文章摘要:

數(shù)學(xué)的發(fā)展是以數(shù)和形兩個基本概念為主干的,整個數(shù)學(xué)就是圍繞數(shù)與形兩個概念的提煉、演變和發(fā)展而發(fā)展的.數(shù)學(xué)發(fā)展史中—直存在著數(shù)與形兩條并行不悖的發(fā)展路線,一條以發(fā)展計算為中心的算術(shù)代數(shù)路線,一條以發(fā)展形為主的幾何路線,前者有兩個源頭,一個源頭是獨立發(fā)展的中國數(shù)學(xué),另一源頭是古巴比倫數(shù)…

【編者按】

數(shù)學(xué)是一門古老的學(xué)科,它伴隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生,至少有四、五千年的歷史。數(shù)學(xué)的最初的概念和原理在遠古時代就萌芽了,經(jīng)過四千多年世界許多民族的共同努力,才發(fā)展到今天這樣內(nèi)容豐富、分支眾多、應(yīng)用廣泛的龐大系統(tǒng)。了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史有助于培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,下面的內(nèi)容希望對他們能有所幫助!

數(shù)學(xué)的發(fā)展是以數(shù)和形兩個基本概念為主干的,整個數(shù)學(xué)就是圍繞數(shù)與形兩個概念的提煉、演變和發(fā)展而發(fā)展的。數(shù)學(xué)發(fā)展史中—直存在著數(shù)與形兩條并行不悖的發(fā)展路線,一條以發(fā)展計算為中心的算術(shù)代數(shù)路線,一條以發(fā)展形為主的幾何路線,前者有兩個源頭,一個源頭是獨立發(fā)展的中國數(shù)學(xué),另一源頭是古巴比倫數(shù)學(xué)。

這一路線在古希臘亞里山大里亞時期進一步得到發(fā)展,在中國、印度和阿拉伯國家發(fā)揚光大,到17世紀的歐洲才形成完整的初等代數(shù)學(xué)。

“形”的路線是以埃及數(shù)學(xué)為源頭,在古希臘取得輝煌成就的初等幾何學(xué)。這兩種數(shù)學(xué)在17世紀在歐洲匯合,經(jīng)過進一步發(fā)展,導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生,產(chǎn)生了變量數(shù)學(xué)。隨后由于微積分的產(chǎn)生,開始了數(shù)學(xué)的巨大變革,產(chǎn)生了數(shù)學(xué)分析這一廠“闊的領(lǐng)域,形成了代數(shù)、幾何、分析三足鼎立的形勢。

18、19世紀由于數(shù)學(xué)的不斷分化,代數(shù)、幾何、分析形成了各自不同的研究領(lǐng)域.數(shù)學(xué)研究的對象日益擴展,數(shù)與形的概念不斷擴大,日趨抽象化,以至不再有任何原始計算與簡單圖形的蹤影了。

幾何不僅研究物質(zhì)世界的空間形式,而且研究同空間形式和關(guān)系相似的其他形式和關(guān)系,產(chǎn)生了各種新“空間”:羅巴切夫斯基空間、射影空間、四維的黎曼空間、各種拓撲空間等都成為幾何研究的對象。現(xiàn)代化數(shù)學(xué)所考察的對象是具有更普遍的“量”,如向量、矩陣、張量、旋量、超復(fù)數(shù)、群等,并且研究這些量的運算。

這些運算在某種程度上和算術(shù)中的四則運算類似,但復(fù)雜得多。矢量是簡單的例子,矢量的加法是按照平行四邊形法則相加的。在現(xiàn)代代數(shù)中進行的抽象達到這樣的程度,以致“量”這個術(shù)語也失去本身的意義,而一般地變成討論“對象”了。

對于這種“對象”可以進行同普通代數(shù)運算相似的運算.比如,兩個相繼進行的運動相當(dāng)于一個總的運動,—公式的兩種代數(shù)變換相當(dāng)于一個總的變換等等。

和這相應(yīng),可研究運動或變換所特有的一類“加法”.其他類似的運算也是這樣在廣泛抽象形式上研究的。分析的對象也大大發(fā)展。不但“數(shù)”是變的,在泛函分析中,函數(shù)本身也被看作是變的。

