F7(x) = ?F6(x+1) 下一列的六次差分值
巴貝奇優(yōu)化了算法過程，讓每列數(shù)據(jù)成對成對地并行相加，把7步壓縮成兩步，可以更快地得到結(jié)果，但為此付出的代價(jià)是，需要事先計(jì)算更多初始數(shù)據(jù)：
背景色相同的四對數(shù)據(jù)分別相加，所得結(jié)果分別為下一列對應(yīng)的值：
而后是另外組合的三對數(shù)據(jù)分別相加：
以此類推，無窮盡也：
由于每次參與計(jì)算的都是函數(shù)值和1~7次差分值的最新值，于是僅需相應(yīng)的8個(gè)計(jì)數(shù)器。巴貝奇設(shè)計(jì)的計(jì)數(shù)器由31個(gè)計(jì)數(shù)輪垂直疊加而成，即支持31位十進(jìn)制數(shù)：
加上傳動(dòng)裝置和進(jìn)位裝置，就成了這樣一副喪病的模樣：
巴貝奇使用梯形的傳動(dòng)輪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)計(jì)數(shù)輪之間的相加，由于有梯形齒，傳動(dòng)輪可以同時(shí)帶動(dòng)兩個(gè)計(jì)數(shù)輪，也可以只帶動(dòng)一個(gè)。于是在進(jìn)行兩數(shù)相加時(shí)，傳動(dòng)輪先順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將右側(cè)計(jì)數(shù)輪上的數(shù)字加到左側(cè)輪上，而后上升一段距離，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同度數(shù)，將右側(cè)計(jì)數(shù)輪的示數(shù)還原到原來的位置。
仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)輪子上的數(shù)字排列順序是相反的。在兩輪相加的過程中，左側(cè)輪作為累加輪朝數(shù)值增大的方向旋轉(zhuǎn)，而右側(cè)輪作為加數(shù)輪則朝數(shù)值減少方向旋轉(zhuǎn)。在巴貝奇改進(jìn)的并行差分算法中，兩個(gè)步驟交替進(jìn)行，同一個(gè)計(jì)數(shù)輪需要交替充當(dāng)累加輪和加數(shù)輪的角色，于是當(dāng)機(jī)器運(yùn)行起來，這些齒輪需要正反方向交替旋轉(zhuǎn)。
差分機(jī)的進(jìn)位機(jī)構(gòu)比較復(fù)雜，簡單地說，每個(gè)計(jì)數(shù)輪都有一個(gè)針對高位的“進(jìn)位提示器”，當(dāng)計(jì)數(shù)輪從9轉(zhuǎn)到0，其對應(yīng)的“進(jìn)位提示器”就被撥到“需要進(jìn)位”的狀態(tài)，每次計(jì)算，計(jì)數(shù)輪都要轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，第一次是每位數(shù)相加，第二次是按照“進(jìn)位提示器”進(jìn)行進(jìn)位。我們直觀地感受一下連續(xù)進(jìn)位是什么樣子：
最后讓我們來欣賞一下差分機(jī)整個(gè)運(yùn)行起來的樣子：
分析機(jī)（Analytical Engine）
盡管沒能親手實(shí)現(xiàn)差分機(jī)，但巴貝奇并不會(huì)氣餒，或者說他本來就是根本停不下來的那種人。明知實(shí)現(xiàn)不了，巴貝奇仍在一刻不停地改進(jìn)著自己的設(shè)計(jì)，直到有一天，他構(gòu)思出了一種空前的機(jī)器——分析機(jī)，正式成為現(xiàn)代計(jì)算機(jī)史上的第一位偉大先驅(qū)。
