【題目描述】
Say you have an array for which the?i?th element is the price of a given stock on day?i.
Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most?k transactions.
?Notice：You may not engage in multiple transactions at the same time (i.e., you must sell the stock before you buy again).
假設你有一個數組，它的第i個元素是一支給定的股票在第i天的價格。
設計一個算法來找到最大的利潤。你最多可以完成?k?筆交易。
【注】你不可以同時參與多筆交易(你必須在再次購買前出售掉之前的股票)
【題目鏈接】
www.lintcode.com/en/problem/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
【題目解析】
下面的解法主要是能把兩次的限制推廣到k次交易：
這道題是Best Time to Buy and Sell Stock的擴展，現在最多可以進行兩次交易。所以仍然使用動態規劃來完成，事實上可以解決非常通用的情況，也就是最多進行k次交易的情況。 這里我們先解釋最多可以進行k次交易的算法，然后最多進行兩次我們只需要把k取成2即可。我們還是使用“局部最優和全局最優解法”。我們維護兩種量，一個是當前到達第i天可以最多進行j次交易，最好的利潤是多少（global[i][j]），另一個是當前到達第i天，最多可進行j次交易，并且最后一次交易在當天賣出的最好的利潤是多少（local[i][j]）。下面我們來看遞推式，全局的比較簡單，
global[i][j]=max(local[i][j],global[i-1][j])，
也就是去當前局部最好的，和過往全局最好的中大的那個（因為最后一次交易如果包含當前天一定在局部最好的里面，否則一定在過往全局最優的里面）。
全局（到達第i天進行j次交易的最大收益） = max{局部（在第i天交易后，恰好滿足j次交易），全局（到達第i-1天時已經滿足j次交易）}
對于局部變量的維護，遞推式是
local[i][j]=max(global[i-1][j-1]+max(diff,0),local[i-1][j]+diff)，
也就是看兩個量，第一個是全局到i-1天進行j-1次交易，然后加上今天的交易，如果今天是賺錢的話（也就是前面只要j-1次交易，最后一次交易取當前天），第二個量則是取local第i-1天j次交易，然后加上今天的差值（這里因為local[i-1][j]比如包含第i-1天賣出的交易，所以現在變成第i天賣出，并不會增加交易次數，而且這里無論diff是不是大于0都一定要加上，因為否則就不滿足local[i][j]必須在最后一天賣出的條件了）。
局部（在第i天交易后，總共交易了j次） = max{情況2，情況1}
情況1：在第i-1天時，恰好已經交易了j次（local[i-1][j]），那么如果i-1天到i天再交易一次：即在第i-1天買入，第i天賣出（diff），則這不并不會增加交易次數！【例如我在第一天買入，第二天賣出；然后第二天又買入，第三天再賣出的行為 和 第一天買入，第三天賣出 的效果是一樣的，其實只進行了一次交易！因為有連續性】 情況2：第i-1天后，共交易了j-1次（global[i-1][j-1]），因此為了滿足“第i天過后共進行了j次交易，且第i天必須進行交易”的條件：我們可以選擇1：在第i-1天買入，然后再第i天賣出（diff），或者選擇在第i天買入，然后同樣在第i天賣出（收益為0）。
上面的算法中對于天數需要一次掃描，而每次要對交易次數進行遞推式求解，所以時間復雜度是O(n*k)，如果是最多進行兩次交易，那么復雜度還是O(n)。空間上只需要維護當天數據皆可以，所以是O(k)，當k=2，則是O(1)。
【參考答案】
www.jiuzhang.com/solutions/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
