《運(yùn)籌學(xué)》系列文章：
運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外。
——《史記》
1.什么是運(yùn)籌學(xué)？
首先看什么叫 運(yùn)籌? 正如司馬遷在史記中所寫: 在小小的軍帳之內(nèi)作出正確的部署，能決定千里之外戰(zhàn)場上的勝負(fù)。我覺得 “部署、規(guī)劃”等詞都可以用來解釋運(yùn)籌的意思。
一個(gè)很形象的比喻就是：領(lǐng)導(dǎo)和他的智囊團(tuán)在一個(gè)會(huì)議室里面規(guī)劃某一個(gè)具體的項(xiàng)目以達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。 而運(yùn)籌學(xué)就是研究如何更好地進(jìn)行規(guī)劃以達(dá)到這個(gè)目標(biāo)的學(xué)問，它可以給出一個(gè)具體的方案，或者給出一些有力的信息。當(dāng)然了對(duì)于一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)而言，想想也不大可能就完全參考運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)模型直接給出的方案，再加上有時(shí)候并不能直接給出一個(gè)方案，而是一些參考的有價(jià)值的結(jié)論。所有我覺得課本中有一句話總結(jié)的很好：
它的目的是為行政管理人員在做決策時(shí)提供科學(xué)的依據(jù)。
—— 《運(yùn)籌學(xué)》[1]
其實(shí)不只是領(lǐng)導(dǎo)，我們?nèi)粘Ｉ钪芯陀泻芏嗟睦泳涂梢赃M(jìn)行規(guī)劃，例如我如何從中科大廈去外灘，我們可以選擇做地鐵、公交甚至直接一輛小黃車騎過去，本著最經(jīng)濟(jì)的目標(biāo)我可以規(guī)劃出一個(gè)方案來。但是因?yàn)檫@些是生活中的小事，我們一般利用一些常識(shí)即可判斷。
2.化具體為抽象：
我們來進(jìn)一步看一下那個(gè)從中科大廈去外灘的那個(gè)規(guī)劃問題。
| 完善過程 | 輸入 | 輸出 |
|---|---|---|
| 在一個(gè)理想化的世界中，假設(shè)其它一切條件都很好 | 起點(diǎn)，終點(diǎn)，日期 | 最經(jīng)濟(jì)的路線 |
| 考慮天氣 | 起點(diǎn)，終點(diǎn)，日期，天氣狀況 | 最經(jīng)濟(jì)的路線 |
| 納入地鐵運(yùn)營時(shí)刻表，公交車信息等交通狀況 | 起點(diǎn)，終點(diǎn)，日期，天氣狀況，交通狀況 | 最經(jīng)濟(jì)的路線 |
| 假如個(gè)人喜好 | 起點(diǎn)，終點(diǎn)，日期，天氣狀況，交通狀況，個(gè)人喜好 | 最經(jīng)濟(jì)的路線 |
我們先只考慮這一些因素，然后我們?cè)賹?duì)輸入變量進(jìn)行一下分類：
| 輸入元素 | 類別 | 符號(hào)化表示 |
|---|---|---|
| 起點(diǎn)，終點(diǎn)，日期 | 可控變量，這些因素你自己可控 | xi |
| 交通狀況(地鐵)，個(gè)人喜好 | 已知參數(shù)，地鐵一般有固定的班次，個(gè)人喜好短時(shí)間也不會(huì)變 | yj |
| 交通狀況(公交車)，天氣狀況 | 隨機(jī)因素，這些有隨機(jī)性 | ek |
這些輸入元素有一定的約束條件，我們用g()來表示。
同時(shí)他有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，我們這里用U=f()來表示。在這個(gè)例子中評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是“最經(jīng)濟(jì)”。
以上這些寫成專業(yè)化的術(shù)語就是《運(yùn)籌學(xué)》課本第7頁。
3. 一些問題：
1. 為什么這個(gè)《運(yùn)籌學(xué)》中有這么多的數(shù)學(xué)，這些數(shù)學(xué)還是我們?cè)诒究频臅r(shí)候?qū)W的比較冷門的科目：比如《線性代數(shù)》與《圖論》？我完全可以不懂?dāng)?shù)學(xué)就可以規(guī)劃啊，我想很多領(lǐng)導(dǎo)也肯定不是數(shù)學(xué)背景出身的吧。