某一給定函數(shù)的性質(zhì)在這里不能單獨地確定,而是在這個函數(shù)對另外一些函數(shù)的關(guān)系上確定的。因此考察的已經(jīng)不是一些單個的函數(shù),而是所有以這種或那種共同性質(zhì)作為特征的函數(shù)的集合。函數(shù)的這種集合結(jié)合成“函數(shù)空間”。

比如,考察平面上所有曲線的集合或一定力學(xué)系統(tǒng)的所有可能運動的集合,在單個曲線或運動用其他曲線或運動的關(guān)系上來確定曲線或運動的性質(zhì).現(xiàn)代數(shù)學(xué)常用的方法,是把一個個函數(shù)看作一個個“點”,而某類函數(shù)的全體看作一個“空間”,函數(shù)間的相異程度看作“點”之間的“距離”,由此得到各種無窮維的函數(shù)空間。

比如一個微分積分方程組的求解,往往歸結(jié)為相應(yīng)函數(shù)空間中一個幾何變換的不動點問題.數(shù)學(xué)對象的擴展使得數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍也大大擴展了。數(shù)學(xué)觀念廣泛引入物理學(xué)中,愛因斯坦把黎曼幾何應(yīng)用到廣義相對論,馮·諾伊曼把希爾伯特空間應(yīng)用到量子力學(xué),楊振寧和米爾斯把纖維叢理論應(yīng)用到規(guī)范場等等。

從19世紀下半葉開始,即從克萊因用“群”的觀點統(tǒng)各種度量幾何開始,到康托爾建立集合論和公理化運動后,數(shù)學(xué)走向綜合的趨勢越來越明顯?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展促使數(shù)和形的概念不斷深化,形成了多種多樣的邊緣學(xué)科。這些學(xué)科不僅沒有加深各學(xué)科間的分離,而且導(dǎo)致了各學(xué)科的互相聯(lián)系和滲透,使以前基本分離的領(lǐng)域互相溝通了起來,并且填滿了基本學(xué)科之間中斷了的部分。

各門學(xué)科形成了一個牢固聯(lián)系的有機整體。邊緣學(xué)科不僅在相互鄰接的領(lǐng)域產(chǎn)生。

而且在相距很遠的領(lǐng)域之間也不斷發(fā)生,基礎(chǔ)學(xué)科相互滲透產(chǎn)生了許多綜合性學(xué)科。綜合性學(xué)科的出現(xiàn)和蓬勃發(fā)展,標志著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展已由學(xué)科領(lǐng)先階段過渡到課題領(lǐng)先的新階段。各學(xué)科之間的相互滲透,是數(shù)學(xué)中數(shù)和形兩大基本概念緊密聯(lián)系在一起的辯證法的反映。

各門科學(xué)的數(shù)學(xué)化,使得數(shù)學(xué)和其他學(xué)科交叉結(jié)合,產(chǎn)生許多交叉學(xué)科,許多學(xué)科又派生出許多小的學(xué)科分支,這些分支學(xué)科不僅促進了各門學(xué)科的發(fā)展,而且也豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科本身。

然而,不管數(shù)學(xué)各個學(xué)科經(jīng)歷著怎樣的分、合、變、革,也不管數(shù)學(xué)內(nèi)部怎樣此消彼長,數(shù)學(xué)王國的疆土雖然在不斷擴張之中,但始終是由數(shù)與形兩大基本概念所控制。(內(nèi)容摘自共讀一本書-《數(shù)學(xué)史海覽勝》)

文章摘要:19世紀前期,考古學(xué)家在美索不達米亞挖掘出大約 50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板,上面密密麻麻地刻有奇怪的符號,經(jīng)研究其中有近400塊被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學(xué)問題的純數(shù)學(xué)書板。…

【編者按】19世紀前期,考古學(xué)家在美索不達米亞挖掘出大約 50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板,上面密密麻麻地刻有奇怪的符號,經(jīng)研究其中有近400塊被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學(xué)問題的純數(shù)學(xué)書板。

考古學(xué)家在十九世紀上半葉于美索不達米亞挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板。這些泥書板上有著密密麻麻的奇怪的符號,這些符號實際上就是巴比倫人所用的文字,人們稱它為“楔形文字”?？茖W(xué)家經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),泥版上記載的,是巴比倫人已獲得的知識,其中有近400塊被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學(xué)問題的純數(shù)學(xué)書板,現(xiàn)在關(guān)于巴比倫的數(shù)學(xué)知識就源于分析這些原始文獻。