1834年，分析機(jī)概念誕生之際，巴貝奇自己都為之感到無比震驚。在此之前，任何一臺(tái)計(jì)算機(jī)器都只能完成其被預(yù)定賦予的計(jì)算任務(wù)，要么是簡單的加減乘除，要么像差分機(jī)那樣只能做差分運(yùn)算，它們都屬于calculator，而分析機(jī)才是真正的computer，它不局限于特定功能，而竟然是可編程的，可以用來計(jì)算任意函數(shù)——現(xiàn)代人無論如何也無法想象在一坨齒輪上寫程序是怎樣一種體驗(yàn)吧！
巴貝奇設(shè)計(jì)的分析機(jī)主要包括三大部分：
1、用于存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的計(jì)數(shù)裝置，巴貝奇稱之為“倉庫”（store），相當(dāng)于現(xiàn)在CPU中的存儲(chǔ)器，這部分是從差分機(jī)上的計(jì)數(shù)裝置改進(jìn)而來的，我們很容易想象它的模樣；
2、專門負(fù)責(zé)四則運(yùn)算的裝置，巴貝奇稱之為“工廠”（mill），相當(dāng)于現(xiàn)在CPU中的運(yùn)算器，這部分的結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，巴貝奇針對乘除法還做了一些優(yōu)化；
3、控制操作順序、選擇所需處理的數(shù)據(jù)和輸出結(jié)果的裝置，巴貝奇沒有起名字，由于其呈桶狀，我們可以叫它“控制桶”，控制桶顯然相當(dāng)于現(xiàn)在CPU中的控制器。
以上三部分，加上巴貝奇并沒有疏漏的輸入輸出設(shè)備，我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，分析機(jī)的組成部分和現(xiàn)在馮·諾依曼架構(gòu)所要求的五大部件一模一樣！
巴貝奇另一大了不起的創(chuàng)舉就是將穿孔卡片（punched card）引入了計(jì)算機(jī)器領(lǐng)域，用于控制數(shù)據(jù)輸入和計(jì)算，從那時(shí)起，到第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)誕生為止，期間幾乎所有的數(shù)字計(jì)算機(jī)都使用了穿孔卡片。穿孔卡片本身并不是巴貝奇的發(fā)明，而是來自提花機(jī)。
提花機(jī)是我國古代用以制造絲錦的一種織機(jī)，最遲在殷商時(shí)期就已出現(xiàn)，后經(jīng)絲綢之路傳入阿拉伯國家，再傳到意大利和法國。以其中功能最強(qiáng)的大花樓提花機(jī)為例，長約一丈六尺，高約一丈五尺，高起的部分就叫花樓，織錦過程需要上下兩人配合完成。
織錦的原理其實(shí)十分簡單，就是通過一排排、一列列縱橫的絲線相互交織而成，縱向的叫經(jīng)線，橫向的叫緯線，要織出花紋，就需要將部分經(jīng)線提起，讓緯線通過梭口，沒有被經(jīng)線壓住的緯線部分就可以形成花紋。坐在花樓上的提花工就專門負(fù)責(zé)提起這些經(jīng)線，花樓下的織花工則負(fù)責(zé)拋梭引線。
由于每織一行花紋，所要提起的經(jīng)線都不盡相同，那么問題就來了，經(jīng)線那么多，織完一片錦前后要提那么多次，提花工怎么記得住每次提哪些經(jīng)線呢？傳統(tǒng)的方式是根據(jù)想要織出的花紋預(yù)先編織花本，就是把“每次需要提哪些經(jīng)線”這一信息編織到到一塊松松的網(wǎng)兜里，提花工根據(jù)花本提花。
提花機(jī)傳到西方后，十九世紀(jì)初，一個(gè)叫賈卡（Joseph Marie Jacquard）的法國人開始使用穿孔卡片來保存花本，將卡片置于經(jīng)線上方，其上方密密麻麻的針嘗試穿過卡片，卡片上沒有孔的地方針就被擋住，卡片上有孔的地方針就可以下探勾起經(jīng)線，原本提花工的任務(wù)就可以完全交給機(jī)器自動(dòng)完成，從此提花機(jī)就只需要一個(gè)工人操作了。