我們把這兩個(gè)問題分為兩個(gè)亞問題。
為什么要用到數(shù)學(xué)？
后面的一個(gè)問題比較有趣，我們就以上面那個(gè)從中科大廈去外灘為例，我完全不需要懂什么線性規(guī)劃啊這些充滿數(shù)學(xué)符號(hào)的理論。簡單點(diǎn)，我直接做地鐵，因?yàn)槁烦滔鄬?duì)比較遠(yuǎn)，地鐵比較快，不易堵車。從這個(gè)例子中可以看到確實(shí)是這樣我們不需要用到數(shù)學(xué)，從實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)來看，做地鐵也是很好的選擇。
但是我們把目光放遠(yuǎn)一點(diǎn)，如果你要處理的是像課本中說道的比如：“2008年度，制定荷蘭火車新時(shí)刻表”的這個(gè)問題。
到2006年荷蘭鐵路從1970年的80億人 · 千米增加到154億人 · 千米.在不改變時(shí)刻表的結(jié)構(gòu)情況下要求計(jì)劃有更多更長的火車發(fā)出。2006年荷蘭鐵路要求開發(fā)一個(gè)新的時(shí)刻表。
——《運(yùn)籌學(xué)》：P9
這時(shí)，我想你是絕對(duì)不大可能不動(dòng)用數(shù)學(xué)去規(guī)劃這個(gè)問題的。你不可能看看地圖，看看火車的參數(shù)就直接在紙上寫出應(yīng)該如何安排。所以我們不應(yīng)該拘泥于一些小的問題，現(xiàn)在把目光放大，放遠(yuǎn)。課本中又舉了一些例子：比如在軍事上的，市場銷售上的。這時(shí)解決這些科學(xué)規(guī)劃問題你不得不去動(dòng)用數(shù)學(xué)。
為什么有那么多的《線性代數(shù)》的內(nèi)容，我生物學(xué)本科可沒怎么學(xué)，這些感覺好冷門啊？
其實(shí)《線性代數(shù)》一點(diǎn)也不冷門。在我國的學(xué)科設(shè)置上有大致十二個(gè)學(xué)科門類，一般認(rèn)為的自然科學(xué)指的是：理工農(nóng)醫(yī)四大學(xué)科門類：只是生物學(xué)的兩大應(yīng)用學(xué)科：農(nóng)學(xué)和醫(yī)學(xué) 比較重視實(shí)驗(yàn)，一般不需要這么多的數(shù)學(xué)知識(shí)。但對(duì)于廣大的工科專業(yè)來說，《線性代數(shù)》是非常重要的一門課，很多專業(yè)課上要運(yùn)用大量的數(shù)學(xué)。我在本科上《數(shù)值分析》(數(shù)學(xué)系的一門專業(yè)核心課)課時(shí)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)老師常說：很多工科專業(yè)學(xué)得比我們數(shù)學(xué)專業(yè)還要深。
下面進(jìn)入正題：為什么那么多的線性代數(shù)，首先我說一個(gè)讓人聽了有一點(diǎn)不明覺厲的論點(diǎn)：矩陣的這些理論是第二代數(shù)學(xué)建模語言。 為了說明這個(gè)論點(diǎn)，我分為兩部分內(nèi)容：
1. 數(shù)學(xué)是什么？
語言這個(gè)概念不知道大家有沒有注意過，它是人類最重要的交際工具，是人們進(jìn)行溝通交流的各種表達(dá)符號(hào)，是人們保存和傳遞人類文明的成果的重要工具。我們一般熟知的有普通話和英語，但是其實(shí)數(shù)學(xué)就是一種語言只不過它注重的是讀和寫，充滿的是大量的邏輯、結(jié)構(gòu)與符號(hào)化的形式體系。在二十世紀(jì)初，曾經(jīng)有三大數(shù)學(xué)學(xué)派：第一，以希爾伯特為代表的形式化學(xué)派，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一種形式；第二，法國的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)派，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種結(jié)構(gòu)；第三，邏輯學(xué)派，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯。但是后來我們知道不能簡單認(rèn)為數(shù)學(xué)就是其中之一，而是應(yīng)該將三者綜合來看待。
