目錄
一.查找概論
????1.概念：
????2.查找表按照操作方式來分有兩大種：靜態(tài)查找表和動態(tài)查找表
????3.面向查找操作的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為查找結(jié)構(gòu)
二.順序表查找
????1.順序查找(Sequential Search):又叫線性查找，是最基本的查找技術(shù)
????2.順序表查找算法：
????3.順序表查找算法優(yōu)化
三.有序表查找
????1.折半查找
????2.差值查找
????3.斐波那契查找
????4.三種有序表查找的區(qū)別在于：
四.線性索引查找
????1.含義
????2.稠密索引
????3.分塊索引
????4.倒排索引
五.二叉排序樹
????1.含義：
????2.二叉排序樹查找操作
????3.二叉排序樹插入操作
????4.二叉排序樹的刪除操作
????5.二叉排序樹總結(jié)
六.平衡二叉樹
????1.含義
????2.平衡二叉樹的實現(xiàn)原理
????3.平衡二叉樹實現(xiàn)算法
七.多路查找樹(B樹)
????1.含義
????2.2-3樹
????3.2-3-4樹
????4.B樹
????5.B+樹
八.散列表查找(哈希表)概述
????1.散列表查找定義
????2.散列表查找步驟
????3.散列主要是面向查找的存儲結(jié)構(gòu)
九.散列函數(shù)的構(gòu)造方法
????1.好的散列函數(shù)的兩個原則
????2.直接定址法
????3.數(shù)字分析法
????4.平方取中法
????5.折疊法
????6.除留余數(shù)法
????7.采用不同散列函數(shù)的因素
十.處理散列沖突的方法
????1.開放定址法
????2.再散列函數(shù)法
????3.鏈地址法
????4.公共溢出區(qū)法
十一.散列表查找實現(xiàn)
????1.散列表查找算法實現(xiàn)
????2.散列表查找性能分析

一.查找概論

1.概念：

(1)查找表(Search Table)

是由同一類型的數(shù)據(jù)元素(或記錄)構(gòu)成的集合

(2)關(guān)鍵字（Key）

是數(shù)據(jù)元素中某個數(shù)據(jù)項的值，又稱為鍵值，用它可以標識一個數(shù)據(jù)元素。也可以標識一個記錄的某個數(shù)據(jù)項（字段），稱為關(guān)鍵碼

(3)主關(guān)鍵字：

若此關(guān)鍵字可以唯一地標識一個記錄，則稱此關(guān)鍵字為主關(guān)鍵字（Primary Key）

(4)次關(guān)鍵字：

對于那些可以識別多個數(shù)據(jù)元素（或記錄）的關(guān)鍵字，我們稱為次關(guān)鍵字，次關(guān)鍵字也可以理解為是不以唯一標識一個數(shù)據(jù)元素（或記錄）的關(guān)鍵字，它對應(yīng)的數(shù)據(jù)項就是次關(guān)鍵碼

2.查找表按照操作方式來分有兩大種：靜態(tài)查找表和動態(tài)查找表

(1)靜態(tài)查找表(Static Search Table)：只作查找操作的查找表。

它的主要操作有：

• 查詢某個“特定的”數(shù)據(jù)元素是否在查找表中
• 檢索某個“特定的”數(shù)據(jù)元素和各種屬性

(2)動態(tài)查找表(Dynamic Search Table)：

在查找過程中同時插入查找表中不存在的數(shù)據(jù)元素，或者從查找表中刪除已經(jīng)存在的某個數(shù)據(jù)元素
動態(tài)查找表的操作就是兩個：

• 查找時插入數(shù)據(jù)元素
• 查找時刪除數(shù)據(jù)元素

3.面向查找操作的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為查找結(jié)構(gòu)

二.順序表查找

1.順序查找(Sequential Search):又叫線性查找，是最基本的查找技術(shù)

2.順序表查找算法：

3.順序表查找算法優(yōu)化：

三.有序表查找

1.折半查找

(1)折半查找(Binary Search)技術(shù)，又稱為二分查找。

它的前提是線性表中的記錄必須是關(guān)鍵碼有序（通常從小到大有序），線性表必須采用順序存儲。

(2)折半查找的基本思想是：

在有序表中，取中間記錄作為比較對象，若給定值與中間記錄的關(guān)鍵字相等，則查找成功；若給定值小于中間記錄的關(guān)鍵字，則在中間記錄的左半?yún)^(qū)繼續(xù)查找；若給定值大于中間記錄的關(guān)鍵字，則在中間記錄的右半?yún)^(qū)繼續(xù)查找。不斷重復(fù)上述過程，直到查找成功，或所有查找區(qū)域無記錄，查找失敗為止

