我們把一條線段分割為兩部分,使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比.其比值是一個無理數,取其前三位數字的近似值是0.618.由于按此比例設計的造型十分美麗,因此稱為黃金分割,也稱為中外比.這是一個十分有趣的數字,我們以0.618來近似,通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域,而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用.下面讓我們首先從一個數列開始,它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列",這些數被稱為"菲波那契數".特點是即除前兩個數（數值為1）之外,每個數都是它前面兩個數之和.
菲波那契數列與黃金分割有什么關系呢?經研究發現,相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的.即f(n)/f(n-1)-→0.618….由于菲波那契數都是整數,兩個整數相除之商是有理數,所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數.但是當我們繼續計算出后面更大的菲波那契數時,就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的.
接下來便是斐波那契數列的公式推斷：
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那么這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特征方程
線性遞推數列的特征方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1X1^n + C2X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1X1 + C2X2
C1X1^2 + C2X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]
F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]
F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]
……
F(3)-rF(2)=s[F(2)-rF(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F(2)-rF(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r2*s(n-3) + r^3F(n-3)
……
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r2*s(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F(1)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)
（這是一個以s(n-1)為首項、以r(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s(n-1)-r(n-1)r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
參考資料： http://baike.baidu.com/view/816.htm
而黃金分割的公式如下：
