1. 拉格朗日多項式插值
了解概念
插值多項式
插值節點
范德蒙特(Vandermonde)行列式
截斷誤差、插值余項特點
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函數實現
function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
設n個節點數據以數組x0,y0輸入（注意Matlat的數組下標從1開始），m個插值點以數組x 輸入，輸出數組y為m個插值。
則可用y = lagrange(x0,y0,x)調用。
2. 牛頓（Newton）插值
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了解概念
差商
差分
等距節點插值公式(Newton向前插值公式) -
特點
每增加一個節點，插值多項式只增加一項，因而便于遞推運算。而且 Newton 插值的計算量小于Lagrange 插值。 - 函數實現
3. 分段線性插值
了解概念
插值多項式的振蕩特點
將每兩個相鄰的節點用直線連起來，如此形成的一條折線就是分段線性插值函數。它是為了解決高次插值多項式的缺陷：隨著插值次數n增加，雖然誤差減小，但插值函數光滑性變壞，有時會出現很大的振蕩。
實際上用函數表作插值計算時，分段線性插值就足夠了，如數學、物理中用的特殊函數表，數理統計中用的概率分布表等。-
函數實現
一維插值函數interp1：y=interp1(x0,y0,x,'method')method 指定插值的方法，默認為線性插值。其值可為： 'nearest' 最近項插值 'linear' 線性插值 'spline' 逐段3次樣條插值 'cubic' 保凹凸性3次插值。 所有的插值方法要求 x0 是單調的。 當 x0 為等距時可以用快速插值法，使用快速插值法的格式為'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。
4. 埃爾米特(Hermite)插值
了解概念
特點
如果對插值函數，不僅要求它在節點處與函數同值，而且要求它與函數有相同的一
階、二階甚至更高階的導數值，這就是Hermite 插值問題。
這里主要討論在節點處插值函數與函數的值及一階導數值均相等的Hermite 插值。-
函數實現
設n個節點的數據以數組x0（已知點的橫坐標）， y0（函數值）， y1（導數值）輸入（注意Matlat 的數組下標從1 開始），m 個插值點以數組x 輸入，輸出數組y 為m個插值。function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end
5. 樣條插值
了解概念
樣條函數
關于分劃Δ的k次樣條函數 k次樣條曲線 樣條節點 內節點 邊界點 k次樣條函數空間
二次樣條函數 三次樣條函數特點
有些問題對插值函數的光滑性有較高要求，要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續，而且要有連續的曲率，這就導致了樣條插值的產生。-
函數實現
y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。 其中 x0,y0 是已知數據點，x 是插值點，y 是插值點的函數值。 對于三次樣條插值，我們提倡使用函數 csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值點的函數值，必須調用函數ppval。 pp=csape(x0,y0)：使用默認的邊界條件，即Lagrange 邊界條件。 pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的邊界條件，其值可為： 'complete' 邊界為一階導數，即默認的邊界條件 'not-a-knot' 非扭結條件 'periodic' 周期條件 'second' 邊界為二階導數，二階導數的值[0, 0]。 'variational' 設置邊界的二階導數值為[0,0]。 對于一些特殊的邊界條件，可以通過 conds 的一個1×2矩陣來表示，conds 元素的 取值為1，2。此時，使用命令 pp=csape(x0,y0_ext,conds) 其中y0_ext=[left, y0, right]，這里left 表示左邊界的取值，right 表示右邊界的取值。 conds(i)=j 的含義是給定端點i 的j 階導數，即conds 的第一個元素表示左邊界的條 件，第二個元素表示右邊界的條件，conds=[2,1]表示左邊界是二階導數，右邊界是一階 導數，對應的值由left 和right 給出。 -
例題
已知函數y=(x^2+2x+3)e^(-2x)，給定x的取值從0到1步長為0.1的數據點，用三次樣條函數求該函數在區間[0，1]上的積分。 x0 = 0:0.1:1; y0 = (x0.^2+2*x0+3).*exp(-2*x0); pp = csape(x0,y0); %進行三次樣條插值 sy = fnint(pp); %求樣條函數的積分函數，結果為pp數據結構 I = ppval(sy,1)-ppval(sy,0) %求樣條函數積分的值
6. B樣條函數插值方法
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了解概念
磨光函數
等距B樣條函數
一維等距B樣條函數插值 二維等距B樣條函數插值
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特點
實際中的許多問題，往往是既要求近似函數（曲線或曲面）有足夠的光滑性，又要求與實際函數有相同的凹凸性，一般插值函數和樣條函數都不具有這種性質。如果對于一個特殊函數進行磨光處理生成磨光函數（多項式），則用磨光函數構造出樣條函數作為插值函數，既有足夠的光滑性，而且也具有較好的保凹凸性，因此磨光函數在一維插值（曲線）和二維插值（曲面）問題中有著廣泛的應用。 - 函數實現
7. 二維插值
了解概念
插值節點為網格節點
插值節點為散亂節點特點
函數實現
插值節點為網格節點
二次樣條插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
其中 x0,y0分別為m維和n維向量，表示節點，z0為n × m維矩陣表示節點值，x,y為一維數組表示插值點x與y應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列向量，z為矩陣，它的行數為y的維數，列數為x的維數，表示得到的插值，'method'的用法同上面一維插值。
三次樣條插值：pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})
其中 x0,y0 分別為m 維和n維向量，z0 為m × n 維矩陣，z 為矩陣，它的行數為x的維數，列數為y的維數，表示得到的插值，使用方法同一維插值。
插值節點為散亂節點
已知n個節點：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求點(x, y)處的插值z：
ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
其中X、Y、Z 均為n 維向量，指明所給數據點的橫坐標、縱坐標和豎坐標。向量XI、YI是給定的網格點的橫坐標和縱坐標，返回值ZI為網格（XI，YI）處的函數值。XI與YI應是方向不同的向量，即一個是行向量，另一個是列向量。
最小二乘法的Matlab 實現
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解方程組方法
A = R \Yx=[19 25 31 38 44]'; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]'; ab=r\y 多項式擬合方法
a=polyfit(x0,y0,m)
其中輸入參數x0,y0 為要擬合的數據，m 為擬合多項式的次數，輸出參數a 為擬合多項式y=amxm+…+a1x+a0 系數a=[ am, …, a1, a0]。
多項式在x 處的值y可用y=polyval(a,x)計算。
最小二乘優化
在Matlab 優化工具箱中，用于求解最小二乘優化問題的函數有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg
- lsqlin 函數
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) - lsqcurvefit 函數
X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) - lsqnonlin 函數
X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS) - lsqnonneg 函數
X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)
