1. 拉格朗日多項(xiàng)式插值

1. 了解概念
   插值多項(xiàng)式
   插值節(jié)點(diǎn)
   范德蒙特(Vandermonde)行列式
   截?cái)嗾`差、插值余項(xiàng)

2. 特點(diǎn)

3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

    function y=lagrange(x0,y0,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for i=1:m
        z=x(i);
        s=0.0;
        for k=1:n
            p=1.0;
            for j=1:n
                if j~=k
                    p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
                end
            end
            s=p*y0(k)+s;
        end
        y(i)=s;
    end
   

設(shè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)以數(shù)組x0,y0輸入（注意Matlat的數(shù)組下標(biāo)從1開始），m個(gè)插值點(diǎn)以數(shù)組x 輸入，輸出數(shù)組y為m個(gè)插值。
則可用y = lagrange(x0,y0,x)調(diào)用。

2. 牛頓（Newton）插值

1. 了解概念
   差商
   差分
   等距節(jié)點(diǎn)插值公式(Newton向前插值公式)
2. 特點(diǎn)
   每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，因而便于遞推運(yùn)算。而且 Newton 插值的計(jì)算量小于Lagrange 插值。
3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

3. 分段線性插值

1. 了解概念
   插值多項(xiàng)式的振蕩

2. 特點(diǎn)
   將每兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數(shù)。它是為了解決高次插值多項(xiàng)式的缺陷：隨著插值次數(shù)n增加，雖然誤差減小，但插值函數(shù)光滑性變壞，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大的振蕩。
   實(shí)際上用函數(shù)表作插值計(jì)算時(shí)，分段線性插值就足夠了，如數(shù)學(xué)、物理中用的特殊函數(shù)表，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用的概率分布表等。

3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)
   一維插值函數(shù)interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')

    method 指定插值的方法，默認(rèn)為線性插值。其值可為：
    'nearest' 最近項(xiàng)插值
    'linear' 線性插值
    'spline' 逐段3次樣條插值
    'cubic' 保凹凸性3次插值。
    所有的插值方法要求 x0 是單調(diào)的。
    當(dāng) x0 為等距時(shí)可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
   

4. 埃爾米特(Hermite)插值

1. 了解概念

2. 特點(diǎn)
   如果對(duì)插值函數(shù)，不僅要求它在節(jié)點(diǎn)處與函數(shù)同值，而且要求它與函數(shù)有相同的一
   階、二階甚至更高階的導(dǎo)數(shù)值，這就是Hermite 插值問題。
   這里主要討論在節(jié)點(diǎn)處插值函數(shù)與函數(shù)的值及一階導(dǎo)數(shù)值均相等的Hermite 插值。

3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)
   設(shè)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)以數(shù)組x0（已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)）， y0（函數(shù)值）， y1（導(dǎo)數(shù)值）輸入（注意Matlat 的數(shù)組下標(biāo)從1 開始），m 個(gè)插值點(diǎn)以數(shù)組x 輸入，輸出數(shù)組y 為m個(gè)插值。

    function y=hermite(x0,y0,y1,x)
    n=length(x0);m=length(x);
    for k=1:m
        yy=0.0;
        for i=1:n
            h=1.0;
            a=0.0;
            for j=1:n
                if j~=i
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
                end
            end
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
        end
        y(k)=yy;
    end
   

5. 樣條插值

1. 了解概念
   樣條函數(shù)
   關(guān)于分劃Δ的k次樣條函數(shù) k次樣條曲線 樣條節(jié)點(diǎn) 內(nèi)節(jié)點(diǎn) 邊界點(diǎn) k次樣條函數(shù)空間
   二次樣條函數(shù) 三次樣條函數(shù)

2. 特點(diǎn)
   有些問題對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求，要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。

3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

                                        y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
                                        y=spline(x0,y0,x)；
                                        pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。
                                        其中 x0,y0 是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，x 是插值點(diǎn)，y 是插值點(diǎn)的函數(shù)值。
    對(duì)于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù) csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值點(diǎn)的函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppval。
    pp=csape(x0,y0)：使用默認(rèn)的邊界條件，即Lagrange 邊界條件。
    pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的邊界條件，其值可為：
    'complete' 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，即默認(rèn)的邊界條件
    'not-a-knot' 非扭結(jié)條件
    'periodic' 周期條件
    'second' 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值[0, 0]。
    'variational' 設(shè)置邊界的二階導(dǎo)數(shù)值為[0,0]。
    對(duì)于一些特殊的邊界條件，可以通過 conds 的一個(gè)1×2矩陣來表示，conds 元素的
    取值為1，2。此時(shí)，使用命令
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    其中y0_ext=[left, y0, right]，這里left 表示左邊界的取值，right 表示右邊界的取值。
    conds(i)=j 的含義是給定端點(diǎn)i 的j 階導(dǎo)數(shù)，即conds 的第一個(gè)元素表示左邊界的條
    件，第二個(gè)元素表示右邊界的條件，conds=[2,1]表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階
    導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)的值由left 和right 給出。
   