(3)折半算法的時間復(fù)雜度為O(logn)

2.插值查找

插值查找(Interpolation Search)是根據(jù)要查找的關(guān)鍵字key與查找表中最大最小記錄的關(guān)鍵字比較后的查找方法，其核心就在于插值的計算公式(key-a[low])/(a[high]-a[low])

3.斐波那契查找

(1)斐波那契查找(Fibonacci Search)，是利用黃金分割原理來實現(xiàn)的

(2)“斐波那契查找算法的核心在于：

• 當key=a[mid]時，查找就成功；
• 當key<a[mid]時，新范圍是第low個到第mid-1個，此時范圍個數(shù)為F[k-1]-1個；
• 當key>a[mid]時，新范圍是第m+1個到第high個，此時范圍個數(shù)為F[k-2]-1個

4.三種有序表查找的區(qū)別在于：

• 折半查找是進行加法與除法運算(mid=(low＋high)/2)，
• 插值查找進行復(fù)雜的四則運算(mid=low＋(high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low]))，
• 而斐波那契查找只是最簡單加減法運算(mid=low＋F[k-1]-1)

四.線性索引查找

1.含義：

(1)索引是為了加快查找速度而設(shè)計的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

索引就是把一個關(guān)鍵字與它對應(yīng)的記錄相關(guān)聯(lián)的過程，一個索引由若干個索引項構(gòu)成，每個索引項至少應(yīng)包含關(guān)鍵字和其對應(yīng)的記錄在存儲器中的位置等信息

(2)索引按照結(jié)構(gòu)可以分為線性索引、樹形索引和多級索引

(3)所謂線性索引就是將索引項集合組織為線性結(jié)構(gòu)，也稱為索引表

2.稠密索引

(1)稠密索引是指在線性索引中，將數(shù)據(jù)集中的每個記錄對應(yīng)一個索引項

稠密索引

(2)索引項有序也就意味著，我們要查找關(guān)鍵字時，可以用到折半、插值、斐波那契等有序查找算法，大大提高了效率

3.分塊索引

(1)分塊有序，是把數(shù)據(jù)集的記錄分成了若干塊，并且這些塊需要滿足兩個條件：

• 塊內(nèi)無序，即每一塊內(nèi)的記錄不要求有序
• 塊間有序

分塊索引

(2)定義的分塊索引的索引項結(jié)構(gòu)分三個數(shù)據(jù)項：

• 最大關(guān)鍵碼，它存儲每一塊中的最大關(guān)鍵字，這樣的好處就是可以使得在它之后的下一塊中的最小關(guān)鍵字也能比這一塊最大的關(guān)鍵字要大；
• 存儲了塊中的記錄個數(shù)，以便于循環(huán)時使用；
• 用于指向塊首數(shù)據(jù)元素的指針，便于開始對這一塊中記錄進行遍歷

(3)在分塊索引表中查找，就是分兩步進行：

• 一是在分塊索引表中查找要查關(guān)鍵字所在的塊
• 二是根據(jù)塊首指針找到相應(yīng)的塊，并在塊中順序查找關(guān)鍵碼

4.倒排索引

(1)倒排索引的索引項通用結(jié)構(gòu)是：

• 次關(guān)鍵碼，例如上面的“英文單詞”；
• 記錄號表，例如上面的“文章編號”。

(2)其中記錄號表存儲具有相同次關(guān)鍵字的所有記錄的記錄號,這樣的索引方法就是倒排索引

(3)由于不是由記錄來確定屬性值，而是由屬性值來確定記錄的位置，因而稱為倒排索引

五.二叉排序樹

1.含義：

(1)二叉排序樹(Binary Sort Tree)，又稱為二叉查找樹。

它或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹。

• 若它的左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點的值均小于它的根結(jié)構(gòu)的值；
• 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點的值均大于它的根結(jié)點的值；
• 它的左、右子樹也分別為二叉排序樹

2.二叉排序樹查找操作

(1)二叉樹結(jié)構(gòu)

/* 二叉樹的二叉鏈表結(jié)點結(jié)構(gòu)定義 */
/* 結(jié)點結(jié)構(gòu) */
typedef  struct BiTNode                 
{
    /* 結(jié)點數(shù)據(jù) */
    int data;                           
    /* 左右孩子指針 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    
} BiTNode, *BiTree;