算術(shù)

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家,其計算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實現(xiàn)的。巴比倫人書寫數(shù)字的方法,更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制(60進制),希臘人、歐洲人直到16世紀亦將這系統(tǒng)運用于數(shù)學(xué)計算和天文學(xué)計算中,直至現(xiàn)在60進制仍被應(yīng)用于角度、時間等記錄上。比如,1米=10分米,1分鐘=60秒等。

代數(shù)

古巴比倫人有豐富的代數(shù)知識,許多泥書板中載有一次和二次方程的問題,他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外,他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。

在1900B.C.~1600B.C.年間的一塊泥板上(普林頓322號),記錄了一個數(shù)表,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)其中有兩組數(shù)分別是邊長為整數(shù)的直角三角形斜邊邊長和一個直角邊邊長,由此推出另一個直角邊邊長,亦即得出不定方程x2 y2=z2的整數(shù)解。

幾何

古巴比倫的幾何學(xué)與實際測量是有密切的聯(lián)系。他們已有相似三角形之對應(yīng)邊成比例的知識,會計算簡單平面圖形的面積和簡單立體體積。我們現(xiàn)在把圓周分為360等分,也應(yīng)歸功于古代巴比倫人。巴比倫幾何學(xué)的主要特征更在于它的代數(shù)性質(zhì)。例如,涉及平行于直角三角形一條邊的橫截線問題引出了二次方程;討論棱椎的平頭截體的體積時出現(xiàn)了三次方程。

古巴比倫的數(shù)學(xué)成就在早期文明中達到了極高的水平,但積累的知識僅僅是觀察和經(jīng)驗的結(jié)果,還缺乏理論上的依據(jù)。

文章摘要:算術(shù)和代數(shù)是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)而又最古老的分支學(xué)科,兩者有著密切的聯(lián)系。算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ),代數(shù)由算術(shù)演進而來。從算術(shù)演進到代數(shù),是數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生的一次重大突破。

【編者按】數(shù)學(xué)的發(fā)展并不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累,它包含著數(shù)學(xué)本身許多根本的變化,也即質(zhì)的飛躍。歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)思想方法的幾次重大突破,就充分說明了這一點。

算術(shù)和代數(shù)是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)而又最古老的分支學(xué)科,兩者有著密切的聯(lián)系。算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ),代數(shù)由算術(shù)演進而來。從算術(shù)演進到代數(shù),是數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生的一次重大突破。

一、代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史必然性

代數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個研究領(lǐng)域,其最初而又最基礎(chǔ)的分支是初等代數(shù)。初等代數(shù)研究的對象是代數(shù)式的運算和方程的求解。從歷史上看,初等代數(shù)是算術(shù)發(fā)展的繼續(xù)和推廣,算術(shù)自身運動的矛盾以及社會實踐發(fā)展的需要,為初等代數(shù)的產(chǎn)生提供了前提和基礎(chǔ)。

我們知道,算術(shù)的主要內(nèi)容是自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的性質(zhì)與四則運算。算術(shù)的產(chǎn)生,表明人類在現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系認識上邁出了具有決定性意義的第一步。算術(shù)是人類社會實踐活動中不可缺少的數(shù)學(xué)工具,在人類社會各部門都有廣泛而重要的應(yīng)用,離開算術(shù)這一數(shù)學(xué)工具,科學(xué)技術(shù)的進步幾乎難以相象。

在算術(shù)的發(fā)展過程中,由于算術(shù)理論和實踐發(fā)展的要求,提出了許多新問題,其中一個重要問題就是算術(shù)解題法的局限性在很大程度上限制了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。

算術(shù)解題法的局限性,主要表現(xiàn)在它只限于對具體的、已知的數(shù)進行運算,不允許有抽象的、未知的數(shù)參加運算。也就是說,利用算術(shù)解應(yīng)用題時,首先要圍繞所求的數(shù)量,收集和整理各種已知的數(shù)據(jù),并依據(jù)問題的條件列出關(guān)于這些具體數(shù)據(jù)的算式,然后通過加、減、乘、除四則運算求出算式的結(jié)果。

