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1.設函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),且對[0,1]上任一點x有 $0\le f(x)\le 1$ 證明：[0,1]中必存在一點c,使f(c)=c(c稱為f(x)的不動點)

證：

$設F(x)=f(x)-x,則F(0)=f(0)\ge 0,F(1)=f(1)-1\le 0$

$若F(0)=0或F(1)=0,則0或1即為f(x)的不動點$

$若F(0)\gt 0,F(x)\lt 0,則由零點定理可知$

$\exists c\in (0,1)使F(c)=0,即f(c)=c,此時c為f(x)的不動點$

2.證明方程x=asinx+b $(其中a\gt 0,b\gt 0)$ ,至少有一個正根,且不超過a+b

證：

$設f(x)=x-asinx-b,則$

$f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]\ge 0$

$若f(a+b)=0,則a+b就是x=asinx+b的一個正根,且不超過a+b$

$若f(a+b)\neq 0,即f(a+b)\gt 0$

$\because f(0)=0-asin0-b=-b\lt 0,且f(x)在[0,a+b]上連續(xù)$

$\therefore 由零點定理可知$

$\exists \xi\in(0,a+b)使f(\xi)=0$

$則\xi 即為x=asinx+b的一個正根,且不超過a+b$

$綜上所述$

$方程x=asinx+b(其中a\gt 0,b\gt 0),至少有一個正根,且不超過a+b$

3.證明任一最高次冪的指數(shù)為奇數(shù)的代數(shù)方程 $a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$ 至少有一實根,其中 $a_0,a_1,\cdots,a_{2n+1}$ 均為常數(shù), $n\in N$

證：

$設f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}$

$其中a_0\neq 0,不妨設a_0\gt 0,則$

$\exists x_1\gt 0使f(x_1)\gt 0而f(-x_1)\lt 0$

$又f(x)是連續(xù)函數(shù)$

$由零點定理可知$

$\exists C\in(-x_1,x_1)使f(C)=0,即方程f(x)=0至少有一個實根$

4.證明：若f(x)在[a,b]上連續(xù), $a\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt b(n\ge 3)$ ,則在 $(x_1,x_n)$ 內(nèi)至少有一點 $\xi$ 使 $f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

證：

$設m=min\{f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n)\}=f(x^{(1)})\}$

$M=max\{f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n)\}=f(x^{(n)})\}$

$則m={mn\over n}\le {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}\le {Mn\over n}=M$

$即f(x^{(1)})\le {f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}\le f(x^{(n)})$

$\because f(x)在[a,b]上連續(xù),[x^{(1)},x^{(n)}]\subset[a,b]或[x^{(n)},x^{(1)}]\subset[a,b]$

$\therefore 由介值定理可知$

$\exists \xi\in(x^{(1)},x^{(n)})或(x^{(n)},x^{(1)})使得$

$f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

$即在(x_1,x_n)內(nèi)至少有一點\xi使f(\xi)={f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\over n}$

5.設函數(shù)f(x)對于[a,b]上的任意兩點x,y,恒有 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ (其中L為正常數(shù)),且 $f(a)f(b)\lt 0$ ,證明：至少有一點 $\xi\in (a,b)使f(\xi)=0$

證：

$\forall x_0\in (a,b),\forall \varepsilon\gt 0,取\delta=min\{{\varepsilon\over L},x_0-a,b-x_0\}$

$則當|x-x_0|\lt \delta時,有|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|\le \varepsilon$

$\therefore f(x)在x_0處連續(xù)$

$由x_0\in (a,b)的任意性知f(x)在(a,b)連續(xù)$

$當x_0=a或x_0=b時,取\delta={\varepsilon\over L}則,$

$x\in[a,a+\delta)或x\in(b-\delta,b]時,有$

$|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|\le \varepsilon$

$\therefore f(x)在x=a右連續(xù),在x=b左連續(xù)$

$\therefore f(x)在[a,b]上連續(xù)$

$又f(a)f(b)\lt 0$

$\therefore 由零點定理可知$

$\exists \xi\in(a,b)使f(\xi)=0$

6.證明：若f(x)在 $(-\infty,+\infty)$ 內(nèi)連續(xù),且 $\lim_{x\to \infty}f(x)$ 存在,則f(x)必在 $(-\infty,+\infty)$ 內(nèi)有界

證：

$不妨設\lim_{x\to \infty}f(x)=A$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists X\gt 0,當|x|\gt X時,有|f(x)-A|\lt \varepsilon$

$取\varepsilon=1,則\exists x_0\gt 0,當|x|\gt x_0時,有A-1\lt f(x)\lt A+1$

$\because f(x)在(-\infty,+\infty)內(nèi)連續(xù)$

$\therefore f(x)在[-x_0,x_0]內(nèi)有界,$

$即\exists M_0,使|f(x)|\le M_0$

$取M=max\{|A-1|,|A+1|,M_0\}$

$則當x\in(-\infty,+\infty)時,有|f(x)\le M$

$即f(x)在(-\infty,+\infty)內(nèi)有界$

7.在什么條件下(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)

解：

$當\lim_{x\to a^+}與\lim_{x\to b^-}f(x)存在且為有限值時$

$連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)一致連續(xù)$

$設F(x)=\begin{cases}\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\qquad x=a\\ f(x)\qquad a\lt x\lt b\\ \lim\limits_{x\to b^-}f(x)\qquad x=b\end{cases}$

$\because f(x)在(a,b)上連續(xù)$

$\therefore F(x)在[a,b]上連續(xù)$

$由一致連續(xù)性定理可知$

$F(x)在[a,b]上一致連續(xù)$

$\therefore f(x)在(a,b)上一致連續(xù)?$

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