(2)二叉樹插入操作

/* 遞歸查找二叉排序樹T中是否存在key, */
/* 指針f指向T的雙親，其初始調(diào)用值為NULL */
/* 若查找成功，則指針p指向該數(shù)據(jù)元素結(jié)點，并
   返回TRUE */
/* 否則指針p指向查找路徑上訪問的最后一個結(jié)點
   并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
    /* 查找不成功 */
    if (!T)                                        
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    /* 查找成功 */
    else if (key == T->data)                       
    {
       *p = T;
       return TRUE;
    }
    else if (key < T->data)
        /* 在左子樹繼續(xù)查找 */
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);    
    else
        /* 在右子樹繼續(xù)查找 */
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);    
}

3.二叉排序樹插入操作

/* 當二叉排序樹T中不存在關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元
   素時， */
/* 插入key并返回TRUE，否則返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key)
{
    BiTree p, s;
    /* 查找不成功 */
    if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p))    
    {
        s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data = key;
        s->lchild = s->rchild = NULL;
        if (!p)
            /* 插入s為新的根結(jié)點 */
            *T = s;                       
        else if (key < p->data)
            /* 插入s為左孩子 */
            p->lchild = s;                
        else
            /* 插入s為右孩子 */
            p->rchild = s;                
        return TRUE;
    }
    else
        /* 樹中已有關(guān)鍵字相同的結(jié)點，不再插入 */
        return FALSE;                     
}

4.二叉排序樹的刪除操作：

(1)刪除結(jié)點三種情況：

• 葉子結(jié)點；
• 僅有左或右子樹的結(jié)點；
• 左右子樹都有的結(jié)點，我們來看代碼，下面這個算法是遞歸方式對二叉排序樹T查找key，查找到時刪除

5.二叉排序樹總結(jié)：

(1)二叉排序樹是以鏈接的方式存儲，保持了鏈接存儲結(jié)構(gòu)在執(zhí)行插入或刪除操作時不用移動元素的優(yōu)點，只要找到合適的插入和刪除位置后，僅需修改鏈接指針即可

(2)一個集合按二叉排序樹查找，最好是把它構(gòu)建成一棵平衡的二叉排序樹

六.平衡二叉樹

1.含義：

(1)平衡二叉樹(Self-Balancing Binary SearchTree或Height-Balanced Binary Search Tree)

是一種二叉排序樹，其中每一個節(jié)點的左子樹和右子樹的高度差至多等于1

(2)要么它是一棵空樹，要么它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹

(3)距離插入結(jié)點最近的，且平衡因子的絕對值大于1的結(jié)點為根的子樹，我們稱為最小不平衡子樹

2.平衡二叉樹的實現(xiàn)原理：

(1)當最小不平衡子樹根結(jié)點的平衡因子BF是大于1時，就右旋，小于-1時就左旋

3.平衡二叉樹實現(xiàn)算法：

(1)二叉樹結(jié)構(gòu)定義

/* 二叉樹的二叉鏈表結(jié)點結(jié)構(gòu)定義 */
/* 結(jié)點結(jié)構(gòu) */
typedef struct BiTNode                  
{
    /* 結(jié)點數(shù)據(jù) */
    int data;                           
    /* 結(jié)點的平衡因子 */
    int bf;                             
    /* 左右孩子指針 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    
} BiTNode, *BiTree; 

(2)右旋操作：

/* 對以p為根的二叉排序樹作右旋處理， */
/* 處理之后p指向新的樹根結(jié)點，即旋轉(zhuǎn)處理之前
   的左子樹的根結(jié)點 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{
    BiTree L;
    /* L指向P的左子樹根結(jié)點 */
    L = (*P)->lchild;            
    /* L的右子樹掛接為P的左子樹 */
    (*P)->lchild = L->rchild;    
    L->rchild = (*P);
    /* P指向新的根結(jié)點 */
    *P = L;                      
} 

(3)左旋操作

/* 對以P為根的二叉排序樹作左旋處理， */
/* 處理之后P指向新的樹根結(jié)點，即旋轉(zhuǎn)處理之前
   的右子樹的根結(jié)點0 */
void L_Rotate(BiTree *P)
{
    BiTree R;
    /* R指向P的右子樹根結(jié)點 */
    R = (*P)->rchild;            
    /* R的左子樹掛接為P的右子樹 */
    (*P)->rchild = R->lchild;    
    R->lchild = (*P);
    /* P指向新的根結(jié)點 */
    *P = R;                      
}

