昨晚實在無聊，半夜爬起來看BBC的《數學的故事》。當那個長得像Daniel Craig的大叔以極其詭異的手法解決了古埃及勞苦人民的分餅問題后，我瞬間被震撼了，雖然好像自己以前曾經做過，但是一點印象都沒了。
幾個概念：
- 我們把0到1之間的分數叫做真分數；
- 分子為1的真分數稱為單位分數。
問題描述：
如何將任意真分數x拆解為有限個單位分數之和？
考慮到可能有多個解法，在此我們要求單位分數盡可能大。
我們首先考慮的是用1/2，1/3，1/4，……一個個去試，如果這個單位分數1/n比x小，1/n就入選了。接著用同樣方法從1/(n+1)開始找x - 1/n的解。能不能一次定位n呢？
既然要求x - 1/n > 0 且n盡可能小，那么n就是大于1/x的最小整數，即n = ceiling[1/x]。以下是Mathematica解法：
aux[x_] := 1/Ceiling[1/x]
toS := ToString[#, InputForm] &
g[x_] :=
If[IntegerQ[1/x], x // toS,
(f[x] // toS) <> "+" <> g[x - aux[x]]]
aux()和toS()這兩個函數都是打醬油的，g()才是主角。如果x本身就是單位分數，那么省事了（這也是遞歸的終點），但如果不是，則照上面的辦法求解。
P.S. 好久沒用Mathematica了，還是很快就上手了。但發現幾個問題：
- Mathematica的自定義函數名不允許含下劃線，因為下劃線有特殊含義（以前專門研究過，可惜每次過后就忘）。這樣我就不能像Ruby那樣把函數取名為to_s，有點小不爽。
- Mathematica好像不能像Ruby那樣在字符串內求值#{...}。所以我只好用丑陋的StringJoin（即<>）。
接下來，很自然地想問：這個算法能不能保證在有限步內終止，即真分數能不能表示為有限個盡可能大的單位分數之和。注意，聯想到無窮級數，你能很輕易找到某個真分數可以表示為無窮個單位分數之和，比如1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ……
而一個無理數可能是不能表示為有限個單位分數之和的。因為只要將這有限個分數通分就能將這個無理數寫成某個分式，那么它就不是無理數了。
然后的然后，我還沒想出來-_-!