巴貝奇在一次巴黎展覽會(huì)上看到了賈卡的提花機(jī)，對其印象十分深刻，由于一直在研究計(jì)算機(jī)器，自然想到可以把穿孔卡片也應(yīng)用到分析機(jī)上。于是分析機(jī)中的輸入數(shù)據(jù)、存儲(chǔ)地址、運(yùn)算類型都使用穿孔卡片來表示。在機(jī)器運(yùn)行時(shí)，卡片上有孔和無孔的地方會(huì)導(dǎo)致對應(yīng)的金屬桿執(zhí)行不同操作，可編程性由此體現(xiàn)。下圖可以直觀地展現(xiàn)這一原理：
整個(gè)分析機(jī)就是在類似這樣的齒輪和拉桿作用下實(shí)現(xiàn)可編程運(yùn)算的：先從數(shù)據(jù)卡片讀入數(shù)據(jù)到存儲(chǔ)器，再將存儲(chǔ)器中的數(shù)據(jù)傳輸?shù)竭\(yùn)算器，運(yùn)算器算完后又將數(shù)據(jù)傳回存儲(chǔ)器。過程有點(diǎn)復(fù)雜，感興趣的朋友可以欣賞一下Youtube上Sydney Padua的視頻。
可惜的是，巴貝奇窮其一生也沒能真正把分析機(jī)做出來，留給后世的又是一臺(tái)模型機(jī)和兩千多張圖紙，以及這樣一段遺言：
如果一個(gè)人不因我一生的借鑒而卻步，仍然一往直前制成一臺(tái)本身具有全部數(shù)學(xué)分析能力的機(jī)器……那么我愿將我的聲譽(yù)毫不吝嗇地讓給他，因?yàn)橹挥兴軌蛲耆斫馕业姆N種努力以及這些努力所得成果的真正價(jià)值。
和差分機(jī)不同的是，分析機(jī)現(xiàn)存的圖紙并不完整，因此至今也沒能建造出來。不過好消息是，有兩個(gè)英國專家在前幾年發(fā)起了建造分析機(jī)的計(jì)劃——Plan 28（名稱來源于巴貝奇的第28套設(shè)計(jì)方案），宣稱要在2020年前做出來，讓人們看看CPU究竟是怎樣工作的，就讓我們拭目以待。
可以說，巴貝奇一生的奮斗都是孤獨(dú)的，在那個(gè)年代，人們看不到分析機(jī)的巨大價(jià)值和意義，有了先前差分機(jī)的失敗，政府也不再愿理會(huì)分析機(jī)的想法。巴貝奇的思想超前了整整一個(gè)世紀(jì)，但慶幸的是在有生之年，依然有著三位難能可貴的支持者：
首先是他的兒子亨利·巴貝奇（Henry Prevost Babbage），直到巴貝奇過世后，亨利也繼續(xù)著分析機(jī)的建造工作，但終究也力不從心未能完成；
而后是后來成為了意大利總理的數(shù)學(xué)家閔那布利（Luigi Federico Menabrea），他在巴貝奇1840年演講時(shí)詳細(xì)記錄下了分析機(jī)的思想；
最后就是著名詩人拜倫的女兒，史上大名鼎鼎的女程序員艾達(dá)（Ada Lovelace），她將閔那布利記錄分析機(jī)的文章翻譯成英文，巴貝奇建議她在翻譯時(shí)增添一些自己的理解，結(jié)果艾達(dá)注解的長度是原文的兩倍，其中針對計(jì)算伯努利數(shù)的算法被視為史上第一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，這篇名為《關(guān)于巴貝奇先生發(fā)明的分析機(jī)簡訊》的譯文被視為程序設(shè)計(jì)方面的第一篇著作，而艾達(dá)本人則成了世界上第一位程序員。
艾達(dá)幾乎是那個(gè)時(shí)候唯一一個(gè)真正理解分析機(jī)的人，她不僅編寫了許多可以在分析機(jī)上運(yùn)行的程序，甚至還看到了巴貝奇自己都沒有看到的事情——她說：分析機(jī)不光能用來計(jì)算，它應(yīng)該還能用來表示其他東西，比如音樂。這是多么遠(yuǎn)大的目光啊！后來美國國防部將一種編程語言命名為Ada，就是為了紀(jì)念這位與巴貝奇同樣具有超前思想的偉大女性。
更多詳細(xì)內(nèi)容，見新版連載：《計(jì)算機(jī)發(fā)展史趣談》
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