乘法的種類已經多到計數困難了。

第六種乘法

難產的乘法：復數的乘法

因為復數出生的時候，難產，所以，這種乘法難產。

復數的出生，是因為解三次方程，為了方便起見，人們先假設任何數都可以開平方，包括負數。

于是，出現了“負一的平方根”這樣的數，最早，只是假設有，通過一系列復雜的運算，又可以沒有。像幽靈一樣神秘，于是命名為“虛數”。

虛數的單位就是“負一的平方根”，那么負四的平方根之一就是兩個虛數單位，負九的平方根之一就是三個虛數單位，類推。

雖然虛數很難產，但它是最適合乘法的。因為虛數單位是這樣規定的，假如存在一個數字，自己乘以自己，結果為負一，那么，這個數就是虛數單位。人們剛開始就大方的把它成這樣：

后來，就只用一個字母 i 來表示。
于是，有了這樣一種乘法：

或者寫成

這種乘法，最早只有這樣一個式子。因為這個數字是想象出來的，所以用 image 的第一個字母表示。

很長時間里，人們不知道，這到底意味著什么。直到有一天，有一位測繪專家指出，乘以復數，表示方向的改變。

前面提到，添加負號，可以表示改變方向，把向東和向西變來變去。添加負號的本質是乘以負一。從向東改成向西，改變了180度。

而乘以i僅僅改變90度，把向東的變成向北的，向北的變成向西的，向西的變成向南的，向南的變成向東的。就這樣，轉著圈。

乘以i,則旋轉90度

上圖，點A對應的復數是(4+3i)，把這個數乘以i,結果就是(4i-3)，或者寫成(-3+4i)。因此，向量OA對應的復數乘以i,
得到的復數，對應向量OB，OB就是OA逆時針轉過90度的結果。這個結論，是人類研究了將近100年才得到的。

最早的加減乘除，可以在一條線上跳越前進;
有了i，就可以自由的在整個平面上跳躍了。

5 + 6i 就表示 先向東走 5步，再向北走 6步。
也可表示，從起點到終點，直接畫一個箭頭，既有長度，也有方向。

復數 z1 乘以復數 z2，表示把z1對應的箭頭按z2 的指示，拉長（或縮短），再旋轉。
或者z1指示z2，運算的結果是一樣的。
也就是說：復數的乘法滿足交換律。

復數發展過程中，誕生了一種叫做“向量”的東西，就是那根箭頭。有長度，并且有方向。

由于虛數的神秘特征，介紹虛數以及復數的讀物和文章很多，這里不展開。

第七種乘法：向量的叉乘

這種乘法，早已有之。只是，最早沒有這樣稱呼。阿基米德研究過。就是杠桿的原理。

人在用手壓直的杠桿的時候，用力的方向必然盡量垂直于杠桿。對于一個翹翹板，順著平行于板子的方向推和拉是不起任何作用的，垂直于板子的力量才有效果。

用翹翹板的長度和人的重量，做一個矩形，這個矩形面積越大，就越能壓動翹翹板。這個矩形就是力矩。

在其它的杠桿上，如果力用的有點斜，那么，做的圖形就會是個平行四邊形。平行四邊形也沒有關系，它的面積依然是力矩。

很明顯，四邊長度固定，矩形面積會比平行四邊形大。

矩形是一種特殊的平行四邊形。

力矩的大小是一個面積值。在規定單位長度以后，面積值總能化成長度值。于是，規定一邊長為1,力矩就可以用另一邊的長度來表示了。于是，力矩的大小也可以用一個線段的長度來表示。

杠桿有方向，力有方向，于是，力矩也有方向。

力量的方向可以理解，在翹翹板是向下。兩邊的人都向下。向地面上。

杠桿為什么有方向呢？因為從支點向力的作用點，一個是向東，一個是向西。

那么力矩是朝向那邊的呢？力矩是朝向南北的。坐在東邊的人，力矩方向超北。坐在西邊的人，力矩方向朝南。

力矩的方向為何如此奇特呢？我見過很多高深的解釋，什么角速度之類的都來了。其實不必。你只需要觀察擰螺絲就知道了，擰螺絲的時候，使用的是杠桿，但力都發在了中央，螺絲鉆入的方向，就是力矩的方向。如果你反方向擰，螺絲會退出，那么，退出的方向就是力矩的方向。