七.多路查找樹(B樹)

1.含義：

(1)多路查找樹(muitl-way search tree)，

其每一個結(jié)點的孩子數(shù)可以多于兩個，且每一個結(jié)點處可以存儲多個元素。由于它是查找樹，所有元素之間存在某種特定的排序關(guān)系。

(2)四種特殊形式：2-3樹、2-3-4樹、B樹和B+樹

2.2-3樹

(1)含義：

2-3樹是這樣的一棵多路查找樹：其中的每一個結(jié)點都具有兩個孩子(我們稱它為2結(jié)點)或三個孩子(我們稱它為3結(jié)點)

(2)一個2結(jié)點包含一個元素和兩個孩子(或沒有孩子)，

且與二叉排序樹類似，左子樹包含的元素小于該元素，右子樹包含的元素大于該元素，這個2結(jié)點要么沒有孩子，要有就有兩個，不能只有一個孩子

(3)一個3結(jié)點包含一小一大兩個元素和三個孩子(或沒有孩子)，

如果某個3結(jié)點有孩子的話，左子樹包含小于較小元素的元素，右子樹包含大于較大元素的元素，中間子樹包含介于兩元素之間的元素

(4)2-3樹的插入實現(xiàn)：

對于2-3樹的插入來說，與二叉排序樹相同，插入操作一定是發(fā)生在葉子結(jié)點上。可與二叉排序樹不同的是，2-3樹插入一個元素的過程有可能會對該樹的其余結(jié)構(gòu)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)

(5)2-3樹插入分三種情況：

• 對于空樹，插入一個2結(jié)點即可
• 插入結(jié)點到一個2結(jié)點的葉子上。應(yīng)該說，由于其本身就只有一個元素，所以只需要將其升級為3結(jié)點即可
• 要往3結(jié)點中插入一個新元素。因為3結(jié)點本身已經(jīng)是2-3樹的結(jié)點最大容量(已經(jīng)有兩個元素)，因此就需要將其拆分，且將樹中兩元素或插入元素的三者中選擇其一向上移動一層

(6)2-3樹的刪除實現(xiàn)：

• 所刪除元素位于一個3結(jié)點的葉子結(jié)點上， 只需要在該結(jié)點處刪除該元素即可，不會影響到整棵樹的其他結(jié)點結(jié)構(gòu)
• 所刪除的元素位于一個2結(jié)點上，即要刪除的是一個只有一個元素的結(jié)點，分四種情形，情形一，結(jié)點的雙親也是2結(jié)點，且擁有一個3結(jié)點的右孩子。若要刪除結(jié)點1，那么只需要左旋即可；情形二，結(jié)點的雙親是2結(jié)點，它的右孩子也是2結(jié)點；情形三，此結(jié)點的雙親是一個3結(jié)點；情形四，當前樹是一個滿二叉樹的情況
• 所刪除的元素位于非葉子的分支結(jié)點。此時通常是將樹按中序遍歷后得到此元素的前驅(qū)或后繼元素，考慮讓它們來補位即可

3.2-3-4樹

(1)含義：

它其實就是2-3樹的概念擴展，包括了4結(jié)點的使用。一個4結(jié)點包含小中大三個元素和四個孩子(或沒有孩子)，一個4結(jié)點要么沒有孩子，要么具有4個孩子。如果某個4結(jié)點有孩子的話，左子樹包含小于最小元素的元素；第二子樹包含大于最小元素，小于第二元素的元素；第三子樹包含大于第二元素，小于最大元素的元素；右子樹包含大于最大元素的元素

4.B樹

(1)含義：

結(jié)點最大的孩子數(shù)目稱為B樹的階（order），因此，2-3樹是3階B樹，2-3-4樹是4階B樹。

(2)一個m階的B樹具有如下屬性：

• 如果根結(jié)點不是葉結(jié)點，則其至少有兩棵子樹。
• 每一個非根的分支結(jié)點都有k-1個元素和k個孩子，其中。每一個葉子結(jié)點n都有k-1個元素，
• 所有葉子結(jié)點都位于同一層次。
• 所有分支結(jié)點包含下列信息數(shù)據(jù)