我們辯證地來看待一下，既然數(shù)學(xué)這門語言是充滿的是大量的邏輯、結(jié)構(gòu)與符號(hào)化的形式體系的，那它肯定沒有自然語言(普通話、英文等)所擁有的一些能夠愉悅?cè)说奶匦裕热鐚懗尚≌f啊，講笑話啊這些功能。
沒錯(cuò)數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，伽利略層有過類似的名言！這里還要區(qū)分兩個(gè)重要的概念：數(shù)學(xué)和算術(shù)的區(qū)別！很顯然的一個(gè)例子是：我們中國古代很早就知道“勾三股四弦五”，我們?cè)谏a(chǎn)實(shí)際中如果需要用到直角三角形如果已知兩條直角邊是3和4，那么可以算出第三條邊是5，這是算術(shù)。但是上升到勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，那就抽象出來上升為數(shù)學(xué)了。
2. 矩陣是什么？
在這個(gè)問題上，我強(qiáng)烈建議大家看一下孟巖老師的兩篇博文：理解矩陣。
一般來說，語言最基本的元素是詞匯，搭配和語法。向量就相當(dāng)于數(shù)學(xué)語言中的單詞，而矩陣就是搭配，再配合上一定的語法，就構(gòu)成了我們看到的矩陣描述(如課本59頁:單純形法的矩陣描述)。
下面說一點(diǎn)閑外話，《黑客帝國》中的用來禁錮人的那個(gè)系統(tǒng)也叫矩陣(Matrix)。Matrix 作為一套復(fù)雜的模擬系統(tǒng)程序，其基本的運(yùn)算語言肯定是矩陣。大家可以看看這篇博文。
還有我們?cè)谙聦W(xué)期要學(xué)的《生物統(tǒng)計(jì)學(xué)》，它是可以寫成矩陣形式的，但是我看它沒有這樣做，我本科學(xué)的《生物統(tǒng)計(jì)與田間試驗(yàn)》的時(shí)候就學(xué)了矩陣的表達(dá)形式。
3. 利用向量構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
我們回顧一下高中曾經(jīng)算的很頭疼的解析幾何，我們打的交道最多的應(yīng)該就是韋達(dá)定理了。這個(gè)解析幾何一般算錯(cuò)一步后面就實(shí)在很難算下去。后來進(jìn)入大學(xué)后我發(fā)現(xiàn)，有《高等代數(shù)》這一門課（線性代數(shù)是高等代數(shù)中的一部分內(nèi)容）。大學(xué)的計(jì)算方式就是利用向量和矩陣來進(jìn)行運(yùn)算。它最基本的運(yùn)算不再是一個(gè)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，而是一群實(shí)數(shù)同時(shí)運(yùn)算。
我們?cè)賮砜词裁词且粋€(gè)數(shù)學(xué)模型：對(duì)于一個(gè)問題，我們能夠顯式的拿出一個(gè)f(x)在求解這個(gè)問題，給出一個(gè)解。那這個(gè)f(x)就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。只是這個(gè)x不再是一個(gè)實(shí)數(shù)，而是一個(gè)向量或者矩陣。
利用矩陣這排理論我們可以更好地來探討《運(yùn)籌學(xué)》中的規(guī)劃問題，所以課本有這么多的線性代數(shù)的內(nèi)容。當(dāng)然其實(shí)我們也沒有必要對(duì)這些東西研究的很透。正如課本在導(dǎo)言中所寫(見下問)，我們會(huì)用即可！
目前國內(nèi)流行的有關(guān)運(yùn)籌學(xué)的教科書，多半偏重于數(shù)學(xué)方法的論證，對(duì)于解決實(shí)際問題時(shí)所需建立模型的概念與解題的技巧不夠重視。
參考資料：
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《運(yùn)籌學(xué)》第四版，清華大學(xué)出版社。 ?