（反向的螺紋日常生活中很少見到，只出現在專業的領域。）

擰瓶蓋也是，力矩的方向就是瓶蓋運動的方向。不需要用右手法則慢慢比劃。

因此，力矩既垂直于力，也垂直于力臂，是另一個平面上的向量。

所以，涉及到這種向量的叉乘，結果必然是在三維空間中完成的。

如果力和力臂垂直，直接用 LF 就可以計算。如果不垂直，就用 LFsin(a)。垂直的時候，角度正弦就是1。

所以，平面上，兩個向量叉乘的結果還是一個向量，方向垂直于平面，大小是兩向量大小的乘積，然后打折，折扣是夾角的正弦。

由于叉乘的方向已經規定了。所以，在不同的坐標系中，可以表現為不同的符號，右手系和左手系正好相反。

表示叉乘的符號，依然用小學最先接觸的叉。

第八種乘法：向量的點乘

物理學中的點乘

這種乘法，早已有之。只是，最早沒有這樣稱呼。牛頓研究過，就是做功的原理。

人在推動一個東西的時候，例如推汽車，用力的方向必然盡量與物體運動方向一致。

在推動小木塊做功的時候，計算的方法是

點乘的物理意義

功只有大小，沒有方向。就算做無用功，也會耗費人體內的能量。

點乘也只有大小，沒有方向。因此叫“標量”。

與計算叉乘方法類似，只是換成了余弦。

而這個點乘，表現在數學坐標系上，非常容易記憶和計算。
平面上O是坐標原點，有兩個點 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，對應兩個向量，OA和OB。這兩個向量點乘，結果就是
x1x2+y1y2。是一個數值。

物理上的理解就是，橫向的力對橫向的位移做功，縱向的力對縱向的位移做功，最后，把所有功加起來就是總功。

點乘是最重要的乘法。也叫做“內積”。不管多少維的向量，只要把對應的維度乘起來，然后相加就可以了。

代數中的點乘

點乘的代數定義

點乘，在幾何上的表現就是，一個向量a在向量b上的投影長度，乘以向量b。

滿足交換律。

幾何中的點乘

點乘的幾何定義

實際上，b*cos(theta)就是b在a上的投影，投影的寫法可以是這樣的：

b在a上的投影

這樣定義以后，點乘可以寫作：

點乘的另一種表示

而a在b上的投影，另一種寫法是：

點乘對側單位向量

單位向量，就是單位1的意思，向量的大小是通過與之比例來度量的。

帽子表示單位向量

生活中的點乘

點乘，在生活中是最常見的。舉例：
買早餐，茶葉蛋每個1.5元，每個花卷0.8元，每份豆漿2元，每根油條1元，列個表，就是這樣的

假如買了4個茶葉蛋，5個花卷，3份豆漿，2根油條，列個表就是這樣的

這樣兩個表，求總共花多少錢，用的算法就是點乘法。

附：一些兩位數乘法小技巧

兩位數乘以兩位數，有一類很特別，那就是同時滿足下面兩個條件的時候，可以速算：
條件一：這兩個數十位上的數相同
條件二：這兩個數個位上的數字互補（加起來為10）

速算的時候，用大九九口訣，也就是說，“一一得一”必須念成“一一零一”，“二三得六”念成“二三零六”。這樣，一位數乘以一位數，結果肯定是兩位。

上面那種情況，結果前兩位的算法是a(a+1)，后兩位的算法是直接相乘。舉例來說：

27×23
十位都是2,滿足條件一;
個位7+3為10,滿足條件二。
計算結果：
前兩位2×(2+1)=23=06
后兩位結果為73 =21
最終結果0621

71×79
滿足兩個條件
前兩位7×(7+1)=56
后兩位1×9=09
最終結果5609

為何寫在這里呢？因為，這種算法看上去就像用(7 1)點乘(8 9)。