(3)在B樹上查找的過程是一個順指針查找結(jié)點和在結(jié)點中查找關(guān)鍵字的交叉過程

(4)至于B樹的插入和刪除，方式是與2-3樹和2-3-4樹相類似的，只不過階數(shù)可能會很大而已

5.B+樹

(1)含義：

B+樹是應(yīng)文件系統(tǒng)所需而出的一種B樹的變形樹

(2)在B樹中，每一個元素在該樹中只出現(xiàn)一次，有可能在葉子結(jié)點上，也有可能在分支結(jié)點上。而在B+樹中，出現(xiàn)在分支結(jié)點中的元素會被當作它們在該分支結(jié)點位置的中序后繼者（葉子結(jié)點）中再次列出。另外，每一個葉子結(jié)點都會保存一個指向后一葉子結(jié)點的指針

(3)一棵m階的B+樹和m階的B樹的差異在于：

• 有n棵子樹的結(jié)點中包含有n個關(guān)鍵字；
• 所有的葉子結(jié)點包含全部關(guān)鍵字的信息，及指向含這些關(guān)鍵字記錄的指針，葉子結(jié)點本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接；
• 所有分支結(jié)點可以看成是索引，結(jié)點中僅含有其子樹中的最大(或最小)關(guān)鍵字

(4)B+樹的插入、刪除過程也都與B樹類似，只不過插入和刪除的元素都是在葉子結(jié)點上進行而已

八.散列表查找(哈希表)概述

1.散列表查找定義：

(1)散列技術(shù)是在記錄的存儲位置和它的關(guān)鍵字之間建立一個確定的對應(yīng)關(guān)系f

(2)這種對應(yīng)關(guān)系f稱為散列函數(shù)，又稱為哈希（Hash）函數(shù)

(3)按這個思想，采用散列技術(shù)將記錄存儲在一塊連續(xù)的存儲空間中，這塊連續(xù)存儲空間稱為散列表或哈希表（Hash table）。那么關(guān)鍵字對應(yīng)的記錄存儲位置我們稱為散列地址

2.散列表查找步驟：

(1)在存儲時，通過散列函數(shù)計算記錄的散列地址，并按此散列地址存儲該記錄

(2)當查找記錄時，我們通過同樣的散列函數(shù)計算記錄的散列地址，按此散列地址訪問該記錄

3.散列主要是面向查找的存儲結(jié)構(gòu)。

九.散列函數(shù)的構(gòu)造方法

1.好的散列函數(shù)的兩個原則：

(1)計算簡單

(2)散列地址分布均勻

2.直接定址法

3.數(shù)字分析法：

(1)抽取方法是使用關(guān)鍵字的一部分來計算散列存儲位置的方法，這在散列函數(shù)中是常常用到的手段

(2)數(shù)字分析法通常適合處理關(guān)鍵字位數(shù)比較大的情況，如果事先知道關(guān)鍵字的分布且關(guān)鍵字的若干位分布較均勻，就可以考慮用這個方法

4.平方取中法

5.折疊法：

(1)含義：

折疊法是將關(guān)鍵字從左到右分割成位數(shù)相等的幾部分（注意最后一部分位數(shù)不夠時可以短些），然后將這幾部分疊加求和，并按散列表表長，取后幾位作為散列地址

6.除留余數(shù)法：

此方法為最常用的構(gòu)造散列函數(shù)方法。對于散列表長為m的散列函數(shù)公式為：

f(key)=key mod p(p≤m)

mod是取模（求余數(shù)）的意思

6.隨機數(shù)法：

7.采用不同散列函數(shù)的因素：

(1).計算散列地址所需的時間
(2).關(guān)鍵字的長度
(3).散列表的大小
(4).關(guān)鍵字的分布情況
(5).記錄查找的頻率

十.處理散列沖突的方法：

1.開放定址法

2.再散列函數(shù)法

3.鏈地址法

4.公共溢出區(qū)法

十一.散列表查找實現(xiàn)

1.散列表查找算法實現(xiàn)

2.散列表查找性能分析

(1)如果沒有沖突，散列查找是我們本章介紹的所有查找中效率最高的，因為它的時間復(fù)雜度為O(1)
(2)散列查找的平均查找長度取決于的因素

• 散列函數(shù)是否均勻
• 處理沖突的方法
• 散列表的裝填因子，所謂的裝填因子α=填入表中的記錄個數(shù)/散列表長度。α標志著散列表的裝滿的程度。當填入表中的記錄越多，α就越大，產(chǎn)生沖突的可能性就越大