許多古老的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,如行程問題、工程問題、流水問題、分配問題、盈虧問題等,都是借助這種方法求解的。算術(shù)解題法的關(guān)鍵是正確地列出算術(shù),即通過加、減、乘、除符號把有關(guān)的已知數(shù)據(jù)連結(jié)起來,建立能夠反映實際問題本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)模型。

對于那些只具有簡單數(shù)量關(guān)系的實際問題,列出相應(yīng)的算式并不難,但對于那些具有復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的實際問題,在列出相應(yīng)的算式,往往就不是一件容易的事了,有時需要很高的技巧才行。特別是對于那些含有幾個未知數(shù)的實際問題,要想通過建立已知數(shù)的算式來求解,有時甚至是不可能的。

算術(shù)自身運算的局限性,不僅限制了數(shù)學(xué)的應(yīng)用,而且也影響和束縛了數(shù)學(xué)自身的繼續(xù)發(fā)展。隨著數(shù)學(xué)自身和社會實踐的深入發(fā)展,算術(shù)解題法的局限性日益暴露出來,于是一種新的解題法-代數(shù)解題法的產(chǎn)生也就成為歷史的必然。

代數(shù)解題法的基本思想是,首先依據(jù)問題的條件組成包含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式,并按等量關(guān)系列出方程,然后通過對方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程,因而通常把初等代數(shù)理解為解方程的科學(xué)。

初等代數(shù)與算術(shù)的根本區(qū)別,在于前者允許把未知數(shù)作為運算的對象,后者則把未知數(shù)排斥在運算之外。如果說在算術(shù)中也論及某個未知數(shù)的話,那么,這個未知數(shù)也只能起運算結(jié)果符號等價物的作用,只能單獨地處在等式的左邊,靜等等式右邊的算式完成對具體數(shù)字的演算。

也就是說,在算術(shù)中,未知數(shù)沒有參加運算的權(quán)利。而在代數(shù)中,方程作為由已知數(shù)和未知數(shù)構(gòu)成的條件等式,本身就意味著其中所包含的已知數(shù)和未知數(shù)有著同等的運算地位,即未知數(shù)也變成了運算的對象,和已知數(shù)一樣,它們可以參與各種運算,并可以依照某種法則從乘式的一邊移到另一邊。

解方程的過程,實質(zhì)上就是通過對已知數(shù)和未知數(shù)的重新組合,把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)的過程,即把未知數(shù)置于等式的一邊,已知數(shù)置于等式的另一邊。從這種意義上看,算術(shù)運算不過是代數(shù)運算的特殊情況,代數(shù)運算是算術(shù)運算的發(fā)展和推廣。

由于代數(shù)運算具有較大的普遍性和靈活性,因而代數(shù)的產(chǎn)生極大地擴展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍,許多算術(shù)無能為力的問題,在代數(shù)中卻能輕而易舉地得到解決。不僅如此,代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生對整個數(shù)學(xué)的進程產(chǎn)生巨大而深遠的影響,許多重大發(fā)現(xiàn)都與代數(shù)的思想方法有關(guān)。

例如,對二次方程的求解,導(dǎo)致虛數(shù)的發(fā)現(xiàn);對五次以上方程的求解,導(dǎo)致群論的誕生;把代數(shù)應(yīng)用于幾何問題,導(dǎo)致解析幾何的創(chuàng)立等等。正因為如此,我們把代數(shù)的產(chǎn)生作為數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生第一次重大轉(zhuǎn)折的標志。

二、代數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)的形成

“代數(shù)”一詞,原意是指“解方程的科學(xué)”。因此,最初的代數(shù)學(xué)也就是初等代數(shù)。初等代數(shù),作為一門獨立的數(shù)學(xué)分支學(xué)科,其形成經(jīng)歷了一個漫長的歷史過程,我們很難以某一個具體的年代作為它問世的標志。從歷史上看,它大體上經(jīng)過了三個不同的階段:文詞代數(shù),即用文字語言來表述運算對象和過程;簡字代數(shù),即用簡化了的文詞來表示運算內(nèi)容和步驟;符號代數(shù),即普遍使用抽象的字母符號。

