??插值，不論在數(shù)學(xué)中的數(shù)值分析中，還是在我們實(shí)際生產(chǎn)生活中，都不難發(fā)現(xiàn)它的身影，比如造船業(yè)和飛機(jī)制造業(yè)中的三次樣條曲線。那么，什么是插值呢？我們可以先看一下插值的定義，如下：

?? 插值的定義無疑是清楚明了的，而在眾多的數(shù)學(xué)函數(shù)中，多項(xiàng)式無疑是最簡單，最常見的函數(shù)，關(guān)于它的理論研究也最為透徹。因此，我們可以不妨先考慮利用多項(xiàng)式來進(jìn)行插值。那么，這樣的多項(xiàng)式是否總是存在呢？答案是肯定的，因?yàn)槲覀冇腥缦露ɡ恚?/p>

??有了以上定理，我們可以放心地使用多項(xiàng)式進(jìn)行插值，同時，通過上述定理，我們可以用歸納法來構(gòu)造此多項(xiàng)式，但是，這樣的方法難免復(fù)雜麻煩。于是，天才的法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）創(chuàng)造性地發(fā)明了一種實(shí)用的插值多項(xiàng)式方法來解決這個問題，那么，他的方法是怎么樣的？

??以上就是拉格朗日插值多項(xiàng)式的理論介紹部分，接下來我們就要用Python中的Sympy模塊來實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值多項(xiàng)式啦~~
??實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值多項(xiàng)式的Python代碼如下：

from sympy import *

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)
    
    return factor(expand(ploy))

def main():
    #example 1, interpolation a line 
    x_1 = [1,2]
    y_1 = [3,5]
    if len(x_1) != len(y_1):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
    
    #example 2, interpolation a parabola
    x_2 = [0,2,3]
    y_2 = [1,2,4]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
    
    #example 3
    x_3 = [0,1,2,3]
    y_3 = [2,1,0,-1]
    if len(x_3) != len(y_3):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
        
main()

函數(shù)Lagrange_interpolation()具體實(shí)現(xiàn)了拉格朗日插值多項(xiàng)式，參數(shù)(keys, values)為list形式的點(diǎn)對，在main()函數(shù)中舉了三個Lagrange_interpolation()函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例，一個是插值兩個點(diǎn)，即直線，一個是插值三個點(diǎn)，即拋物線，一個是插值四個點(diǎn)，但結(jié)果卻是一次多項(xiàng)式。該程序的運(yùn)行結(jié)果如下：

程序運(yùn)行結(jié)果

??接下來，我們將介紹一個拉格朗日插值多項(xiàng)式的應(yīng)用，即求

的求和公式，其中$x,k$為正整數(shù)。分析如下:
??首先，該求和公式應(yīng)當(dāng)是一個至多為k+1次的關(guān)于x的多項(xiàng)式。然后，我們可以通過取k+2個不同的點(diǎn)，利用拉格朗日插值多項(xiàng)式的辦法來求解，這k+2個不同的點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以取x=1,2,...,k+2,在求出其對應(yīng)的縱坐標(biāo)的值。
??以下代碼分別求出k=1,2,...,50的求和公式，并將其插入到Redis中。

from sympy import *
import redis

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)
    
    return factor(expand(ploy))

def degree_of_sum(k):
    x_list, y_list = [], []
    degree = k    # degree=k in expression of  1^k+2^k+...+x^{k}
    cul_sum = 0
    for i in range(1,degree+3):
        x_list.append(i)
        cul_sum += i**degree
        y_list.append(cul_sum)
    return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)

def main(): 
    r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
    for k in range(1,51):
        expression = str(degree_of_sum(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
        print('Degree of %d inserted!'%k)

main()

運(yùn)行以上程序，結(jié)果如下：

程序運(yùn)行結(jié)果

在Redis中的儲存結(jié)果如下：

Redis儲存結(jié)果（部分）

我們可以具體查看當(dāng)$k=2$時的求和公式，如下：

k=2時的求和公式

??這樣我們就介紹完了一個拉格朗日插值多項(xiàng)式的應(yīng)用了?？戳松厦娴慕榻B，聰明又機(jī)智的你是否能想到更多拉格朗日插值多項(xiàng)式的應(yīng)用呢？歡迎大家交流哦~~
??新的一年，新的氣象，就從這一篇開始~~