4. 例題

    已知函數(shù)y=(x^2+2x+3)e^(-2x)，給定x的取值從0到1步長為0.1的數(shù)據(jù)點(diǎn)，用三次樣條函數(shù)求該函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的積分。
   
    x0 = 0:0.1:1;   
    y0 = (x0.^2+2*x0+3).*exp(-2*x0);
    pp = csape(x0,y0);           %進(jìn)行三次樣條插值
    sy = fnint(pp);              %求樣條函數(shù)的積分函數(shù)，結(jié)果為pp數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
    I = ppval(sy,1)-ppval(sy,0)  %求樣條函數(shù)積分的值
   

6. B樣條函數(shù)插值方法

1. 了解概念
   磨光函數(shù)
   等距B樣條函數(shù)
   一維等距B樣條函數(shù)插值 二維等距B樣條函數(shù)插值

2. 特點(diǎn)
   實(shí)際中的許多問題，往往是既要求近似函數(shù)（曲線或曲面）有足夠的光滑性，又要求與實(shí)際函數(shù)有相同的凹凸性，一般插值函數(shù)和樣條函數(shù)都不具有這種性質(zhì)。如果對(duì)于一個(gè)特殊函數(shù)進(jìn)行磨光處理生成磨光函數(shù)（多項(xiàng)式），則用磨光函數(shù)構(gòu)造出樣條函數(shù)作為插值函數(shù)，既有足夠的光滑性，而且也具有較好的保凹凸性，因此磨光函數(shù)在一維插值（曲線）和二維插值（曲面）問題中有著廣泛的應(yīng)用。
3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

7. 二維插值

1. 了解概念
   插值節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)
   插值節(jié)點(diǎn)為散亂節(jié)點(diǎn)

2. 特點(diǎn)

3. 函數(shù)實(shí)現(xiàn)

插值節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)

二次樣條插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
其中 x0,y0分別為m維和n維向量，表示節(jié)點(diǎn)，z0為n × m維矩陣表示節(jié)點(diǎn)值，x,y為一維數(shù)組表示插值點(diǎn)x與y應(yīng)是方向不同的向量，即一個(gè)是行向量，另一個(gè)是列向量，z為矩陣，它的行數(shù)為y的維數(shù)，列數(shù)為x的維數(shù)，表示得到的插值，'method'的用法同上面一維插值。
三次樣條插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分別為m 維和n維向量，z0 為m × n 維矩陣，z 為矩陣，它的行數(shù)為x的維數(shù)，列數(shù)為y的維數(shù)，表示得到的插值，使用方法同一維插值。

插值節(jié)點(diǎn)為散亂節(jié)點(diǎn)

已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求點(diǎn)(x, y)處的插值z(mì)：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z 均為n 維向量，指明所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。向量XI、YI是給定的網(wǎng)格點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，返回值ZI為網(wǎng)格（XI，YI）處的函數(shù)值。XI與YI應(yīng)是方向不同的向量，即一個(gè)是行向量，另一個(gè)是列向量。

最小二乘法的Matlab 實(shí)現(xiàn)

1. 解方程組方法
   A = R \Y

    x=[19 25 31 38 44]';
    y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';
    ab=r\y
   

2. 多項(xiàng)式擬合方法
   a=polyfit(x0,y0,m)
   其中輸入?yún)?shù)x0,y0 為要擬合的數(shù)據(jù)，m 為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，輸出參數(shù)a 為擬合多項(xiàng)式y(tǒng)=amxm+…+a1x+a0 系數(shù)a=[ am, …, a1, a0]。
   多項(xiàng)式在x 處的值y可用y=polyval(a,x)計(jì)算。

最小二乘優(yōu)化

在Matlab 優(yōu)化工具箱中，用于求解最小二乘優(yōu)化問題的函數(shù)有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

1. lsqlin 函數(shù)
   x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
2. lsqcurvefit 函數(shù)
   X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)
3. lsqnonlin 函數(shù)
   X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)
4. lsqnonneg 函數(shù)
   X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)