從文詞代數(shù)演進到符號代數(shù)的過程,也就是初等代數(shù)由不成熟到較為成熟的發(fā)育過程。在這個過程中,17世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡爾做出了突出貢獻。他是第一個提倡用x、y、z代表未知數(shù)的人,他提出和使用的許多符號,同現(xiàn)代的寫法基本一致。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和社會實踐的深化,代數(shù)學(xué)的研究對象不斷得到擴大,其思想方法不斷得到創(chuàng)新,代數(shù)學(xué)也就由低級形態(tài)演進到高級形態(tài),由初等代數(shù)發(fā)展到高等代數(shù)。高等代數(shù)有著豐富的內(nèi)容和眾多的分支學(xué)科,其中最基本的分支學(xué)科有如下幾個。

線性代數(shù):討論線性方程(一次方程)的代數(shù)部分,其重要工具是行列式和矩陣。

多項式代數(shù):主要借助多項式的性質(zhì)來討論代數(shù)方程的根的計算和分布,包括整除性理論、最大公因式、因式分解定理、重因式等內(nèi)容。

群論:研究群的性質(zhì)的代數(shù)學(xué)分支學(xué)科,屬于抽象代數(shù)的一個領(lǐng)域。群是帶有一種運算的抽象代數(shù)系統(tǒng)。群的概念是19世紀初由法國青年數(shù)學(xué)家伽羅華最先提出的,伽羅華由此成為群論的創(chuàng)立者。群論發(fā)展到現(xiàn)在,已經(jīng)獲得豐富的內(nèi)容和廣泛的應(yīng)用。

環(huán)論:研究環(huán)的性質(zhì)的代數(shù)學(xué)分支學(xué)科,是正在發(fā)展著的一個抽象代數(shù)領(lǐng)域。環(huán)是帶有二種運算的抽象代數(shù)系統(tǒng),有許多獨特的性質(zhì)。一種特殊的環(huán)稱為域,如果域的元素是數(shù),則稱為數(shù)域。以域的概念為基礎(chǔ),形成了抽象代數(shù)學(xué)的另一個領(lǐng)域-域論。

布爾代數(shù):也稱二值代數(shù)、邏輯代數(shù)或開關(guān)代數(shù),是帶有三種運算的抽象代數(shù)系統(tǒng)。由英國數(shù)學(xué)家布爾于19世紀40年代創(chuàng)立。近幾十年來,布爾代數(shù)在線路設(shè)計、自動化系統(tǒng)和電子計算機設(shè)計方面得到廣泛應(yīng)用。

此外,還有格論、李代數(shù)和同調(diào)代數(shù)等分支學(xué)科。

高等代數(shù)與初等代數(shù)在思想方法上有很大的差別。初等代數(shù)屬于計算性的,并且只限于研究實數(shù)和復(fù)數(shù)等特定的數(shù)系,而高等代數(shù)是概念性、公理化的,它的對象是一般的抽象代數(shù)系統(tǒng)。因此,高等代數(shù)比初等代數(shù)具有更高的抽象性和更大的普遍性,這就使高等代數(shù)的應(yīng)用范圍更加廣泛。向抽象性和普遍性方向發(fā)展,是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的一個重要特征。

程曉龍,第40屆IMO(1999年,羅馬尼亞布加勒斯特)金牌獲得者。

熟悉了高中數(shù)學(xué),就會覺得它所介紹的理論并不多,《代數(shù)》就是講函數(shù)的觀點和初等函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、復(fù)向量的運算,數(shù)列和歸納原理、計數(shù)方法。《解析幾何》介紹用數(shù)量化語言描述幾何圖形的方法和幾種常用幾何圖形的數(shù)量性質(zhì)?！读Ⅲw幾何》描述空間中點、線、面的位置、度量關(guān)系并著重介紹幾種基本幾何體。要學(xué)好高中數(shù)學(xué),就應(yīng)該對這些知識有整體的認識和把握,即理解他們所解決的問題在數(shù)學(xué)乃至實際中所起的作用。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)絕不是死記定理、公式,不是空洞的解題訓(xùn)練,僅注重其形式化的表面,是無法把握數(shù)學(xué)的實質(zhì)的。數(shù)學(xué)的存在和發(fā)展是基于某種實際需要的,了解這種需要,即數(shù)學(xué)各部分的作用,有助于對數(shù)學(xué)這個有機整體的認識,不假思索的接受,難以導(dǎo)致對數(shù)學(xué)的真正了解,因此親身接觸活生生的數(shù)學(xué)就顯得尤為重要。

這就需要學(xué)習(xí)中對每個問題都能親自思考、透徹理解。我通常習(xí)慣于在遇到新概念時,自己先分析、推導(dǎo)一下它的性質(zhì);碰到定理、公式時自己先試著證明一下,這樣再學(xué)習(xí)書本上的內(nèi)容時,與自己所思考的有種比較,對知識的體會就更多些,理解也能更深一點。

比如說,這樣做后就會比較清楚某個定理為什么會有這樣的限制條件,在那些情況下適用等。清楚了邏輯上的推理之后,還應(yīng)回過頭來從總體上考慮一下這些結(jié)論,考慮一下它們所描述的事實與其它數(shù)學(xué)知識間的依賴關(guān)系。這樣做也有助于從宏觀上把握知識,對其主要觀念有更深刻的領(lǐng)悟,最好是在一個部分的知識學(xué)完后,能花點時間整理一下這部分理論,理順其主要知識點間的聯(lián)系。

這不是簡單的復(fù)習(xí),而是確定這些東西成為你自己的知識。它不是單純的看書,而應(yīng)該是了解之后的深入思考,甚至你可以撇開課本,僅僅靠思考和必要的演算來完成這一過程,尤其是在平時學(xué)習(xí)中,每次都是只對一小部分知識學(xué)習(xí)、做作業(yè),比較零散,這種整體上的熟悉就顯得很必要了。

必要的習(xí)題不僅能幫助熟悉所學(xué)的知識,有些甚至能幫助理解所學(xué)的概念、定理,發(fā)掘知識更深層次上的內(nèi)涵。它的另一個作用,即練習(xí)本身的作用,就是鍛煉思維,而做完題之后的思考無論是對上述那一個方面都是大有裨益的,這就是做題不要局限于解決問題本身,有時可以想想問題所反映的結(jié)論,體會一下用到的方法和技巧,重要的是要明白為什么要用這種方法,即能理解方法的實質(zhì)。

做習(xí)題切不可因追求過多而忽略之后的反思,否則經(jīng)常會出現(xiàn)一些無謂的反復(fù),反而得不償失。另外一點,就是要從不同的角度思考問題,不滿足于已有的方法,即使已有的方法是最簡的。從其它角度思考、解決問題能導(dǎo)致一些新的收獲,這一點在做難度稍大的題時會更有用處。

有些人學(xué)數(shù)學(xué)只是記下所有的定理公式,各類題型和相應(yīng)的解法,這樣做在學(xué)的知識比較少的時候也許還能對付,但一旦內(nèi)容多了,就很難理清頭緒。而掌握基本的解題思想方法卻相對容易的多。一道題目的解答或許很長,但最主要的解題思想可能就只有一兩條,大部分篇幅都是推理或運算。

而且思想方法對數(shù)學(xué)的不同部分來說都是相通的,掌握它才是根本,才是應(yīng)萬變之策。解題方法絕不是毫無根據(jù)的靈感,必是解決問題過程中深思熟慮后應(yīng)運而生的途徑。因而,對解題方法,重要的是理解這種思維過程,即要透過現(xiàn)象看本質(zhì),思想方法源于解題的過程中,也只有通過解題過程中的獨立思考、分析摸索才能掌握。

如果有朝一日,你發(fā)現(xiàn)自己對數(shù)學(xué)中的知識理論和思想方法都了然于胸,那么你已經(jīng)能很好地駕馭所學(xué)的知識了,再加上一些過硬的基本功,已足以應(yīng)付一般的考試,但對于一個要真正學(xué)好數(shù)學(xué)的人來說,這些卻遠遠不夠。眾所周知,數(shù)學(xué)需要嚴密的邏輯推理,但邏輯上的推理卻不足以代表數(shù)學(xué)的全部。

如本世紀的大數(shù)學(xué)家柯朗所說:“過分著重演繹一公式的數(shù)學(xué)特性可能失之偏頗,創(chuàng)造性發(fā)明以及起指導(dǎo)和推動作用的直覺的要素才是數(shù)學(xué)理論的核心?！睌?shù)學(xué)很重要的幾個因素就是就是邏輯與直覺、分析與創(chuàng)造、一般性與個別性,正是他們的綜合交錯作用才構(gòu)成數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵。要學(xué)好數(shù)學(xué),只有將自己置身于其中,親自去體會、去發(fā)現(xiàn)。